113 年 國立中正大學電機工程學系碩士班計算機工程組《線性代數與微分方程》

核心觀念

1. 列等價（Row Equivalence）的定義：
   若矩陣 $A$ 可藉由有限次「基本列運算（Elementary Row Operations）」化為矩陣 $B$，則稱 $A$ 與 $B$ 為列等價，記作 $A \sim_R B$。
2. 列等價的等價條件：
   同維度大小的矩陣 $A$ 與 $B$ 列等價，若且唯若它們具有相同的簡約列梯形式（Reduced Row Echelon Form, RREF），亦等價於其**列空間（Row Space）**相同，即： $$A \sim_R B \iff \text{RREF}(A) = \text{RREF}(B) \iff \text{Row}(A) = \text{Row}(B)$$
3. 可逆矩陣與列等價：
   對於同階的方陣 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$，若兩者皆為非奇異矩陣（Invertible / Nonsingular Matrix，即行列式值不為零、滿秩 $\text{rank}=n$），則它們的簡約列梯形式皆為單位矩陣 $I_n$。因此，任意兩個同階的可逆矩陣必互相列等價。

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解題方法

將題目給定的條件 $a = 1$ 與 $b = 0$ 分別代入矩陣 $C$、$D$、$E$，求出各矩陣的簡約列梯形式（$\text{RREF}$）或透過判別式與秩（Rank）進行比對：

1. 矩陣 $C$：

   $$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

   進行列運算：第二列減去第一列（$R_2 - R_1 \to R_2$），得：

   $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_2$$

   因此，$\text{RREF}(C) = I_2$（$\det(C) = 1 \neq 0$，為非奇異矩陣，$\text{rank}(C) = 2$）。

2. 矩陣 $D$：

   $$D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

核心觀念

1. 基本子空間的正交補空間定理（Fundamental Theorem of Linear Algebra）：
   對任意實數矩陣 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，其列空間（Row Space）的正交補空間為其零空間（Null Space）： $$(\operatorname{Row}(A))^{\perp} = \operatorname{Null}(A)$$
2. 零空間與矩陣的秩（Rank）：
   若要求列空間的正交補空間僅包含零向量，即： $$(\operatorname{Row}(A))^{\perp} = \operatorname{Null}(A) = \{\mathbf{0}\}$$ 這等價於矩陣 $A$ 的零度（nullity）為 $0$。
   根據維度定理（Rank-Nullity Theorem）： $$\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n$$ 其中 $n$ 為矩陣的行數（column 數）。由於本題給定的矩陣皆為 $2 \times 2$ 矩陣（$n = 2$），因此： $$\operatorname{Null}(A) = \{\mathbf{0}\} \iff \operatorname{nullity}(A) = 0 \iff \operatorname{rank}(A) = 2 \iff \det(A) \neq 0$$ 也就是說，矩陣必須為可逆（非奇異，Non-singular）矩陣。

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解題方法

依題意，代入條件 $a = 0$ 與 $b = 1$，求出各矩陣在該條件下的具體數值，並計算其行列式值（Determinant）或秩（Rank），以檢驗哪一個矩陣的列空間正交補空間為 $\{\mathbf{0}\}$。

將 $a = 0, b = 1$ 代入矩陣 $C$、$D$、$E$：

1. 矩陣 $C$：

   $$C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

   計算其行列式：

   $$\det(C) = (0)(1) - (1)(1) = -1 \neq 0$$

   因為 $\det(C) \neq 0$，所以 $C$ 為可逆矩陣，$\operatorname{rank}(C) = 2$。
   其零空間為：

   $$\operatorname{Null}(C) = \{\mathbf{0}\}$$

   因此，$(\operatorname{Row}(C))^{\perp} = \operatorname{Null}(C) = \{\mathbf{0}\}$。

2. 矩陣 $D$：

   $$D = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

   計算其行列式：

   $$\det(D) = (0)(1) - (0)(0) = 0$$

   因為 $\det(D) = 0$，且顯然第 1 個 row 全為 0，故 $\operatorname{rank}(D) = 1$。
   其零度為 $\operatorname{nullity}(D) = 2 - 1 = 1 \neq 0$，零空間不只有零向量：

