113 年 國立中正大學通訊工程學系碩士班通訊甲組《線性代數》

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第 1 題

Let C=[1a01]C = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, D=[10b1]D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix}, E=[a1b0]E = \begin{bmatrix} a & 1 \\ b & 0 \end{bmatrix}. Answer the following questions with the appropriate matrix names (C, D or E). Note: No partial scores are given for each question.

a. (5 pts.) Identify matrices that are row equivalent when a=1a=1 and b=0b=0.
b. (5 pts.) Determine which matrix has {0}\{0\} as the orthogonal complement of its row space when a=0a=0 and b=1b=1.
c. (5 pts.) Which of these matrices satisfies the condition that the rank plus the nullity equals 2?
d. (5 pts.) Which matrix is not full-rank when a=1a=1 and b=1b=1?
e. (5 pts.) Identify the matrix that contains row vectors that can span R2\mathbb{R}^2 for all real numbers aa and bb, given that aa is not equal to bb.
f. (5 pts.) Determine which matrix could be singular, given that the product of aa and bb is not equal to 00.

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核心觀念

本題主要考查：

  • 矩陣的行等價與列簡化形
  • 行空間與正交補空間
  • 秩—零度定理
  • 可逆矩陣、滿秩與奇異矩陣
  • 行向量張成 R2\mathbb{R}^2 的判斷
  • 2×22\times 2 矩陣的行列式

三個矩陣為

C=[1a01],D=[10b1],E=[a1b0].C=\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}1&0\\b&1\end{bmatrix},\qquad E=\begin{bmatrix}a&1\\b&0\end{bmatrix}.

其中

det⁡(C)=1,det⁡(D)=1,det⁡(E)=−b.\det(C)=1,\qquad \det(D)=1,\qquad \det(E)=-b.

因此 C,DC,D 對所有 a,ba,b 皆為滿秩；EE 是否滿秩則取決於 bb。

解題方法與各小題分析

a. 當 a=1, b=0a=1,\ b=0，哪些矩陣行等價？

代入後：

C=[1101],D=[1001],E=[1100].C=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad E=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}.

矩陣行等價的判斷方式，是比較其列簡化形。滿秩的 2×22\times2 矩陣列簡化形皆為 I2I_2。

  • CC 的行列式為 11，故 rank⁡(C)=2\operatorname{rank}(C)=2，列簡化形為 I2I_2。
  • D=I2D=I_2，列簡化形為 I2I_2。
  • EE 只有一個非零列，故 rank⁡(E)=1\operatorname{rank}(E)=1，列簡化形不是 I2I_2。

因此 CC 與 DD 行等價，EE 不與它們行等價。

【答案：C,DC,D】

b. 當 a=0, b=1a=0,\ b=1，哪個矩陣的行空間正交補為 {0}\{0\}？

代入後：

C=[1001],D=[1011],E=[0110].C=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix},\qquad E=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}.

對於 R2\mathbb{R}^2 中的子空間 WW，若

W⊥={0},W^\perp=\{0\},

則必須有 W=R2W=\mathbb{R}^2。因此，本題等價於判斷各矩陣的行向量是否能張成 R2\mathbb{R}^2。

  • CC 的行列式為 11，所以其行空間為 R2\mathbb{R}^2。
  • DD 的行列式為 11，所以其行空間為 R2\mathbb{R}^2。
  • EE 的行列式為 −1-1，所以其行空間為 R2\mathbb{R}^2。

三者的行空間皆為 R2\mathbb{R}^2，其正交補皆為 {0}\{0\}。

【答案：C,D,EC,D,E】

c. 哪個矩陣滿足「秩加零度等於 22」？

秩—零度定理指出，對任意由 R2\mathbb{R}^2 映射至 R2\mathbb{R}^2 的矩陣 AA，

rank⁡(A)+nullity⁡(A)=2.\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=2.

三個矩陣皆為 2×22\times2 矩陣，因此無論 a,ba,b 為何，皆滿足：

rank⁡(C)+nullity⁡(C)=2,\operatorname{rank}(C)+\operatorname{nullity}(C)=2,
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第 1 題

Let C=[1a01]C = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, D=[10b1]D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix}, E=[a1b0]E = \begin{bmatrix} a & 1 \\ b & 0 \end{bmatrix}. Answer the following questions with the appropriate matrix names (C, D or E). Note: No partial scores are given for each question.

a. (5 pts.) Identify matrices that are row equivalent when a=1a=1 and b=0b=0.
b. (5 pts.) Determine which matrix has {0}\{0\} as the orthogonal complement of its row space when a=0a=0 and b=1b=1.
c. (5 pts.) Which of these matrices satisfies the condition that the rank plus the nullity equals 2?
d. (5 pts.) Which matrix is not full-rank when a=1a=1 and b=1b=1?
e. (5 pts.) Identify the matrix that contains row vectors that can span R2\mathbb{R}^2 for all real numbers aa and bb, given that aa is not equal to bb.
f. (5 pts.) Determine which matrix could be singular, given that the product of aa and bb is not equal to 00.

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核心觀念

本題主要考查：

  • 矩陣的行等價與列簡化形
  • 行空間與正交補空間
  • 秩—零度定理
  • 可逆矩陣、滿秩與奇異矩陣
  • 行向量張成 R2\mathbb{R}^2 的判斷
  • 2×22\times 2 矩陣的行列式

三個矩陣為

C=[1a01],D=[10b1],E=[a1b0].C=\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}1&0\\b&1\end{bmatrix},\qquad E=\begin{bmatrix}a&1\\b&0\end{bmatrix}.

