113 年 國立中正大學通訊工程學系碩士班通訊甲組《通訊原理》

此題主要在考察學生對加性白高斯雜訊 (AWGN) 的定義與特性理解。

(a) 加性白高斯雜訊 (AWGN) $n(t)$ 的數學定義：
AWGN 是一種隨機過程，其主要特性為：

1. 零均值 (Zero Mean)：其機率密度函數 (PDF) 的均值為零。
2. 白雜訊 (White Noise)：其功率譜密度 (PSD) 在所有頻率上是常數，意即其自相關函數是一個狄拉克δ函數。
3. 高斯雜訊 (Gaussian Noise)：其機率密度函數服從高斯分佈。

若 $n(t)$ 為一個零均值的高斯隨機過程，且其功率譜密度為常數 $N_0/2$ ($N_0 > 0$)，則稱其為加性白高斯雜訊。
其自相關函數 $R_n(\tau)$ 為：
$R_n(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \frac{N_0}{2} \delta(\tau)$
其中 $E[\cdot]$ 表示期望值，$\delta(\tau)$ 為狄拉克δ函數。

(b) 判斷給定的樣本函數是否為 AWGN 的樣本函數：
給定的圖形顯示了一個離散時間的樣本函數 $n(t)$，其中 $t = 0, 1, \ldots, N-1$。要判斷它是否為 AWGN 的樣本函數，我們需要檢查其是否符合 AWGN 的特性。

步驟與方法：

1. 檢查均值 (Mean)：觀察圖形，樣本函數的值在正負之間波動。從圖中估計，樣本函數的平均值看起來接近零。如果計算樣本平均值 $\frac{1}{N}\sum_{t=0}^{N-1} n(t)$，應該接近零。
2. 檢查高斯分佈 (Gaussian Distribution)：觀察樣本函數的取值分佈。圖形顯示，大多數樣本值集中在零附近，較大的正負值出現的頻率較低。這符合高斯分佈的特徵，即值越偏離均值，出現的機率越低。可以進一步繪製樣本值的直方圖來觀察其分佈是否近似高斯。
3. 檢查白雜訊特性 (White Noise Property)：這是最關鍵的檢查點。白雜訊的定義是其功率譜密度為常數，或者說其自相關函數在 $\tau \neq 0$ 時為零。對於離散時間序列，這意味著 $E[n[k]n[k+m]] = 0$ 對於所有 $m \neq 0$。
   • 計算自相關函數的估計值：我們可以計算樣本數據的自相關函數估計值。

核心觀念

本題考查週期訊號的傅立葉級數、理想低通濾波器，以及週期訊號的自相關函數與功率譜密度。

若週期為 $T_0$ 的訊號表示為

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} C_k e^{j2\pi k t/T_0},$$

其傅立葉級數係數為

$$C_k=\frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2}x(t)e^{-j2\pi kt/T_0}\,dt.$$

理想低通濾波器只保留截止頻率範圍內的頻率成分。週期訊號的功率譜密度為

$$S_y(f)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|Y_k|^2 \delta\left(f-\frac{k}{T_0}\right),$$

其中 $Y_k$ 為輸出訊號的傅立葉級數係數。

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解題方法

題目給定在一個週期內

$$x(t)=\Pi\left(\frac{t}{T_0}\right)\frac{1}{T_0}, \qquad -\frac{T_0}{2}<t<\frac{T_0}{2}.$$

由單位矩形脈波的定義，

$$\Pi\left(\frac{t}{T_0}\right)=1, \qquad -\frac{T_0}{2}<t<\frac{T_0}{2}.$$

因此，在一個週期內 $x(t)$ 的值為

$$x(t)=\frac{1}{T_0}.$$

由於此波形以 $T_0$ 為週期重複，實際上整個時間軸上的訊號就是常數訊號：

$$x(t)=\frac{1}{T_0}.$$

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(a) $T_0=1$ 時的 $x(t)$

當 $T_0=1$ 時，

$$x(t)=1, \qquad -\frac12<t<\frac12.$$

週期性延拓後，每一個長度為 $1$ 的區間內訊號皆為 $1$。因此其圖形可描述為：

• 在一個週期 $-\frac12<t<\frac12$ 內，是高度為 $1$ 的矩形脈波；
• 以 $1$ 為週期重複；
• 由於矩形脈波寬度正好等於週期，週期延拓後等同於整條水平直線 $x(t)=1$。

