109 年 國立中正大學通訊工程學系碩士班通訊乙組《通訊原理》

此題考驗對傳統振幅調變 (Amplitude Modulation, AM) 的基本理解。在 AM 廣播中，載波訊號的某個參數會隨著欲傳送的資訊訊號（或稱基頻訊號、調變訊號）而變化，以傳遞資訊。

傳統 AM 訊號的數學表示式為：
$s(t) = A_c [1 + m_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)$

此題需要根據提供的訊號圖示來判斷所使用的調變方式。題目中給出了基頻訊號 $m(t)$ 和調變後的訊號 $u(t)$ 的波形圖。

觀察圖示：

1. 基頻訊號 $m(t)$ 是一個正弦波。
2. 調變後的訊號 $u(t)$ 的振幅（包絡）隨著 $m(t)$ 的變化而變化，而其頻率和相位看起來是恆定的。

我們來分析各選項：
a) FM modulation (頻率調變)：在 FM 中，載波的頻率會隨著基頻訊號 $m(t)$ 的變化而變化，而振幅是恆定的。這與圖示不符。
b) PM modulation (相位調變)：在 PM 中，載波的相位會隨著基頻訊號 $m(t)$ 的變化而變化，而振幅和頻率是恆定的。這與圖示不符。
c) DSB-SC AM modulation (雙邊帶抑制載波調幅)：DSB-SC AM 的訊號形式為 $s(t) = m(t) \cos(2\pi f_c t)$。此訊號的振幅包絡是 $|m(t)|$，而不是 $m(t)$ 本身。如果 $m(t)$ 為正弦波，則 DSB-SC AM 的包絡會是 $| \sin(\cdot) |$，其形狀與 $m(t)$ 不同（例如，當 $m(t)$ 為負值時，DSB-SC AM 的包絡仍然是正值）。圖示中的 $u(t)$ 的包絡與 $m(t)$ 的正負變化是同步的，這暗示了它不是 DSB-SC AM。
d) SSB-AM modulation (單邊帶調幅)：SSB-AM 訊號的產生涉及濾波，其包絡不會直接跟隨基頻訊號 $m(t)$。
e) None of the above.

回到傳統 AM（也稱為標準 AM 或 DSB-LC AM，即雙邊帶含載波調幅），其訊號形式為 $s(t) = A_c [1 + m_a m(t)] \cos(2\pi f_c t)$。若 $m_a$ 選擇適當（例如 $m_a=1$ 且 $m(t)$ 的最小值為 -1），則調變訊號的振幅包絡會精確地跟隨 $m(t)$ 的變化（加上一個直流偏移 $A_c$）。

核心觀念

本題考查單邊帶調幅（SSB-AM）的傳輸頻寬與解調方式。

若訊息訊號的最高頻率為 $W$，則：

• 傳統調幅（AM）與雙邊帶抑制載波調幅（DSB-SC）的頻寬皆為 $2W$，因為載波兩側都傳送一個完整邊帶。
• 單邊帶調幅只傳送上邊帶或下邊帶其中之一，頻寬為 $W$。
• 標準 SSB 通常不傳送載波，因此解調時須使用同步解調，並在接收端產生與載波頻率、相位同步的訊號。

解題方法

設訊息頻譜只存在於 $|f|\leq W$。調變至載波頻率 $f_c$ 後，DSB 訊號的頻譜分布在 $f_c-W$ 至 $f_c+W$，頻寬為

$$B_{\text{DSB}}=(f_c+W)-(f_c-W)=2W$$

SSB 只保留其中一側邊帶，例如上邊帶，其頻率範圍為 $f_c$ 至 $f_c+W$，因此

$$B_{\text{SSB}}=(f_c+W)-f_c=W$$

SSB 的頻寬確實小於傳統 AM，但與 DSB-SC 相比，頻寬是其一半，而非更小。

標準抑制載波 SSB 也不能直接用包絡檢波器還原訊息。它的包絡一般不等於原訊息 $m(t)$；接收端須將訊號與同步載波相乘，再經低通濾波取回訊息。

選項分析

a) The required transmission bandwidth of SSB-AM is larger than that of conventional AM.