核心觀念

本題評量線性代數中最基礎且重要的核心定理之一：秩與零度定理（Rank-Nullity Theorem，又稱維度定理 Dimension Theorem）。

對於任意一個大小為 $m \times n$ 的實數（或複數）矩陣 $A$（對應線性映射 $T_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$），其行空間的維度（即矩陣的秩，$\operatorname{rank}(A)$）與零空間（核空間）的維度（即零度，$\operatorname{nullity}(A)$）之和，恆等於矩陣的行數（column 數） $n$：

$$\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n$$

此定理對任意數值（不論未知常數 $a, b$ 的取值為何）均無條件成立。

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解題方法

1. 觀察矩陣維度：
   題幹中給定三個矩陣：

   $$C = \begin{bmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{bmatrix}, \quad E = \begin{bmatrix} 0 & a \\ 1 & b \end{bmatrix}$$

   這三個矩陣皆為 $2 \times 2$ 的方陣，其行數（column 數）均為 $n = 2$。

2. 套用秩與零度定理：
   根據 Rank-Nullity Theorem，若矩陣具有 $2$ 個行向量（$n = 2$），則不論該矩陣為可逆、奇異、甚至是零矩陣，其秩與零度的總和永遠固定等於行數 $2$：

   $$\operatorname{rank}(M) + \operatorname{nullity}(M) = 2, \quad \forall M \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$$

   因此，矩陣 $C$、$D$、$E$ 皆滿足該條件。

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選項分析（矩陣逐一檢驗）

• 矩陣 $C = \begin{bmatrix} a & b \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$：
  • 大小為 $2 \times 2$，行數 $n = 2$。

核心觀念

1. 滿秩（Full-Rank）矩陣：
   對於一個 $n \times n$ 的方陣 $M$，若其秩 $\operatorname{rank}(M) = n$，則稱 $M$ 為滿秩矩陣。對於 $2 \times 2$ 方陣而言，滿秩等價於 $\operatorname{rank}(M) = 2$。
2. 行列式與可逆性判別：
   方陣 $M$ 為滿秩矩陣 $\iff M$ 為非奇異（Non-singular，即具備反矩陣）$\iff \det(M) \neq 0$。
   相對地，非滿秩（Not full-rank）矩陣 $\iff \det(M) = 0 \iff \operatorname{rank}(M) < n$。
3. 列向量／行向量的線性相依性：
   一個 $2 \times 2$ 矩陣若兩列（或兩行）成比例（線性相依），則其行列式為 $0$，該矩陣必非滿秩。

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解題方法

將 $a = 1$ 與 $b = 1$ 代入題目給定的三個矩陣 $C$、$D$、$E$，並分別計算其行列式值：

• 若行列式值不等於 $0$，則該矩陣為滿秩（Full-rank）。
• 若行列式值等於 $0$，則該矩陣非滿秩（Not full-rank）。

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選項分析

將 $a = 1, b = 1$ 分別代入各矩陣進行驗證：

• 矩陣 $C$： $$C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$ 計算其行列式： $$\det(C) = (1)(1) - (1)(1) = 0$$