端點 $t=\pm\frac12$ 的定義不影響傅立葉級數與濾波結果。

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(b) 輸出訊號 $y(t)$

傅立葉級數係數

代入 $x(t)=1/T_0$：

$$C_k = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} \frac{1}{T_0} e^{-j2\pi kt/T_0}\,dt.$$

當 $k=0$ 時，

$$C_0 = \frac{1}{T_0} \int_{-T_0/2}^{T_0/2} \frac{1}{T_0}\,dt = \frac{1}{T_0}.$$

當 $k\neq 0$ 時，

$$C_k = \frac{1}{T_0^2} \left[ \frac{e^{-j2\pi kt/T_0}} {-j2\pi k/T_0} \right]_{-T_0/2}^{T_0/2} =0.$$

所以

$$x(t)=\frac{1}{T_0},$$

只有直流成分，沒有任何非零頻率的諧波。

理想低通濾波器的截止頻率為

$$f_c=\frac{3}{2T_0}.$$

此題主要考察調頻 (FM) 信號的數學表示、複包絡、傅立葉轉換以及功率計算。

首先，我們有調頻信號的定義：
$x(t) = A \cos \left(2\pi f_c t + 2\pi f_d \int_0^t m(\tau) d\tau \right)$
其中，訊息訊號為 $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$。

(a) 將調頻信號表示為 $x(t) = A \cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))$ 並求 $\beta$。

首先，計算積分部分：
$\int_0^t m(\tau) d\tau = \int_0^t A_m \cos(2\pi f_m \tau) d\tau$
$= A_m \left[ \frac{\sin(2\pi f_m \tau)}{2\pi f_m} \right]_0^t$
$= A_m \frac{\sin(2\pi f_m t)}{2\pi f_m} - A_m \frac{\sin(0)}{2\pi f_m}$
$= \frac{A_m}{2\pi f_m} \sin(2\pi f_m t)$

將此結果代入 FM 信號的指數部分：
$2\pi f_d \int_0^t m(\tau) d\tau = 2\pi f_d \left( \frac{A_m}{2\pi f_m} \sin(2\pi f_m t) \right)$
$= \frac{f_d A_m}{f_m} \sin(2\pi f_m t)$

所以，調頻信號 $x(t)$ 可以寫成：
$x(t) = A \cos \left(2\pi f_c t + \frac{f_d A_m}{f_m} \sin(2\pi f_m t) \right)$

將此式與題目要求的形式 $x(t) = A \cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))$ 進行比較。
我們可以得到：
$\beta = \frac{f_d A_m}{f_m}$

【答案】
$x(t) = A \cos \left(2\pi f_c t + \frac{f_d A_m}{f_m} \sin(2\pi f_m t) \right)$
$\beta = \frac{f_d A_m}{f_m}$

(b) 求 $x(t) = A \cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))$ 的複包絡 (complex envelope)。

一個實數信號 $x(t) = A(t) \cos(\theta(t))$ 的複包絡定義為 $x_e(t) = A(t) e^{j\theta(t)}$。
在這裡，我們有 $x(t) = A \cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))$。
我們可以將其視為 $x(t) = \text{Re}\{ A e^{j(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))} \}$。
因此，複包絡為：
$x_e(t) = A e^{j(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))}$
$x_e(t) = A e^{j 2\pi f_c t} e^{j \beta \sin(2\pi f_m t)}$

【答案】
$x_e(t) = A e^{j 2\pi f_c t} e^{j \beta \sin(2\pi f_m t)}$

(c) 求 $x(t) = A \cos(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t))$ 的連續時間傅立葉轉換 (CTFT)。

首先，我們將 $x(t)$ 展開：
$x(t) = A \cos(2\pi f_c t) \cos(\beta \sin(2\pi f_m t)) - A \sin(2\pi f_c t) \sin(\beta \sin(2\pi f_m t))$