此題需要根據給定的原始訊號頻譜和調變後訊號頻譜來判斷調變方式。

圖示說明：

1. 原始訊號 $m(t)$ 的頻譜 $M(f)$ 是一個在 $f=0$ 處、頻寬為 $W$ 的矩形脈衝。這表示 $m(t)$ 的最高頻率成分是 $W$。
2. 調變後的訊號 $u(t)$ 的頻譜顯示，在 $f = -f_c$ 和 $f = f_c$ 處，各有一個與 $M(f)$ 形狀相同但幅度可能縮小的頻譜分量。

我們來分析各選項：

a) SSB-SC AM (單邊帶抑制載波調幅)：SSB-AM 只傳送載波的一側邊帶。例如，下邊帶 (LSB) 會將 $M(f)$ 的頻譜搬移到 $-f_c$ 附近，而上邊帶 (USB) 會將 $M(f)$ 的頻譜搬移到 $f_c$ 附近。調變後的頻譜只會出現在 $f_c$ 的一側（例如，從 $f_c - W$ 到 $f_c + W$），而不會同時出現在 $f_c$ 和 $-f_c$ 兩側。圖示顯示在 $f_c$ 和 $-f_c$ 兩側都有頻譜，所以不是 SSB-AM。

核心觀念

包絡檢波器直接追蹤 AM 訊號的包絡，因此包絡必須保持非負，且不能因過度調變而翻轉。調變度 $a$ 小於 1 時，$1+a m_n(t)$ 始終為正，可避免過度調變。

解題方法

已知 $m_n(t)$ 的最小值為 $-1$。包絡因子為 $1+a m_n(t)$，其最小值出現在 $m_n(t)=-1$：

$$\min_t\left[1+a m_n(t)\right]=1-a$$

避免過度調變的邊界條件是 $1-a\ge 0$，即 $a\le 1$。其中 $a=1$ 是 100% 調變的臨界情況，包絡會觸及零；理想情況下仍未翻轉，但實際檢波容易受雜訊與元件限制影響，因此要讓包絡檢波器穩定、容易解調，採用嚴格條件 $a<1$。

選項分析

此題考驗對 Quadrature-Carrier Multiplexing (QCM) 或稱 Quadrature Amplitude Modulation (QAM) 中，如何從接收訊號中恢復其中一個基頻訊號的理解。

已知的傳送訊號為：
$s(t) = m_1(t) \cos(2\pi f_{c}t) + m_2(t) \sin(2\pi f_{c}t)$

我們的目標是從 $s(t)$ 中恢復出 $m_1(t)$。

標準的同步解調方法是將接收訊號與一個本地產生的載波相乘，然後通過低通濾波器 (LPF) 來濾除高頻分量。

為了恢復 $m_1(t)$，我們應該將 $s(t)$ 與一個與 $m_1(t)$ 所乘載波同相的本地載波相乘。在這個傳輸訊號的結構中，$m_1(t)$ 是與 $\cos(2\pi f_{c}t)$ 相乘的。因此，我們應該用 $\cos(2\pi f_{c}t)$ 來乘以接收訊號 $s(t)$。

讓我們執行這個操作：
將 $s(t)$ 與 $\cos(2\pi f_{c}t)$ 相乘：
$s(t) \cos(2\pi f_{c}t) = [m_1(t) \cos(2\pi f_{c}t) + m_2(t) \sin(2\pi f_{c}t)] \cos(2\pi f_{c}t)$
$= m_1(t) \cos^2(2\pi f_{c}t) + m_2(t) \sin(2\pi f_{c}t) \cos(2\pi f_{c}t)$

利用三角恆等式：
$\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$
$\sin(\theta) \cos(\theta) = \frac{1}{2} \sin(2\theta)$