核心觀念

1. 矩陣乘法之維度相容性與行列式定義：
   • 若矩陣 $\mathbf{A}$ 之維度為 $m \times n$，要使矩陣乘積 $\mathbf{AB}$ 與 $\mathbf{BA}$ 均有意義且可計算行列式，$\mathbf{AB}$ 與 $\mathbf{BA}$ 必須皆為方陣（Square Matrix）。
   • 由此可決定 $\mathbf{B}$ 之維度必須為 $n \times m$。對於本題 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$，$\mathbf{B}$ 之大小必定為 $3 \times 2$。
2. 矮胖矩陣相乘之秩（Rank）與行列式性質：
   • 若矩陣 $\mathbf{B} \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$ 且 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$，則乘積 $\mathbf{BA} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$。
   • 根據矩陣相乘之秩性質：$\operatorname{rank}(\mathbf{BA}) \le \min(\operatorname{rank}(\mathbf{B}), \operatorname{rank}(\mathbf{A})) \le 2 < 3$。
   • 階數為 $3 \times 3$ 但秩不大於 $2$ 之方陣必為奇異矩陣（Singular Matrix），故其行列式恆為零：$\det(\mathbf{BA}) = 0$。
3. 全零列之行列式性質：
   • 方陣中若存在一整列為零向量，其行列式值必為 $0$。

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解題方法

步驟一：決定矩陣 $\mathbf{B}$ 的維度與形式

給定矩陣 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$，其維度為 $2 \times 3$。

• 為使 $\mathbf{AB}$ 可進行矩陣乘法，$\mathbf{B}$ 的列數（Row 数）必須為 $3$。
• 為使 $\mathbf{BA}$ 可進行矩陣乘法，$\mathbf{B}$ 的行數（Column 數）必須為 $2$。
• 此時 $\mathbf{AB}$ 為 $2 \times 2$ 方陣，$\mathbf{BA}$ 為 $3 \times 3$ 方陣，兩者的行列式皆有定義。

又題目指定「$\mathbf{B}$ 的最後一列為 $\mathbf{0}$」，故可將 $\mathbf{B}$ 設為：

$$\mathbf{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

其中 $b_{11}, b_{12}, b_{21}, b_{22} \in \mathbb{R}$。

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步驟二：計算 $\det(\mathbf{BA})$

直接計算乘積矩陣 $\mathbf{BA}$：

$$\mathbf{BA} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{12} & b_{11} & b_{11} + b_{12} \\ b_{22} & b_{21} & b_{21} + b_{22} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

由於 $\mathbf{BA}$ 的第三列全為零向量，根據行列式的基本性質，立刻得知：

$$\det(\mathbf{BA}) = 0$$

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核心觀念

本題考查線性映射在非標準基底下的矩陣表示法（Matrix Representation of a Linear Transformation）。

1. 矩陣表示法的定義：
   設 $V, W$ 為有限維向量空間，其有序基底分別為 $B = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ 與 $B' = \{w_1, w_2, \dots, w_m\}$。線性映射 $T: V \to W$ 相對於基底 $B$ 到 $B'$ 的矩陣表示 $[T]_{B \to B'}$ 為一個 $m \times n$ 矩陣，其第 $j$ 行（column）由輸入基底向量的映象 $T(v_j)$ 在輸出基底 $B'$ 下的坐標向量（coordinate vector）所構成： $$[T]_{B \to B'} = \begin{bmatrix} [T(v_1)]_{B'} & [T(v_2)]_{B'} & \cdots & [T(v_n)]_{B'} \end{bmatrix}$$
2. 多項式空間的基底與坐標：
   若 $B' = \{u_1, u_2, u_3\}$ 為 $\mathbf{P}_2$ 的一組有序基底，對任意 $q(x) \in \mathbf{P}_2$，若可唯一表示為線性組合： $$q(x) = c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3$$ 則其在 $B'$ 下的坐標向量為： $$[q(x)]_{B'} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}$$

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解題方法

題目給定線性映射 $T_1: \mathbf{P}_1 \to \mathbf{P}_2$ 定義為：

$$T_1(p(x)) = x \cdot p(x)$$

定義域 $\mathbf{P}_1$ 的有序基底為 $B = \{1, 2x\}$，對應域 $\mathbf{P}_2$ 的有序基底為 $B' = \{1, x, 2x^2\}$。

