109 年 國立中正大學通訊工程學系碩士班通訊甲組《線性代數》

本題主要在考察矩陣的行列式、秩、奇異性、行空間基底以及特徵值的概念，並要求根據不同條件找出參數 $p$ 的可能值。

首先，我們計算矩陣 $A$ 的行列式。由於 $A$ 是一個三角化矩陣（可以透過幾次列交換轉換成上三角或下三角矩陣），我們可以直接計算對角線元素的乘積，但需要注意列交換會改變行列式的符號。
$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
我們可以透過展開第一列或最後一列來計算行列式。展開第一列：
$\det(A) = 0 \cdot C_{11} + 0 \cdot C_{12} + 0 \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14}$
$C_{14} = (-1)^{1+4} \det \begin{pmatrix} 0 & 0 & p \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{pmatrix} = -1 \cdot (0 \cdot C'_{11} + 0 \cdot C'_{12} + p \cdot C'_{13})$
$C'_{13} = (-1)^{1+3} \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0) = 6$
所以 $C_{14} = -1 \cdot (p \cdot 6) = -6p$.
因此，$\det(A) = 1 \cdot (-6p) = -6p$.

我們也可以觀察矩陣結構，透過適當的列交換（交換第1列與第3列，交換第2列與第4列）來變成對角矩陣。
$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_3} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_4} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & p & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 \leftrightarrow R_4} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
這次交換操作有三次（$R_1 \leftrightarrow R_3$, $R_2 \leftrightarrow R_4$, $R_3 \leftrightarrow R_4$），每次交換會使行列式變號。所以，新的矩陣行列式為 $2 \cdot 3 \cdot p \cdot 1 = 6p$.
經過三次交換後，原矩陣的行列式為 $-(6p) = -6p$.
所以，$\det(A) = -6p$.

a. $\det(A) = 1$
由 $\det(A) = -6p$，我們有 $-6p = 1$，解得 $p = -\frac{1}{6}$.
【答案】$p = -\frac{1}{6}$

b. $\text{rank}(A) = 4$
矩陣的秩等於其行列式不為零的條件。我們已經計算出 $\det(A) = -6p$.
若要使 $\text{rank}(A) = 4$，則必須 $\det(A) \neq 0$.
$-6p \neq 0$，即 $p \neq 0$.
【答案】$p \neq 0$

c. $A$ is singular
矩陣為奇異矩陣的條件是其行列式為零。
$\det(A) = 0$
$-6p = 0$, 解得 $p = 0$.
【答案】$p = 0$

d. $\{[1, 0, 0, 0]^T, [0, 1, 0, 0]^T, [0, 0, 1, 0]^T, [0, 0, 0, 1]^T\}$ is a basis for the column space of $A$.
令 $e_1 = [1, 0, 0, 0]^T$, $e_2 = [0, 1, 0, 0]^T$, $e_3 = [0, 0, 1, 0]^T$, $e_4 = [0, 0, 0, 1]^T$ 為標準基底。
$A$ 的行空間由 $A$ 的行向量張成。如果標準基底 $\{e_1, e_2, e_3, e_4\}$ 是 $A$ 的行空間的基底，這意味著 $A$ 的行向量可以表示成標準基底的線性組合，並且這四個行向量是線性獨立的。
一個 $n \times n$ 矩陣的行空間的維度等於其秩。若標準基底是其行空間的基底，則行空間的維度為 $n=4$，這意味著矩陣的秩必須為 $4$.
由 (b) 的結果，$\text{rank}(A) = 4$ 當且僅當 $p \neq 0$.
因此，當 $p \neq 0$ 時，矩陣 $A$ 的行向量是線性獨立的，且其張成的空間維度為 4。

核心觀念

本題考查兩個重點：

1. 利用增廣矩陣 $[B\mid I]$，以列運算將左半部 $B$ 化為單位矩陣 $I$，右半部即為 $B^{-1}$。
2. 由矩陣方程
   $CB=BM$
   因為 $B$ 可逆，所以左乘 $B^{-1}$ 得
   $M=B^{-1}CB.$

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解題方法

（a）求 $B^{-1}$

將 $B$ 與 $I_4$ 組成增廣矩陣：

$$\left[ \begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&1&1&0&0&0\\ -1&0&1&0&0&1&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&1&-1&0&0&0&1 \end{array} \right].$$

先作列運算

$$R_2\leftarrow R_2+R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4-R_2.$$

得到

$$\left[ \begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&1&1&0&0&0\\ 0&0&1&1&1&1&0&0\\ 0&1&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&0&-2&-1&-1&0&1 \end{array} \right].$$

將第四列除以 $-2$：

$$R_4\leftarrow-\frac12R_4.$$

再消去第一列與第二列中的第四欄：

$$R_1\leftarrow R_1-R_4,\qquad R_2\leftarrow R_2-R_4.$$

此時交換 $R_2,R_3$，可得

$$\left[ \begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&0&\frac12&-\frac12&0&\frac12\\ 0&1&0&0&0&0&1&0\\ 0&0&1&0&\frac12&\frac12&0&\frac12\\ 0&0&0&1&\frac12&\frac12&0&-\frac12 \end{array} \right].$$

因此

$$B^{-1} = \begin{pmatrix} \frac12&-\frac12&0&\frac12\\ 0&0&1&0\\ \frac12&\frac12&0&\frac12\\ \frac12&\frac12&0&-\frac12 \end{pmatrix}.$$

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（b）求矩陣 $M$

由

$$CB=BM$$

左乘 $B^{-1}$：

$$M=B^{-1}CB.$$

直接逐欄計算較有效率。若 $B$ 的第 $j$ 欄為 $b_j$，則 $M$ 的第 $j$ 欄為

$$B^{-1}Cb_j.$$

第一欄

$$b_1= \begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}, \qquad Cb_1= \begin{pmatrix}6\\-1\\-2\\0\end{pmatrix}.$$

因此