代入上式：
$s(t) \cos(2\pi f_{c}t) = m_1(t) \left(\frac{1 + \cos(4\pi f_{c}t)}{2}\right) + m_2(t) \left(\frac{1}{2} \sin(4\pi f_{c}t)\right)$
$= \frac{1}{2} m_1(t) + \frac{1}{2} m_1(t) \cos(4\pi f_{c}t) + \frac{1}{2} m_2(t) \sin(4\pi f_{c}t)$

這個結果包含了三個項：

1. $\frac{1}{2} m_1(t)$：這是我們想要的基頻訊號 $m_1(t)$ 的一半。
2. $\frac{1}{2} m_1(t) \cos(4\pi f_{c}t)$：這是一個高頻項，其頻率是原始載波頻率的兩倍 ($2f_c$)。
3. $\frac{1}{2} m_2(t) \sin(4\pi f_{c}t)$：這也是一個高頻項，其頻率是原始載波頻率的兩倍 ($2f_c$)。

接下來，我們將這個相乘後的訊號通過一個低通濾波器 (LPF)。低通濾波器的作用是濾除高於其截止頻率的訊號分量。

核心觀念

本題考查「寬平穩隨機過程通過線性時不變系統（LTI system）後，輸出功率頻譜密度的變化」。

若輸入隨機過程 $X(t)$ 的功率頻譜密度為 $S_X(f)$，系統頻率響應為 $H(f)$，輸出為 $Y(t)$，則輸出功率頻譜密度為

$$S_Y(f)=S_X(f)\left|H(f)\right|^2.$$

其中：

• $S_X(f)$：輸入訊號的功率頻譜密度；
• $H(f)$：系統的頻率響應；
• $\left|H(f)\right|^2$：系統對功率頻譜密度造成的增益或衰減。

系統對振幅的影響是乘上 $H(f)$，而功率與振幅平方成正比，因此功率頻譜密度必須乘上 $\left|H(f)\right|^2$。

解題方法

在頻域中，LTI 系統的輸入輸出關係為

$$Y(f)=H(f)X(f).$$

功率頻譜密度描述訊號功率隨頻率的分布。由於功率與訊號振幅的平方成正比，輸出功率相對於輸入功率的倍率為

$$\frac{|Y(f)|^2}{|X(f)|^2} = \frac{|H(f)X(f)|^2}{|X(f)|^2} = |H(f)|^2.$$

因此，

$$S_Y(f)=S_X(f)|H(f)|^2.$$

也可由自相關函數與頻譜密度的關係得到相同結果：

$$S_Y(f)=\mathcal{F}\{R_Y(\tau)\},$$

而 LTI 系統會使輸出頻譜密度等於輸入頻譜密度乘上系統頻率響應的 magnitude squared。

選項分析

a) $X(t)H(f)$

錯誤。

$X(t)$ 是時域中的隨機過程，$H(f)$ 是頻域中的系統頻率響應，兩者直接相乘在表示方式上也不一致。

核心觀念

隨機過程 $X(t)$ 的平均功率等於其功率頻譜密度 $S_X(f)$ 對所有頻率積分：

$$P_X=R_X(0)=\int_{-\infty}^{\infty}S_X(f)\,df$$

題目給定

$$S_X(f)=A\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{f}{W}\right)$$

其中 $\operatorname{rect}(f/W)$ 是一個寬度為 $W$、高度為 $1$ 的矩形頻譜，因此其非零範圍為

$$-\frac{W}{2}\le f\le \frac{W}{2}.$$

解題方法

將功率頻譜密度在整個頻率範圍積分：

$$\begin{aligned} P_X &=\int_{-\infty}^{\infty}A\cdot \operatorname{rect}\left(\frac{f}{W}\right)\,df\\ &=\int_{-W/2}^{W/2}A\,df\\ &=A\left(\frac{W}{2}-\left(-\frac{W}{2}\right)\right)\\ &=AW. \end{aligned}$$