步驟 1：計算基底 $B$ 中各向量經 $T_1$ 映射後的像（Image）

1. 對第一個基底向量 $v_1 = 1$： $$T_1(1) = x \cdot (1) = x$$
2. 對第二個基底向量 $v_2 = 2x$： $$T_1(2x) = x \cdot (2x) = 2x^2$$

步驟 2：將各像以對應域基底 $B' = \{1, x, 2x^2\}$ 線性組合展開，求坐標向量

1. 將 $T_1(1) = x$ 表為 $B'$ 的線性組合： $$x = 0 \cdot (1) + 1 \cdot (x) + 0 \cdot (2x^2)$$ 因此，第一行的坐標向量為： $$[T_1(1)]_{B'} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

核心觀念

本題評量**線性變換的矩陣表示法（Matrix Representation）及其合成（Composition）**的計算能力。涉及的關鍵觀念如下：

1. 線性變換在特定基底下的矩陣表示法定義：
   設 $V, W$ 為有限維向量空間，基底分別為 $B = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ 與 $B' = \{w_1, w_2, \dots, w_m\}$。若線性變換 $T: V \to W$，則其矩陣表示法 $[T]_{B \to B'}$ 定義為將定義域基底各向量的像 $T(v_j)$ 對對應域基底 $B'$ 取座標向量，並按行排列而成：

   $$[T]_{B \to B'} = \begin{bmatrix} [T(v_1)]_{B'} & [T(v_2)]_{B'} & \cdots & [T(v_n)]_{B'} \end{bmatrix}$$

2. 合成算子（Composition of Linear Transformations）：
   合成變換 $(T_2 \circ T_1)(p(x)) = T_2(T_1(p(x)))$。在基底間可直接求出合成變換後各基底向量的像，再求其對目標基底 $B'$ 的座標向量；或利用矩陣乘積公式 $[T_2 \circ T_1]_{B \to B'} = [T_2]_{B'' \to B'} [T_1]_{B \to B''}$。本題直接利用定義對合成變換求像最為直接且不易出錯。

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解題方法

題目給定：

• 定義域 $\mathbf{P}_1$ 的基底 $B = \{v_1, v_2\} = \{1, 2x\}$。
• 對應域 $\mathbf{P}_2$ 的基底 $B' = \{w_1, w_2, w_3\} = \{1, x, 2x^2\}$。
• 線性變換 $T_1: \mathbf{P}_1 \to \mathbf{P}_2$ 定義為 $T_1(p(x)) = x \cdot p(x)$。
• 線性算子 $T_2: \mathbf{P}_n \to \mathbf{P}_n$ 定義為 $T_2(p(x)) = p(x+1)$，在此處作用於 $T_1$ 的輸出空間 $\mathbf{P}_2$，故 $n = 2$。

合成變換 $T = T_2 \circ T_1: \mathbf{P}_1 \to \mathbf{P}_2$ 對任意多項式 $p(x) \in \mathbf{P}_1$ 的作用為：

$$(T_2 \circ T_1)(p(x)) = T_2(T_1(p(x))) = T_2(x \cdot p(x)) = (x + 1) \cdot p(x + 1)$$

依據矩陣表示法之定義，分別計算定義域基底 $B = \{1, 2x\}$ 中各基底向量在 $T_2 \circ T_1$ 映射下的像：

1. 計算第一個基底向量 $v_1 = 1$ 的像： $$(T_2 \circ T_1)(1) = (x + 1) \cdot 1 = 1 + x$$ 將 $1 + x$ 表示為目標基底 $B' = \{1, x, 2x^2\}$ 的線性組合：

核心觀念

本題評量常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）的基本分類觀念：階數（Order） 與 線性度（Linearity） 的判斷。

