108 年 國立中正大學電機工程學系碩士班電磁晶片組《電磁學》

核心觀念

本題考查兩個向量微積分基本定義：

1. 純量函數的梯度

   對純量函數 $f(x,y,z)$，梯度定義為

$$\nabla f =\frac{\partial f}{\partial x}\hat{i} +\frac{\partial f}{\partial y}\hat{j} +\frac{\partial f}{\partial z}\hat{k}.$$

2. 向量場的旋度

   若

   $\vec{F}=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}+F_z\hat{k},$

   則旋度定義為

$$\nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z}\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}.$$

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(a) 求 $\nabla f$

已知

$f=xyz.$

分別對 $x$、$y$、$z$ 求偏微分：

$\frac{\partial f}{\partial x}=yz,$

$\frac{\partial f}{\partial y}=xz,$

$\frac{\partial f}{\partial z}=xy.$

因此

$$\nabla f =yz\hat{i}+xz\hat{j}+xy\hat{k}.$$

梯度方向代表純量函數 $f$ 增加最快的方向，而各分量就是 $f$ 對各座標方向的變化率。

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(b) 求 $\nabla\times\vec{F}$

已知

$$\vec{F} =3x\hat{i}+(4y^2+z^2)\hat{j}+(5z^2-2x)\hat{k}.$$

因此

$$F_x=3x,\qquad F_y=4y^2+z^2,\qquad F_z=5z^2-2x.$$

依旋度公式：

核心觀念

圓形電流環在其軸線上的磁場可由畢奧－沙伐定律積分得到。半徑為 $R$、電流為 $I$ 的單一圓環，若圓心位於 $z=z_0$，則軸上位置 $z$ 的磁場為

$$\mathbf B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\left[R^2+(z-z_0)^2\right]^{3/2}}\,\hat{\mathbf z}.$$

兩個圓環電流方向相同，因此在 $z$ 軸上的磁場方向相同，可以直接相加。

解題方法

由圖可知兩圓環分別位於 $z=d$ 與 $z=-d$。套用單一圓環的軸上磁場公式，再利用疊加原理：

$$\mathbf B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2} \left[ \frac{1}{\left(R^2+(z-d)^2\right)^{3/2}} + \frac{1}{\left(R^2+(z+d)^2\right)^{3/2}} \right]\hat{\mathbf z}.$$

這是關於 $z$ 的偶函數，故中心 $z=0$ 一定是極值位置之一。對 $B_z(z)$ 微分：

$$\frac{dB_z}{dz} = -\frac{3\mu_0 I R^2}{2} \left[ \frac{z-d}{\left(R^2+(z-d)^2\right)^{5/2}} + \frac{z+d}{\left(R^2+(z+d)^2\right)^{5/2}} \right].$$

在 $z=0$ 處導數為零。再看中心附近的曲率：

核心觀念

此題考查均勻導體的直流電阻。導體長度為 $L$、電導率為 $\sigma$，電流沿圓柱軸向流動，因此電流通過的截面是環形面積。圖中 $a$ 為內半徑，$b$ 為外半徑。

均勻導體的電阻為

$$R=\frac{L}{\sigma A}$$

其中 $A$ 是垂直於電流方向的截面積。

解題方法

環形截面面積等於外圓面積減去內圓面積：

$$A=\pi b^2-\pi a^2=\pi(b^2-a^2)$$

核心觀念

均一平面波通常寫成

$$\vec{E}=\vec{E}_0 e^{j(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{r})}$$

其中：

• $\omega$：角頻率，單位為 $\mathrm{rad/s}$
• $f$：頻率，單位為 $\mathrm{Hz}$
• $\vec{k}$：波向量
• $\vec{E}_0$：電場振幅與方向