我們知道一些貝塞爾函數的恆等式：
$e^{j z \sin(\theta)} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} J_k(z) e^{j k \theta}$
$\cos(z \sin(\theta)) = J_0(z) + 2 \sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(z) \cos(2k\theta)$
$\sin(z \sin(\theta)) = 2 \sum_{k=0}^{\infty} J_{2k+1}(z) \sin((2k+1)\theta)$

令 $\theta = 2\pi f_m t$ 且 $z = \beta$。
$\cos(\beta \sin(2\pi f_m t)) = J_0(\beta) + 2 \sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(\beta) \cos(2k (2\pi f_m t))$
$\sin(\beta \sin(2\pi f_m t)) = 2 \sum_{k=0}^{\infty} J_{2k+1}(\beta) \sin((2k+1) 2\pi f_m t)$

代入 $x(t)$：
$x(t) = A \cos(2\pi f_c t) \left( J_0(\beta) + 2 \sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(\beta) \cos(2k 2\pi f_m t) \right)$
$\quad - A \sin(2\pi f_c t) \left( 2 \sum_{k=0}^{\infty} J_{2k+1}(\beta) \sin((2k+1) 2\pi f_m t) \right)$

利用三角恆等式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$ 和 $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$。
令 $A = 2\pi f_c t$。

第一項：
$A \cos(2\pi f_c t) \left( J_0(\beta) + 2 \sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(\beta) \cos(2k 2\pi f_m t) \right)$
$= A J_0(\beta) \cos(2\pi f_c t) + 2A \sum_{k=1}^{\infty} J_{2k}(\beta) \cos(2\pi f_c t) \cos(2k 2\pi f_m t)$

核心觀念

本題考查相干 $8$-PSK 在複數 AWGN 通道中的最大概似偵測。

已知

$$x=hs+w$$

其中 $h$ 已知、$s\in S$，且採用複數高斯雜訊定義

$$w\sim\mathcal{CN}(0,\sigma^2), \qquad \mathbb{E}[|w|^2]=\sigma^2.$$

因此，每個可能的接收訊號 $hs$ 都是複數平面上的一個候選點，MLD 的本質就是選擇距離接收點 $x$ 最近的候選點。

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(a) $8$-PSK 星座圖

星座集合為

$$S=\left\{e^{j2\pi k/8}:k=0,1,\ldots,7\right\}.$$

各點如下：

$$\begin{aligned} s_0&=e^{j0}=1,\\ s_1&=e^{j\pi/4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}},\\ s_2&=e^{j\pi/2}=j,\\ s_3&=e^{j3\pi/4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}},\\ s_4&=e^{j\pi}=-1,\\ s_5&=e^{j5\pi/4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}-j\frac{1}{\sqrt{2}},\\ s_6&=e^{j3\pi/2}=-j,\\ s_7&=e^{j7\pi/4}=\frac{1}{\sqrt{2}}-j\frac{1}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

所以星座圖是在原點為中心、半徑為 $1$ 的圓上，每隔

$$\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}=45^\circ$$

放置一個點。

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(b) 偵測 $s$ 的 likelihood function

給定傳送符號 $s$ 時，

$$x|s=hs+w.$$

由於 $w\sim\mathcal{CN}(0,\sigma^2)$，條件機率密度函數為

$$p(x|s) = \frac{1}{\pi\sigma^2} \exp\left( -\frac{|x-hs|^2}{\sigma^2} \right), \qquad s\in S.$$

因此 likelihood function 為

$$\boxed{ L(s;x)=p(x|s) = \frac{1}{\pi\sigma^2} \exp\left( -\frac{|x-hs|^2}{\sigma^2} \right) }$$

若題目將 $\sigma^2$ 定義為每個實數維度的雜訊變異數，公式中的 $\sigma^2$ 應相應改為 $2\sigma^2$。

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(c) Maximum Likelihood Detector 的決策規則