1. 微分方程的階數（Order）：
   方程式中出現的「最高階導數」之階數，即為該微分方程的階數。
2. 線性常微分方程（Linear ODE）的定義：
   一個 $n$ 階微分方程若為線性，其標準形式必須能寫為： $$a_n(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x) y' + a_0(x) y = g(x)$$ 線性微分方程必須同時滿足以下三項條件：
   • 相依變數 $y$ 及其各階導數 $y', y'', \dots, y^{(n)}$ 的次數（指數）皆必須為一次（Degree 為 1）。
   • 不能包含相依變數與其導數相乘的項（例如 $y y'$, $(y')^2$, $y y''$ 等跨項乘積）。
   • 不能包含相依變數或其導數的非線性函數項（例如 $\sin(y)$, $e^y$, $\ln(y')$ 等）。
     若不滿足上述任一條件，則該方程式稱為**非線性（Nonlinear）**微分方程。

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解題方法

給定微分方程：

$$y'' + 2yy' + 3y = 0$$

1. 判斷階數（Order）：
   觀察方程式中的導數項：

   • $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$（二階導數）
   • $y' = \frac{dy}{dx}$（一階導數）
     方程式中出現的最高階導數為 $y''$，因此該方程式為二階（second order）。

2. 判斷線性度（Linearity）：
   檢視方程式中的每一項：

   • $y''$：相依變數的二階導數，為一次項。
   • $2yy'$：此項為相依變數 $y$ 與其一階導數 $y'$ 的相乘項（乘積項），違反線性 ODE 中相依變數與導數不得相乘的定義。

核心觀念

本題考查一階常微分方程（First-Order Ordinary Differential Equations）的型態判別與分類定義。各類型標準定義如下：

1. 齊次型微分方程（Homogeneous DE）：
   若一階微分方程可化為：

   $$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

   且滿足 $f(tx, ty) = t^0 f(x, y) = f(x, y)$（即 $f(x, y)$ 為零次齊次函數），或者寫成微分配式形式 $M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$ 時，$M(x, y)$ 與 $N(x, y)$ 均為同次數的齊次函數，則稱此微分方程為齊次微分方程。其本質特徵為可表為 $\frac{dy}{dx} = g\left(\frac{y}{x}\right)$。

2. 線性微分方程（Linear DE）：
   標準型為 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$（以 $y$ 為應變數）或 $\frac{dx}{dy} + P_1(y)x = Q_1(y)$（以 $x$ 為應變數），其中應變數及其導數皆為一次方，且無彼此相乘之交叉項。

3. 可分離變數型（Separable DE）：
   能改寫為 $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$，進而分離為 $\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$。

4. 正合微分方程（Exact DE）：
   形式為 $M(x, y)\,dx + N(x, y)\,dy = 0$，滿足歐拉正合條件（Euler's reciprocity relation）：

   $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

5. 白努利方程（Bernoulli DE）：
   非線性一階常微分方程，標準型為 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$（其中 $n \neq 0, 1$）。

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解題方法

將原方程式 $(x^2 + y^2)y' = xy$ 整理並求出一階導數 $\frac{dy}{dx}$：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{xy}{x^2 + y^2}$$

設 $f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$，將 $x$ 替換為 $tx$、$y$ 替換為 $ty$（$t > 0$）：

$$f(tx, ty) = \frac{(tx)(ty)}{(tx)^2 + (ty)^2} = \frac{t^2 xy}{t^2(x^2 + y^2)} = \frac{xy}{x^2 + y^2} = f(x, y)$$

分子與分母均為二次齊次多項式，其比值為零次齊次函數。亦可將分子、分母同除以 $x^2$：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2}$$

右式完全可表示為 $\frac{y}{x}$ 的函數 $g\left(\frac{y}{x}\right)$，符合一階齊次微分方程之定義（可藉由變數變換 $u = \frac{y}{x}$ 解之）。

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選項分析

核心觀念

本題考查二階常係數非齊次線性常微分方程式（Second-Order Linear Nonhomogeneous ODE）的初值問題（IVP），特別要求使用**待定係數法（Method of Undetermined Coefficients）**求解。