角頻率與頻率的關係為

$$\omega=2\pi f$$

因此

$$f=\frac{\omega}{2\pi}$$

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解題方法

題目給定

$$\vec{E}=20e^{j(\omega t-kx)}\hat{y}\ \mathrm{V/m}$$

直接比較其時間相位項與空間相位項，即可判斷頻率與極化狀況。

(a) 頻率

電場的時間相位為 $\omega t$，所以其角頻率為 $\omega$。由

$$\omega=2\pi f$$

得到頻率

$$\boxed{f=\frac{\omega}{2\pi}\ \mathrm{Hz}}$$

題目未提供 $\omega$ 的數值，因此頻率只能以 $\omega$ 表示。

在真空中另有

$$k=\frac{\omega}{c}$$

其中 $c$ 為真空光速，但此關係不影響頻率的基本判定。

(b) 極化狀況

核心觀念

此題考查真空中均一平面波的基本關係：

• 波相位判斷傳播方向。
• 真空中的波阻抗 $\eta_0$。
• 電場與磁場的方向關係。
• 位移電流密度 $J_d$。
• 相速度與平均坡印亭向量。

已知

$$\vec{H}=20\sin(2\pi\times10^7t-ky)\,\hat{x}\ \text{mA/m}$$

將磁場振幅換算為 SI 單位：

$$H_0=20\ \text{mA/m}=0.02\ \text{A/m}$$

角頻率為

$$\omega=2\pi\times10^7\ \text{rad/s}$$

因相位為 $\omega t-ky$，故波沿 $+\hat{y}$ 方向傳播。

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(a) 對應之電場

真空中的波阻抗為

$$\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \approx 120\pi\ \Omega \approx 377\ \Omega$$

平面波中電場與磁場同相，且滿足

$$E_0=\eta_0 H_0$$

因此電場振幅為

$$E_0=377(0.02)=7.54\ \text{V/m}$$

方向必須滿足波功率傳播方向：

$$\vec{E}\times\vec{H}=+\hat{y}$$

已知 $\vec{H}$ 沿 $\hat{x}$，因此 $\vec{E}$ 應沿 $\hat{z}$，因為

$$\hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}$$

所以

$$\boxed{ \vec{E}=7.54\sin(2\pi\times10^7t-ky)\,\hat{z}\ \text{V/m} }$$

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(b) 位移電流密度

真空中沒有傳導電流，因此位移電流密度為

$$\vec{J}_d=\frac{\partial\vec{D}}{\partial t} =\varepsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$$

由

$$\vec{E}=E_0\sin(\omega t-ky)\,\hat{z}$$

可得

$$\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} =\omega E_0\cos(\omega t-ky)\,\hat{z}$$

因此

$$\vec{J}_d =\varepsilon_0\omega E_0 \cos(\omega t-ky)\,\hat{z}$$

代入數值：

$$J_{d0} =\varepsilon_0\omega E_0$$ $$J_{d0} =(8.854\times10^{-12})(2\pi\times10^7)(7.54) \approx 4.19\times10^{-3}\ \text{A/m}^2$$

故

核心觀念

三層介質沿電場方向依序夾在兩電極間，等效為串聯電容。串聯介質中的電通量密度 $D$ 相同，因此各層電場滿足

$$D=\epsilon_i E_i=\epsilon_0\epsilon_{ri}E_i$$

題目圖示參數為：

$$\begin{array}{c|c|c} \text{介質} & d_i & \epsilon_{ri}\\ \hline 1 & 0.2\ \text{mm} & 10\\ 2 & 1.0\ \text{mm} & 5\\ 3 & 0.5\ \text{mm} & 15 \end{array}$$

解題方法

(a) 電容密度

令電極面積為 $A$，各層的電容為 $C_i=\epsilon_0\epsilon_{ri}A/d_i$。三層串聯，故

$$\frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{C_i} =\frac{1}{\epsilon_0 A}\sum_{i=1}^{3}\frac{d_i}{\epsilon_{ri}}$$

因此電容密度為

$$\frac{C}{A} =\frac{\epsilon_0}{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\frac{d_i}{\epsilon_{ri}}}$$

代入厚度（換算為公尺）：

$$\sum_{i=1}^{3}\frac{d_i}{\epsilon_{ri}} =\frac{0.2\times10^{-3}}{10} +\frac{1.0\times10^{-3}}{5} +\frac{0.5\times10^{-3}}{15} =2.5333\times10^{-4}\ \text{m}$$