112 年 國立中正大學通訊工程學系碩士班通訊甲組《線性代數》

本題主要考驗對矩陣特徵值、特徵向量、幾何重數、逆矩陣計算以及克拉瑪公式的理解與應用。

核心觀念：

• 特徵值與特徵向量： 對於方陣 $M$，若存在非零向量 $v$ 及純量 $\lambda$ 使得 $Mv = \lambda v$，則 $\lambda$ 稱為 $M$ 的特徵值，而 $v$ 稱為對應於 $\lambda$ 的特徵向量。
• 代數重數 (Algebraic Multiplicity)： 特徵值 $\lambda$ 作為特徵多項式 $det(M - \lambda I)$ 的根，其重數稱為代數重數。
• 幾何重數 (Geometric Multiplicity)： 對於特徵值 $\lambda$，其幾何重數定義為特徵空間 $Null(M - \lambda I)$ 的維度，也就是對應於 $\lambda$ 的線性獨立特徵向量的個數。幾何重數 $\le$ 代數重數。
• 特徵多項式： 對於 $n \times n$ 矩陣 $M$，特徵多項式為 $p(\lambda) = det(M - \lambda I)$。
• 特徵值的性質：
  • 一個 $n \times n$ 矩陣的所有特徵值之和等於其跡 (trace)，即 $\sum_{i=1}^n \lambda_i = tr(M)$。
  • 一個 $n \times n$ 矩陣的所有特徵值之積等於其行列式，即 $\prod_{i=1}^n \lambda_i = det(M)$。
• 逆矩陣的求法：
  • 高斯-約旦消去法 (Gauss-Jordan Elimination)： 將矩陣 $B$ 與單位矩陣 $I$ 併形成增廣矩陣 $[B|I]$，透過列運算將 $B$ 化為單位矩陣 $I$，則右側的矩陣即為 $B^{-1}$，即 $[I|B^{-1}]$。
  • 克拉瑪公式 (Cramer's Rule)： 對於方程組 $Ax = b$，若 $A$ 是可逆矩陣 (即 $det(A) \neq 0$)，則其解為 $x_i = \frac{det(A_i)}{det(A)}$，其中 $A_i$ 是將 $A$ 的第 $i$ 行替換為向量 $b$ 後得到的矩陣。

詳解：

a. The sum of all eigenvalues in $A$.
矩陣 $A$ 是一個對角矩陣，其對角線上的元素即為其特徵值。
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
特徵值為 $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 2$。
特徵值之和為 $1 + 2 + 2 = 5$。
或者，我們也可以計算矩陣 $A$ 的跡 (trace)，即對角線元素之和：
$tr(A) = 1 + 2 + 2 = 5$。
【答案】5

b. The geometry multiplicities of $A$.
特徵值 $\lambda = 1$：
$A - 1I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$Null(A - 1I)$ 的維度是 $3 - rank(A - 1I) = 3 - 2 = 1$。
幾何重數為 1。

特徵值 $\lambda = 2$：
$A - 2I = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
$Null(A - 2I)$ 的維度是 $3 - rank(A - 2I) = 3 - 1 = 2$。
幾何重數為 2。

因此，對應於特徵值 1 的幾何重數是 1，對應於特徵值 2 的幾何重數是 2。
【答案】對應於 $\lambda=1$ 的幾何重數為 1，對應於 $\lambda=2$ 的幾何重數為 2。

c. The product of all eigenvalues in $B$.
矩陣 $B$ 的特徵值可以通過計算其特徵多項式 $det(B - \lambda I)$ 得到。
$B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$det(B - \lambda I) = det \begin{bmatrix} 2-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{bmatrix}$
由於這是一個上三角矩陣，其行列式等於對角線元素的乘積：
$det(B - \lambda I) = (2-\lambda)(1-\lambda)(1-\lambda) = (2-\lambda)(1-\lambda)^2$
特徵值為 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = 1$。
特徵值之積為 $2 \times 1 \times 1 = 2$。
或者，我們也可以計算矩陣 $B$ 的行列式：
$det(B) = 2 \times (1 \times 1 - 0 \times 0) - 0 + 2 \times (0 \times 0 - 1 \times 0) = 2$。
【答案】2

d. The inverse matrix of $B$ with the augmented matrix $[I_3|B]$ and Gauss-Jordan elimination.
我們將增廣矩陣 $[I_3|B]$ 寫出來，然後進行列運算，目標是將左側的 $I_3$ 轉換為 $B^{-1}$。
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