涉及的核心定理與觀念包括：

1. 通解結構定理：二階非齊次線性微分方程式的通解由齊次解（互補解）與特解疊加而成，即： $$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$
2. 齊次方程式的特徵方程式解法：由特徵多項式求出特徵根，寫出齊次解 $y_h(x)$。
3. 待定係數法與共振修正（Modification Rule）：
   • 線性疊加原理：若非齊次項為 $r(x) = r_1(x) + r_2(x)$，可分別求對應特解 $y_{p1}(x)$ 與 $y_{p2}(x)$，則 $y_p = y_{p1} + y_{p2}$。
   • 共振修正規則：當驅動項中的頻率或根與齊次解重複（共振）時，假設形式必須乘上自變數 $x$（甚至 $x^2$）。
4. 初值條件確定未知常數：將 $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$ 與 $y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ 代入完整通解中，解出齊次解所含的積分常數。

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解題方法

Step 1：求對應齊次方程式的互補解 $y_h(x)$

齊次方程式為：

$$y'' + y = 0$$

其特徵方程式（Characteristic Equation）為：

$$\lambda^2 + 1 = 0 \implies \lambda = \pm i$$

因此，互補解為：

$$y_h(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x$$

其中 $c_1, c_2$ 為待定實數常數。

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Step 2：求非齊次方程式的特解 $y_p(x)$

非齊次項為 $r(x) = 8\cos 2x - 4\sin x$。利用疊加原理，將非齊次項拆解為兩部分：

1. $r_1(x) = 8\cos 2x$
2. $r_2(x) = -4\sin x$

(1) 求解 $y_{p1}(x)$ 對應 $r_1(x) = 8\cos 2x$

因為角頻率 $\omega = 2$，對應的複數根 $\pm 2i$ 並非齊次特徵根，無共振現象。
設特解形式為：

$$y_{p1}(x) = A\cos 2x + B\sin 2x$$

微分得：

$$y_{p1}'(x) = -2A\sin 2x + 2B\cos 2x$$ $$y_{p1}''(x) = -4A\cos 2x - 4B\sin 2x$$

代入微分方程式 $y'' + y = 8\cos 2x$：

$$(-4A\cos 2x - 4B\sin 2x) + (A\cos 2x + B\sin 2x) = 8\cos 2x$$

整理得：

$$-3A\cos 2x - 3B\sin 2x = 8\cos 2x$$

比較係數：

$$-3A = 8 \implies A = -\frac{8}{3}$$ $$-3B = 0 \implies B = 0$$

故得：

$$y_{p1}(x) = -\frac{8}{3}\cos 2x$$

(2) 求解 $y_{p2}(x)$ 對應 $r_2(x) = -4\sin x$

此項之角頻率 $\omega = 1$，對應之複數根 $\pm i$ 與齊次解基底 $\cos x, \sin x$ 重複（發生共振）。
根據修正規則（Modification Rule），特解形式需乘上 $x$：

$$y_{p2}(x) = x(C\cos x + D\sin x)$$

微分一次：

$$y_{p2}'(x) = (C\cos x + D\sin x) + x(-C\sin x + D\cos x)$$

微分二次：

$$y_{p2}''(x) = (-C\sin x + D\cos x) + (-C\sin x + D\cos x) + x(-C\cos x - D\sin x)$$ $$y_{p2}''(x) = -2C\sin x + 2D\cos x - x(C\cos x + D\sin x)$$

代入微分方程式 $y'' + y = -4\sin x$：

$$\left[-2C\sin x + 2D\cos x - x(C\cos x + D\sin x)\right] + \left[x(C\cos x + D\sin x)\right] = -4\sin x$$