因此，功率就是矩形頻譜下的面積：

此題考驗白雜訊通過理想低通濾波器後，輸出訊號的自相關函數 (Autocorrelation Function, ACF)。

已知：

1. 輸入白雜訊 $N(t)$ 的功率頻譜密度 (PSD) 為 $S_N(f) = N_0/2$（常數）。
2. 理想低通濾波器的頻率響應為 $H(f) = \begin{cases} 1 & |f| < W \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$。這表示濾波器的帶寬為 $W$。
3. 輸出訊號為 $W(t)$。

首先，我們需要找到輸出訊號 $W(t)$ 的功率頻譜密度 $S_W(f)$。根據隨機訊號通過線性系統的定理，輸出 PSD 是輸入 PSD 與系統幅度響應平方的乘積：
$S_W(f) = S_N(f) |H(f)|^2$

代入已知條件：
$S_W(f) = \frac{N_0}{2} \cdot |H(f)|^2$
由於 $H(f)$ 的值只有 0 或 1，所以 $|H(f)|^2 = H(f)$。
$S_W(f) = \frac{N_0}{2} \cdot \begin{cases} 1 & |f| < W \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
$S_W(f) = \begin{cases} N_0/2 & |f| < W \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

這表示輸出訊號 $W(t)$ 是一個帶限白雜訊，其頻帶寬度為 $W$，功率譜密度為 $N_0/2$。

接下來，我們需要計算輸出訊號 $W(t)$ 的自相關函數 $R_W(\tau)$。自相關函數與功率頻譜密度之間存在傅立葉轉換對關係：
$R_W(\tau) = \mathcal{F}^{-1}\{S_W(f)\}$

其中 $\mathcal{F}^{-1}$ 表示逆傅立葉轉換。
$R_W(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} S_W(f) e^{j2\pi f \tau} df$

代入 $S_W(f)$ 的表達式：
$R_W(\tau) = \int_{-W}^{W} \frac{N_0}{2} e^{j2\pi f \tau} df$

進行積分：
$R_W(\tau) = \frac{N_0}{2} \int_{-W}^{W} e^{j2\pi f \tau} df$

此題考驗隨機訊號乘以一個週期性訊號（這裡是一個餘弦波）後，輸出訊號的功率頻譜密度 (PSD) 如何變化。

已知：

1. 隨機訊號 $M(t)$ 的功率頻譜密度為 $S_M(f)$。
2. 輸出訊號 $U(t)$ 的形式為 $U(t) = A \cdot M(t) \cos(2\pi f_c t)$。

我們需要找到 $U(t)$ 的功率頻譜密度 $S_U(f)$。
根據傅立葉轉換的性質，一個訊號乘以餘弦函數相當於將其頻譜進行搬移。
如果 $X(t)$ 的傅立葉轉換是 $X(f)$，那麼 $X(t) \cos(2\pi f_c t)$ 的傅立葉轉換是 $\frac{1}{2}[X(f-f_c) + X(f+f_c)]$。

對於功率頻譜密度，若 $X(t)$ 的 PSD 是 $S_X(f)$，則 $Y(t) = X(t) \cos(2\pi f_c t)$ 的 PSD 是 $S_Y(f) = \frac{1}{2}[S_X(f-f_c) + S_X(f+f_c)]$。
此外，如果訊號被乘以一個常數 $A$，則其 PSD 會被乘以 $A^2$。

在我們的問題中，訊號是 $A \cdot M(t) \cos(2\pi f_c t)$。
首先考慮 $M(t) \cos(2\pi f_c t)$ 這個訊號。其 PSD 為：

此題要求比較 M-ary FSK (頻移鍵控) 和 M-ary PSK (相位移鍵控) 在相同資料率 ($R_b$) 和相同信噪比 ($E_b/N_0$) 下，隨著 M 值增加，其位元錯誤率 (Bit Error Rate, BER) 和頻寬 (Bandwidth) 的變化情況。