其中

det⁡(C)=1,det⁡(D)=1,det⁡(E)=−b.\det(C)=1,\qquad \det(D)=1,\qquad \det(E)=-b.

因此 C,DC,D 對所有 a,ba,b 皆為滿秩；EE 是否滿秩則取決於 bb。

解題方法與各小題分析

a. 當 a=1, b=0a=1,\ b=0，哪些矩陣行等價？

代入後：

C=[1101],D=[1001],E=[1100].C=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad E=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}.

矩陣行等價的判斷方式，是比較其列簡化形。滿秩的 2×22\times2 矩陣列簡化形皆為 I2I_2。

  • CC 的行列式為 11，故 rank⁡(C)=2\operatorname{rank}(C)=2，列簡化形為 I2I_2。
  • D=I2D=I_2，列簡化形為 I2I_2。
  • EE 只有一個非零列，故 rank⁡(E)=1\operatorname{rank}(E)=1，列簡化形不是 I2I_2。

因此 CC 與 DD 行等價，EE 不與它們行等價。

【答案：C,DC,D】

b. 當 a=0, b=1a=0,\ b=1，哪個矩陣的行空間正交補為 {0}\{0\}？

代入後：

C=[1001],D=[1011],E=[0110].C=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix},\qquad E=\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}.

對於 R2\mathbb{R}^2 中的子空間 WW，若

W⊥={0},W^\perp=\{0\},

則必須有 W=R2W=\mathbb{R}^2。因此，本題等價於判斷各矩陣的行向量是否能張成 R2\mathbb{R}^2。

  • CC 的行列式為 11，所以其行空間為 R2\mathbb{R}^2。
  • DD 的行列式為 11，所以其行空間為 R2\mathbb{R}^2。
  • EE 的行列式為 −1-1，所以其行空間為 R2\mathbb{R}^2。

三者的行空間皆為 R2\mathbb{R}^2，其正交補皆為 {0}\{0\}。

【答案：C,D,EC,D,E】

c. 哪個矩陣滿足「秩加零度等於 22」？

秩—零度定理指出，對任意由 R2\mathbb{R}^2 映射至 R2\mathbb{R}^2 的矩陣 AA，

rank⁡(A)+nullity⁡(A)=2.\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=2.

三個矩陣皆為 2×22\times2 矩陣，因此無論 a,ba,b 為何，皆滿足：

rank⁡(C)+nullity⁡(C)=2,\operatorname{rank}(C)+\operatorname{nullity}(C)=2,
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第 2 題

  1. Determinant identity
    a. (10 pts.) For a given matrix A=[101011]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, identify all possible matrices BB, where the last row of BB is [000]\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, such that the determinants of ABAB and BABA are equal.
    b. (25 pts.) Prove that if AA and BB are matrices of sizes m×nm \times n and n×mn \times m, then det(Im+AB)=det(In+BA)det(I_m+AB)=det(I_n+BA).
    Hint: [InBAIm]\begin{bmatrix} I_n & B \\ A & I_m \end{bmatrix}

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核心觀念

本題考查：

  1. 矩陣乘法的維度判斷。
  2. 若矩陣含有全零列，則其行列式為 00。
  3. 2×22\times 2 矩陣行列式公式：
    det⁡[abcd]=ad−bc.\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc.
  4. 分塊矩陣與行列式的消去技巧。
  5. 矩陣恆等式
    det⁡(Im+AB)=det⁡(In+BA).\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA).

解題方法

（a）找出所有符合條件的 BB

已知

A=[101011],A= \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1 \end{bmatrix},

所以 AA 是 2×32\times 3 矩陣。為使 ABAB 與 BABA 都有意義，BB 必須是 3×23\times 2 矩陣。

又因為 BB 的最後一列為零列，可設

B=[abcd00].B= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ 0&0 \end{bmatrix}.

其中 a,b,c,da,b,c,d 為任意數。

計算 ABAB

AB=[101011][abcd00]=[abcd].AB= \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ 0&0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}.

因此

det⁡(AB)=ad−bc.\det(AB)=ad-bc.

計算 BABA

BA=[abcd00][101011]=[aba+bcdc+d000].BA= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ 0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a&b&a+b\\ c&d&c+d\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.

由於 BABA 的最後一列為零列，因此

det⁡(BA)=0.\det(BA)=0.

題目要求

det⁡(AB)=det⁡(BA),\det(AB)=\det(BA),

故必須滿足

ad−bc=0.ad-bc=0.

因此所有符合條件的矩陣為

B=[abcd00],ad−bc=0\boxed{ B= \begin{bmatrix} a&b\\ c&d\\ 0&0 \end{bmatrix}, \qquad ad-bc=0 }

也就是說，BB 左上角的 2×22\times 2 子矩陣必須是奇異矩陣。

（b）證明 det⁡(Im+AB)=det⁡(In+BA)\det(I_m+AB)=\det(I_n+BA)

已知

  • AA 是 m×nm\times n 矩陣；
  • BB 是 n×mn\times m 矩陣。

因此

  • ABAB 是 m×mm\times m 矩陣；
  • BABA 是 n×nn\times n 矩陣；
  • Im+ABI_m+AB 與 In+BAI_n+BA 的行列式分別有意義。

考慮分塊矩陣

M=[InB−AIm].M= \begin{bmatrix} I_n&B\\ -A&I_m \end{bmatrix}.

此矩陣大小為 (n+m)×(n+m)(n+m)\times(n+m)。

第一種消去方式

左乘分塊下三角矩陣

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