請注意，題目要求的是 $[I_3|B]$，這表示我們要將 $B$ 化為 $I_3$，得到 $[I_3|B^{-1}]$。
所以，我們應該從 $[B|I_3]$ 開始。

核心觀念

若一組基底 $C=\{C^{(1)},C^{(2)},C^{(3)}\}$ 的向量以標準座標表示，將它們依序排成欄向量，得到基底矩陣

對任意向量 $v\in\mathbb R^3$，有

因此，從基底 $C$ 的座標轉換到基底 $D$ 的座標矩陣為

解題方法與推導

題目未提供 $A^{(1)},A^{(2)},A^{(3)}$ 與 $B^{(1)},B^{(2)},B^{(3)}$ 的具體向量，因此無法算出數值矩陣或數值座標。以下以這兩組基底矩陣表示各小題的確定公式：

a. 從標準基底 $e$ 轉換到基底 $A$

標準基底座標轉成 $A$ 座標時，使用 $S_A^{-1}$：

b. 求向量 $(1,2,3)^T$ 的 $A$ 座標

先將向量視為標準座標 $[v]_e=(1,2,3)^T$，再套用 a 題的轉換矩陣：

本題考驗對矩陣內積空間的定義、性質以及相關計算，包括跡 (trace) 的運算、內積的線性性質、向量範數 (norm) 和向量夾角餘弦的計算。

核心觀念：

• 跡 (Trace) 的性質：
  • $tr(X+Y) = tr(X) + tr(Y)$
  • $tr(cX) = c \cdot tr(X)$
  • $tr(XY) = tr(YX)$ (循環性質)
  • 對於對角矩陣 $D = diag(d_1, d_2, \dots, d_n)$，$tr(D) = \sum_{i=1}^n d_i$。
• 矩陣內積空間： 在向量空間 $M_{3 \times 3}$ 上定義的內積為 $<U,V> = tr(UV^T)$。
  • 內積的性質 (線性、對稱、正定)：
    • 線性 (Additivity & Homogeneity)：
      • Additivity: $<U_1 + U_2, V> = <U_1, V> + <U_2, V>$
      • Homogeneity: $<cU, V> = c<U, V>$
    • 對稱性 (Symmetry)： $<U, V> = <V, U>$
    • 正定性 (Positive-definiteness)： $<U, U> \ge 0$，且 $<U, U> = 0$ 當且僅當 $U$ 是零矩陣。
• 範數 (Norm)： 向量的範數定義為 $\|U\| = \sqrt{<U, U>}$。
• 向量夾角餘弦 (Cosine of Angle)： 兩個向量 $U$ 和 $V$ 之間的夾角 $\theta$ 的餘弦值為 $cos(\theta) = \frac{<U, V>}{\|U\| \|V\|}$。

詳解：

給定內積為 $<U,V> = tr(UV^T)$，其中 $U, V \in M_{3 \times 3}$。
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$,

加法公理 (Additivity axiom) 指的是：對於任何向量 $U_1, U_2, V$，滿足 $<U_1 + U_2, V> = <U_1, V> + <U_2, V>$。
我們來驗證這個性質。
左式：$<U_1 + U_2, V> = tr((U_1 + U_2)V^T)$

我們要計算 $<I_3, A> = tr(I_3 A^T)$。
首先計算 $A^T$：

向量的範數 (norm) 定義為 $\|U\| = \sqrt{<U, U>}$。
我們要找的是矩陣 $B$ 的範數，即 $\|B\| = \sqrt{<B, B>}$。
首先計算 $<B, B> = tr(B B^T)$。
$B = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$。
$B^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$。
計算 $B B^T$：

兩個向量 $A$ 和 $B$ 之間的夾角 $\theta$ 的餘弦值由以下公式給出：
$cos(\theta) = \frac{<A, B>}{\|A\| \|B\|}$。

我們需要計算 $<A, B>$，$\|A\|$ 和 $\|B\|$。

1. 計算 $<A, B>$：
$<A, B> = tr(A B^T)$。
$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
$B^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
$A B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(2)+0(0)+0(2) & 1(0)+0(1)+0(0) & 1(0)+0(0)+0(1) \\ 0(2)+2(0)+0(2) & 0(0)+2(1)+0(0) & 0(0)+2(0)+0(1) \\ 0(2)+0(0)+2(2) & 0(0)+0(1)+2(0) & 0(0)+0(0)+2(1) \end{bmatrix}$