首先，我們定義一些符號：

• $M$: 一個符號所代表的可能訊息的數量。
• $R_b$: 位元資料率 (bits/sec)。
• $E_b$: 每位元的能量。
• $N_0/2$: 單邊功率譜密度 (two-sided power spectral density) 的雜訊。
• $E_b/N_0$: 信噪比，是衡量訊號品質的關鍵參數。

1. 位元錯誤率 (Bit Error Rate, BER) 的變化：

• M-ary PSK:
  對於 M-ary PSK，在相同 $E_b/N_0$ 下，其符號錯誤率 (Symbol Error Rate, SER) 通常表示為 $P_s \approx Q(\sqrt{2 E_b/N_0})$，對於 M=2 (BPSK) 而言，SER 就是 BER。對於 M > 2，SER 與 BER 的關係為 $P_b = \frac{P_s}{log_2 M}$。
  隨著 M 的增加，為了保持相同的位元資料率 $R_b$，每個符號需要傳輸的位元數 $k = \log_2 M$ 必須增加。
  在相同的 $E_b/N_0$ 下，M-ary PSK 的符號錯誤率會增加（因為 M 越大，符號越接近，更容易混淆）。由於 $P_b = P_s / \log_2 M$，如果 $P_s$ 增加，而 $\log_2 M$ 也增加，BER 的變化趨勢會受到兩者影響。
  然而，在相同的 $E_b/N_0$ 下，M-ary PSK 的 BER 實際上是惡化的，但惡化的程度取決於具體的 M 值和 $E_b/N_0$。一般來說，對於 M-ary PSK，BER 相較於 BPSK (M=2) 會增加。
  更精確地說，對於 M-ary PSK，當 M 增加時，為了維持相同的 $E_b/N_0$，符號之間的距離會變得相對更近，這會導致 SER 增加。即使 BER 的公式中包含了 $\log_2 M$ 的分母，但 SER 的增加速度通常會超過 $\log_2 M$ 的增加速度，因此整體 BER 會惡化。

• M-ary FSK:
  對於 M-ary FSK，其符號錯誤率 (SER) 在高信噪比下近似為 $P_s \approx (M-1)Q(\sqrt{d E_b/N_0})$，其中 $d$ 是與 M 和頻率間隔相關的參數，通常 $d \approx 1/2$ (對於 M=2, BFSK 且頻率間隔為 $1/(2T_s)$) 或 $d=1$ (對於 M=2, BFSK 且頻率間隔為 $1/T_s$)。
  同樣，位元錯誤率 $P_b = P_s / \log_2 M$。
  隨著 M 的增加，M-ary FSK 的 SER 也會增加。與 PSK 類似，M-ary FSK 的 BER 相較於 BFSK (M=2) 也會增加。

總結 BER 變化：
對於 M-ary PSK 和 M-ary FSK，在相同的 $E_b/N_0$ 下，隨著 M 的增加，位元錯誤率 (BER) 都會惡化（增加）。這是因為 M 值的增加意味著每個符號需要傳輸更多的位元，這使得不同符號在訊號空間中變得更接近，更容易受到雜訊的影響而產生錯誤。

2. 頻寬 (Bandwidth) 的變化：

• M-ary PSK:
  M-ary PSK 的符號傳輸速率為 $R_s = R_b / \log_2 M$ (symbols/sec)。
  對於 M-ary PSK，為了區分 M 個不同的相位，所需的頻寬大致與符號速率成正比。一個常見的近似是，所需的最小頻寬 (例如，在奈奎斯特準則下，使用升餘弦濾波器) 與符號速率 $R_s$ 成正比。
  一個簡單的估計是，頻寬 $B \approx R_s = R_b / \log_2 M$。
  因此，隨著 M 的增加，$\log_2 M$ 增加，符號速率 $R_s$ 減少，所需的頻寬 $B$ 也會減少。