消去含 $x$ 的項，化簡得：

$$2D\cos x - 2C\sin x = -4\sin x$$

比較係數：

$$2D = 0 \implies D = 0$$ $$-2C = -4 \implies C = 2$$

故得：

$$y_{p2}(x) = 2x\cos x$$

綜合以上，完整特解為：

核心觀念

本題評量利用**拉普拉斯轉換（Laplace Transform）**求解一階常微分方程初始值問題（IVP）之能力。解題時涉及以下核心定理與公式：

1. 導數的拉普拉斯轉換： $$\mathcal{L}\{y'(t)\} = s Y(s) - y(0)$$
2. 第一位移定理（s-shifting property）與三角函數轉換： $$\mathcal{L}\{\cos \omega t\} = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \implies \mathcal{L}\{e^{at}\cos \omega t\} = \frac{s-a}{(s-a)^2 + \omega^2}$$ 此處 $a = -3$、$\omega = 2$： $$\mathcal{L}\{e^{-3t}\cos 2t\} = \frac{s+3}{(s+3)^2 + 2^2} = \frac{s+3}{s^2 + 6s + 13}$$
3. 部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）：將有理函數拆解為標準形式以進行反拉普拉斯轉換。
4. 拉普拉斯逆轉換（Inverse Laplace Transform）： $$\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s - a}\right\} = e^{at}, \quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}\right\} = e^{at}\cos\omega t, \quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}\right\} = e^{at}\sin\omega t$$

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解題方法

步驟一：對微分方程兩端取拉普拉斯轉換

已知初始條件 $y(0) = 0$，令 $Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$：

$$\mathcal{L}\{y' + y\} = \mathcal{L}\{e^{-3t}\cos 2t\}$$

代入轉換公式：

$$\left[s Y(s) - y(0)\right] + Y(s) = \frac{s+3}{(s+3)^2 + 4}$$

代入 $y(0) = 0$：

$$(s + 1) Y(s) = \frac{s+3}{s^2 + 6s + 13}$$

解出 $Y(s)$：

$$Y(s) = \frac{s+3}{(s+1)(s^2 + 6s + 13)}$$

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步驟二：部分分式展開

將 $Y(s)$ 設為待定係數形式：

$$\frac{s+3}{(s+1)(s^2 + 6s + 13)} = \frac{A}{s+1} + \frac{Bs + C}{s^2 + 6s + 13}$$

1. 求係數 $A$（使用覆蓋法 Heaviside's Cover-up Method）：
   兩端同乘 $(s+1)$ 並令 $s = -1$：

   $$A = \left.\frac{s+3}{s^2 + 6s + 13}\right|_{s = -1} = \frac{-1 + 3}{(-1)^2 + 6(-1) + 13} = \frac{2}{1 - 6 + 13} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

2. 求係數 $B$ 與 $C$：
   通分整理分子：

   $$s + 3 = A(s^2 + 6s + 13) + (Bs + C)(s+1)$$

   展開並按 $s$ 的降冪排列：

   $$s + 3 = (A + B)s^2 + (6A + B + C)s + (13A + C)$$

   比較兩端各項係數：

核心觀念

本題考查線性一階常微分方程組（First-Order Linear Differential Systems）的求解。題目指定使用系統消去法（Systematic Elimination），其核心理論與工具包括：

1. 微分算子（Differential Operator）表記：引進算子 $D = \frac{d}{dt}$，將聯立常微分方程轉寫為代數算子矩陣形式： $$\begin{cases} L_1(D)x + L_2(D)y = 0 \\ L_3(D)x + L_4(D)y = 0 \end{cases}$$
2. 算子行列式與特徵方程式：透過克拉瑪法則（Cramer's Rule）消去其中一個未知函數，得到單一變數的高階常係數齊次線性常微分方程： $$\det \begin{bmatrix} L_1(D) & L_2(D) \\ L_3(D) & L_4(D) \end{bmatrix} x(t) = 0$$
3. 二階常係數齊次線性微分方程通解（重根情況）：當特徵方程式有重實根 $r = \lambda$ 時，通解具備 $x(t) = (c_1 + c_2 t)e^{\lambda t}$ 的形式。
4. 初始條件求解待定常數（IVP）：利用題目給定的邊界條件 $x(1) = 0$ 與 $y(1) = 1$，求出特定常數 $c_1, c_2$。