MLD 選擇使 likelihood 最大的符號：

$$\hat{s}_{\mathrm{ML}} = \arg\max_{s\in S}p(x|s).$$

因為前面的常數相同，且指數函數為單調遞增函數，因此等價於選擇距離最近的候選訊號：

$$\hat{s}_{\mathrm{ML}} = \arg\min_{s\in S}|x-hs|^2.$$

將距離展開：

$$|x-hs|^2 = |x|^2+|h|^2|s|^2-2\operatorname{Re}\{xh^*s^*\}.$$

由於 $|s|=1$，前兩項與 $s$ 無關，因此 MLD 可化簡為

$$\hat{s}_{\mathrm{ML}} = \arg\max_{s\in S} \operatorname{Re}\{xh^*s^*\}.$$

又因為

$$xh^*s^* = |x||h|e^{j(\arg x-\arg h-\arg s)},$$

所以等價的相位判決規則為

$$\boxed{ \hat{s}_{\mathrm{ML}} = \text{選擇相位最接近 } \arg(xh^*) \text{ 的 } 8\text{-PSK 符號} }$$

其中相位需以 $2\pi$ 為週期處理。

也可先進行通道補償：

$$z=\frac{h^*}{|h|^2}x=s+\frac{h^*}{|h|^2}w, \qquad h\neq 0,$$

再選擇相位最接近 $z$ 的星座點。

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(d) MLD 的決策區域

令

$$\theta_k=\frac{2\pi k}{8}=\frac{k\pi}{4}.$$

第 $k$ 個符號 $s_k=e^{j\theta_k}$ 的決策區域，是通道旋轉後候選點 $hs_k$ 周圍的 Voronoi 區域。

接收訊號經通道相位補償後，其相位為

$$\arg(xh^*).$$

因此，判決為 $s_k$ 的條件是

$$\boxed{ \left| \arg(xh^*)-\frac{2\pi k}{8} \right|_{\mathrm{mod}\ 2\pi} \leq \frac{\pi}{8} }$$

也就是每個符號各占一個角度寬度為

$$\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$$

的扇形區域，邊界位於相鄰星座點角度的中間。

此題主要考察立體聲 FM 廣播系統的傳送端和接收端設計，包括頻分多工 (FDM) 和頻率調變 (FM) 的應用。

立體聲 FM 廣播通常採用以下結構：

1. 主通道 (Main Channel / L+R)：左聲道 $m_1(t)$ 和右聲道 $m_2(t)$ 的和。
2. 副通道 (Subchannel / L-R)：左聲道 $m_1(t)$ 和右聲道 $m_2(t)$ 的差。
3. 導頻音 (Pilot Tone)：一個 19 kHz 的正弦波，用於接收端同步。
4. 額外音訊 (Optional)：例如 38 kHz 的雙邊帶抑制載波 (DSB-SC) 調製的 L-R 信號，以及其他輔助信號。

題目中給的訊息：

• 左聲道 $m_1(t)$，右聲道 $m_2(t)$，頻寬均為 15 kHz。
• 導頻音 $p(t) = \cos(2\pi f_p t)$，其中 $f_p = 19$ kHz。