核心觀念

本題考查「訊號的正交性」以及「利用內積投影求傅立葉係數」。

在區間 $0<t<T_0$ 上，定義兩個訊號的內積為

$$\langle f,g\rangle = \int_0^{T_0} f(t)g(t)\,dt.$$

若

$$\langle f,g\rangle=0,$$

則稱 $f(t)$ 與 $g(t)$ 在區間 $(0,T_0)$ 上正交。

本題中的兩個基底函數為

$$\cos(2\pi n f_0t),\qquad \sin(2\pi n f_0t),$$

且因為 $T_0=1/f_0$，所以

$$2\pi n f_0T_0=2\pi n.$$

當 $n$ 為正整數時，兩個函數在 $0$ 到 $T_0$ 之間完整振盪 $n$ 個週期。

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a) 證明兩函數正交

令

$$\omega_n=2\pi n f_0.$$

兩函數的內積為

$$\int_0^{T_0} \cos(\omega_nt)\sin(\omega_nt)\,dt.$$

利用恆等式

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta),$$

可得

$$\begin{aligned} \int_0^{T_0} \cos(\omega_nt)\sin(\omega_nt)\,dt &= \frac{1}{2}\int_0^{T_0} \sin(2\omega_nt)\,dt\\ &= \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos(2\omega_nt)}{2\omega_n} \right]_0^{T_0}\\ &= \frac{\cos(0)-\cos(2\omega_nT_0)} {4\omega_n}. \end{aligned}$$

由

$$\omega_nT_0 = 2\pi n f_0T_0 = 2\pi n,$$

因此

$$2\omega_nT_0=4\pi n.$$

因為 $n$ 為整數，

$$\cos(4\pi n)=1,$$

所以

$$\int_0^{T_0} \cos(2\pi n f_0t) \sin(2\pi n f_0t)\,dt = 0.$$

故

$$\boxed{ \cos(2\pi n f_0t) \text{ 與 } \sin(2\pi n f_0t) \text{ 在 }(0,T_0)\text{ 上正交} }.$$

補充：兩函數的能量

為了後續求出 $a,b$，需要計算各自的平方積分。

由

$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2},$$

可得

$$\begin{aligned} \int_0^{T_0}\cos^2(\omega_nt)\,dt &= \frac{1}{2}\int_0^{T_0} \left[1+\cos(2\omega_nt)\right]dt\\ &= \frac{T_0}{2}. \end{aligned}$$

同理，由

$$\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2},$$

可得

$$\int_0^{T_0}\sin^2(\omega_nt)\,dt = \frac{T_0}{2}.$$

因此

$$\boxed{ \int_0^{T_0}\cos^2(2\pi n f_0t)\,dt = \int_0^{T_0}\sin^2(2\pi n f_0t)\,dt = \frac{T_0}{2} }.$$

---

b) 已知 $x(t)$，求參數 $a$ 與 $b$

題目給定

$$x(t) = a\cos(2\pi n f_0t) + b\sin(2\pi n f_0t), \qquad 0<t<T_0.$$

此題是關於二元 PAM (Pulse Amplitude Modulation) 訊號在有雜訊環境下的接收與檢測問題。

a) 找出基底函數並繪製訊號點 (訊號星座圖) (5%)

訊號空間的維度由基底函數的數量決定。
我們有兩個訊號 $s_1(t) = g_T(t)$ 和 $s_2(t) = -g_T(t)$。
這兩個訊號都是由同一個函數 $g_T(t)$ 構成的，只是幅度符號不同。
這表示它們都位於由 $g_T(t)$ 這個單一函數張成的空間中。
因此，我們只需要一個基底函數。

• 基底函數 (Basis Function):
  我們可以選擇 $g_T(t)$ 作為基底函數 $\phi(t)$。
  $\phi(t) = g_T(t)$, for $0 \le t \le T_b$, and $\phi(t) = 0$ otherwise.
  這個基底函數是能量歸一化的，即 $||\phi(t)||^2 = \int_{0}^{T_b} |\phi(t)|^2 dt = E_g$。
  為了方便，我們通常會使用歸一化的基底函數，即 $\psi(t) = \frac{1}{\sqrt{E_g}} g_T(t)$。
  那麼，訊號可以表示為：
  $s_1(t) = \sqrt{E_g} \psi(t)$
  $s_2(t) = -\sqrt{E_g} \psi(t)$