標準的立體聲 FM 傳輸結構：

• 求和與差值：
  $L+R = m_1(t) + m_2(t)$
  $L-R = m_1(t) - m_2(t)$
• L-R 信號的調變：
  $L-R$ 信號會被調變到一個更高的頻率，通常是 38 kHz，使用 DSB-SC 調變。
  $m_{LR}(t) = (L-R) \cos(2\pi f_{DSB} t)$，其中 $f_{DSB} = 38$ kHz。
  $m_{LR}(t) = (m_1(t) - m_2(t)) \cos(2\pi \cdot 38 \text{ kHz} \cdot t)$
• 多路複用 (Multiplexing)：
  將 $L+R$ 信號、$m_{LR}(t)$ 和導頻音 $p(t)$ 進行頻分多工。
  $L+R$ 信號的頻寬是 15 kHz，其頻譜在 0-15 kHz。
  $m_{LR}(t)$ 的頻寬是 15 kHz，但因為乘以 38 kHz 的載波，其頻譜會移動到 $38 \pm 15$ kHz，即 23-53 kHz。
  導頻音 $p(t)$ 是 19 kHz 的單音。
  為了避免頻譜重疊，通常會對 $L+R$ 和 $L-R$ 信號進行頻移和濾波。
  一個常見的設計是：
  • $L+R$ 信號 (頻寬 15 kHz)，頻譜在 $[0, 15]$ kHz。
  • $L-R$ 信號調變到 38 kHz，經過 DSB-SC 調變後，頻譜在 $[38-15, 38+15] = [23, 53]$ kHz。
  • 導頻音在 19 kHz。
    為了使頻譜不重疊，通常會對 $L+R$ 信號進行頻移，例如上變頻到 30-45 kHz 範圍，或者使用一個低通濾波器保留 0-15 kHz，然後再進行調變。
    標準的立體聲 FM 複合信號頻譜分配如下：
  • L+R: 0 - 15 kHz
  • 導頻音: 19 kHz (單音)
  • L-R (DSB-SC): 23 - 53 kHz (由 38 kHz 載波調變)
    所有這些基礎帶信號 (baseband signals) 被組合起來，然後進行 FM 調變，傳送出去。

(a) Stereo FM Transmitter Design (Block Diagram)

1. 音訊輸入: 接收左聲道 $m_1(t)$ 和右聲道 $m_2(t)$。
2. 加法器 (Summation): 計算 $L+R = m_1(t) + m_2(t)$。
3. 減法器 (Subtraction): 計算 $L-R = m_1(t) - m_2(t)$。
4. DSB-SC 調變器 (DSB-SC Modulator): 將 $L-R$ 信號與 38 kHz 載波相乘。
   $m_{LR}(t) = (m_1(t) - m_2(t)) \cos(2\pi \cdot 38 \text{ kHz} \cdot t)$。
5. 導頻音產生器 (Pilot Tone Generator): 產生 19 kHz 的正弦波 $p(t) = \cos(2\pi \cdot 19 \text{ kHz} \cdot t)$。
6. 濾波器 (Filters):
   • 對 $L+R$ 信號進行低通濾波，保留 0-15 kHz 的頻段。
   • 對 $m_{LR}(t)$ 信號進行帶通濾波，保留 23-53 kHz 的頻段。
7. 加法器 (Combiner/Multiplexer): 將經過濾波的 $L+R$ 信號、$m_{LR}(t)$ 和導頻音 $p(t)$ 組合起來，形成一個複合基礎帶信號 $S_{baseband}(t)$。
   $S_{baseband}(t) = \text{LPF}(L+R) + m_{LR}(t) + p(t)$
   頻譜：
   • $\text{LPF}(L+R)$: $[0, 15]$ kHz
   • $m_{LR}(t)$: $[23, 53]$ kHz
   • $p(t)$: 19 kHz (一個尖峰)
8. FM 調變器 (FM Modulator): 將複合基礎帶信號 $S_{baseband}(t)$ 用於調變一個載波頻率 $f_c$ (例如 88-108 MHz 範圍的某個頻率)，產生最終的 FM 廣播信號 $x_{FM}(t)$。
   $x_{FM}(t) = A \cos(2\pi f_c t + 2\pi f_d \int_0^t S_{baseband}(\tau) d\tau)$

方塊圖示意：

graph LR
    M1(m1(t)) --> Sum[+]
    M2(m2(t)) --> Sum
    Sum --> LplusR[L+R]
    M1 --> Sub[-]
    M2 --> Sub
    Sub --> LminusR[L-R]
    LminusR --> Mod38k[x cos(2pi*38k*t)]
    Mod38k --> Filter_LR[Bandpass Filter 23-53kHz]
    PilotGen[19kHz Cos] --> Pilot[p(t)]
    LplusR --> Filter_LPF[Lowpass Filter 0-15kHz]
    Filter_LPF --> Comb[+]
    Pilot --> Comb
    Filter_LR --> Comb
    Comb --> Baseband[S_baseband(t)]
    Baseband --> FM_Mod[FM Modulator]
    FM_Mod --> FM_Signal[FM Broadcast Signal]