• 訊號點 (Signal Constellation):
  訊號點是訊號在基底函數空間中的座標表示。由於我們只有一個基底函數 $\psi(t)$（一維空間），每個訊號可以表示為一個單獨的數值（其在基底函數上的投影係數）。
  訊號 $s_1(t)$ 的係數為 $s_{1,1} = \int_{0}^{T_b} s_1(t) \psi(t) dt = \int_{0}^{T_b} g_T(t) \frac{1}{\sqrt{E_g}} g_T(t) dt = \frac{1}{\sqrt{E_g}} \int_{0}^{T_b} |g_T(t)|^2 dt = \frac{E_g}{\sqrt{E_g}} = \sqrt{E_g}$。
  訊號 $s_2(t)$ 的係數為 $s_{2,1} = \int_{0}^{T_b} s_2(t) \psi(t) dt = \int_{0}^{T_b} (-g_T(t)) \frac{1}{\sqrt{E_g}} g_T(t) dt = -\frac{1}{\sqrt{E_g}} \int_{0}^{T_b} |g_T(t)|^2 dt = -\frac{E_g}{\sqrt{E_g}} = -\sqrt{E_g}$。

  所以，訊號點在一個一維空間中，分別是 $+\sqrt{E_g}$ 和 $-\sqrt{E_g}$。

• 繪製訊號點：
  在一維座標軸上，標示出兩個點：一個在 $+\sqrt{E_g}$ 的位置，另一個在 $-\sqrt{E_g}$ 的位置。這兩個點關於原點對稱。

b) 設計一個相關式解調器 (Correlation-Type Demodulator) (5%)

相關式解調器通過計算接收訊號與各個可能訊號（或基底函數）的相關性來決定接收到的訊號。
接收訊號為 $r(t) = s_i(t) + n(t)$。
我們有兩個可能的訊號 $s_1(t) = g_T(t)$ 和 $s_2(t) = -g_T(t)$。

解調器的工作流程如下：

1. 計算接收訊號 $r(t)$ 與基底函數 $\psi(t)$ 的相關性（投影）。
   $y_1 = \int_{0}^{T_b} r(t) \psi(t) dt$
   $y_1 = \int_{0}^{T_b} (s_i(t) + n(t)) \psi(t) dt$
   $y_1 = \int_{0}^{T_b} s_i(t) \psi(t) dt + \int_{0}^{T_b} n(t) \psi(t) dt$
   $y_1 = s_{i,1} + \tilde{n}$
   其中 $s_{i,1}$ 是訊號 $s_i(t)$ 在基底 $\psi(t)$ 上的係數（即訊號點的值），$\tilde{n} = \int_{0}^{T_b} n(t) \psi(t) dt$ 是雜訊在基底上的投影。

2. 比較計算出的值 $y_1$ 與預期的訊號點值。
   如果 $y_1$ 更接近 $+\sqrt{E_g}$，則判斷接收到的是 $s_1(t)$。
   如果 $y_1$ 更接近 $-\sqrt{E_g}$，則判斷接收到的是 $s_2(t)$。

   這可以通過比較 $y_1$ 與 0 的大小來實現，因為訊號點 $+\sqrt{E_g}$ 和 $-\sqrt{E_g}$ 的中點是 0。
   如果 $y_1 > 0$，則判斷為 $s_1(t)$。
   如果 $y_1 < 0$，則判斷為 $s_2(t)$。

   （注意：如果 $y_1 = 0$，則發生錯誤，但由於雜訊的存在，嚴格等於 0 的概率很小。）

   更形式化地，解調器結構包含：

   • 一個乘法器：將接收訊號 $r(t)$ 與基底函數 $\psi(t)$ 相乘。
   • 一個積分器：在 $0$ 到 $T_b$ 的時間區間上對乘法器的輸出進行積分。
   • 一個比較器：將積分結果與閾值 0 進行比較，以決定輸出哪個符號。

c) 確定最大似然檢測規則 (Maximum Likelihood Detection Rule) (5%)

在加性白高斯雜訊 (AWGN) 的情況下，最大似然 (ML) 檢測規則與最小化錯誤概率的規則是相同的。
對於二元通訊，ML 檢測規則是選擇使得條件概率密度函數 $p(r(t)|s_i(t))$ 最大的那個訊號 $s_i(t)$。
在 AWGN 環境下，這等價於最大化接收訊號 $r(t)$ 與每個可能訊號 $s_i(t)$ 之間的「相似度」，即最大化它們的匹配濾波器輸出或相關器輸出。

接收訊號 $r(t) = s_i(t) + n(t)$。
雜訊 $n(t)$ 是零均值白高斯雜訊，其 PSD 為 $N_0/2$。
我們需要判斷 $r(t)$ 更像是 $s_1(t)$ 還是 $s_2(t)$。

考慮 ML 檢測的判決變量 $y_1$（如 b 部分所示）。
$y_1 = \int_{0}^{T_b} r(t) \psi(t) dt = s_{i,1} + \tilde{n}$
其中 $s_{i,1}$ 是 $s_i(t)$ 在基底 $\psi(t)$ 上的投影，$\tilde{n}$ 是雜訊在基底上的投影。
雜訊 $\tilde{n}$ 是一個高斯隨機變數，其均值為 $E[\tilde{n}] = E[\int_{0}^{T_b} n(t) \psi(t) dt] = \int_{0}^{T_b} E[n(t)] \psi(t) dt = 0$。
其方差為 $\sigma^2 = E[\tilde{n}^2] = E[(\int_{0}^{T_b} n(t) \psi(t) dt)^2]$。
對於白高斯雜訊，這個方差等於 $\int_{0}^{T_b} \int_{0}^{T_b} E[n(t)n(\tau)] \psi(t) \psi(\tau) dt d\tau = \int_{0}^{T_b} \int_{0}^{T_b} \frac{N_0}{2}\delta(t-\tau) \psi(t) \psi(\tau) dt d\tau$
$= \frac{N_0}{2} \int_{0}^{T_b} \psi^2(t) dt = \frac{N_0}{2} ||\psi(t)||^2 = \frac{N_0}{2} \cdot 1 = \frac{N_0}{2}$。
（注意：這裡的 $\psi(t)$ 是歸一化的，能量為 1。如果使用 $g_T(t)$ 作為基底，方差會是 $\frac{N_0}{2} E_g$。）

所以，$\tilde{n}$ 是均值為 0，方差為 $N_0/2$ 的高斯隨機變數。
我們有：
如果傳送 $s_1(t)$，則 $y_1 = \sqrt{E_g} + \tilde{n}$。
如果傳送 $s_2(t)$，則 $y_1 = -\sqrt{E_g} + \tilde{n}$。

ML 檢測規則是選擇使得 $y_1$ 更可能來自的那個訊號。
這相當於比較 $y_1$ 與兩個訊號點均值之間的中點。中點是 0。
如果 $y_1 > 0$，則 $y_1$ 更可能來自 $\sqrt{E_g}$ (即 $s_1(t)$)。
如果 $y_1 < 0$，則 $y_1$ 更可能來自 $-\sqrt{E_g}$ (即 $s_2(t)$)。
如果 $y_1 = 0$，則概率相同，但通常視為一個邊界情況。

所以，ML 檢測規則是：

• 如果 $y_1 > 0$，判斷為 $s_1(t)$。
• 如果 $y_1 < 0$，判斷為 $s_2(t)$。
  這與 b) 中的相關式解調器得到的結果是一致的。