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解題方法

步驟一：改寫為微分算子形式

令微分算子 $D = \frac{d}{dt}$，將原聯立微分方程式重組：

$$\begin{cases} \frac{dx}{dt} + 5x + y = 0 \\ -4x + \frac{dy}{dt} + y = 0 \end{cases}$$

表示為算子形式：

$$\begin{cases} (D + 5)x + y = 0 \quad &\cdots (1) \\ -4x + (D + 1)y = 0 \quad &\cdots (2) \end{cases}$$

步驟二：消去未知函數 $y(t)$

欲消去變數 $y$，對式 (1) 兩邊作用算子 $(D + 1)$，再減去式 (2)：

$$(D + 1)(D + 5)x + (D + 1)y = 0$$ $$-4x + (D + 1)y = 0$$

兩式相減可得：

$$\left[ (D + 1)(D + 5) - (-4) \right] x = 0$$

展開並化簡算子多項式：

$$(D^2 + 6D + 5 + 4)x = 0 \implies (D^2 + 6D + 9)x = 0$$

即對應的二階齊次常微分方程為：

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 9x = 0$$

步驟三：求解 $x(t)$ 的通解

對應的特徵方程式（Characteristic Equation）為：

$$r^2 + 6r + 9 = 0 \implies (r + 3)^2 = 0$$

解得二重實根 $r = -3, -3$。
因此，$x(t)$ 的通解可表示為：

$$x(t) = (c_1 + c_2 t)e^{-3t}$$

為方便配合初始條件 $t = 1$，亦可直接將通解基底寫成以 $(t - 1)$ 展開的形式：

$$x(t) = \left[ A + B(t - 1) \right] e^{-3(t - 1)}$$

（其中 $A, B$ 為待定任意常數）

步驟四：由 $x(t)$ 反求 $y(t)$

由原方程式 (1) 可知：

$$y(t) = -(D + 5)x = -x' - 5x$$

計算 $x'(t)$：

核心觀念

本題考查高階常係數非齊次線性常微分方程（Higher-order Nonhomogeneous Linear ODE）的求解，題目明確指定使用參數變異法（Variation of Parameters）。

主要涉及的定理與工具如下：

1. 齊次解結構：解特徵方程式求得基本解系 $\{y_1, y_2, y_3\}$，齊次解為線性組合： $$y_h(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) + c_3 y_3(x)$$
2. 三階常微分方程的參數變異法：
   設特解形式為 $y_p(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x) + u_3(x)y_3(x)$，其中係數函數的導函數滿足聯立方程組： $$\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 + u_3' y_3 = 0 \\ u_1' y_1' + u_2' y_2' + u_3' y_3' = 0 \\ u_1' y_1'' + u_2' y_2'' + u_3' y_3'' = r(x) \end{cases}$$ 利用克拉瑪法則（Cramer's Rule），可得： $$u_k'(x) = \frac{W_k(x)}{W(x)}, \quad k = 1, 2, 3$$ 其中 $W(x) = W(y_1, y_2, y_3)$ 為朗斯基行列式（Wronskian），$W_k(x)$ 是將 $W(x)$ 的第 $k$ 行替換為 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ r(x) \end{bmatrix}$ 後的行列式。
3. 三角函數積分技巧：如 $\int \sec \theta \, d\theta = \ln|\sec \theta + \tan \theta| + C$ 與 $\int \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} \, d\theta$ 之積分。

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解題方法

第一步：求對應齊次方程式的通解（齊次解 $y_h$）

對應的齊次微分方程式為：

$$y''' + 4y' = 0$$

令 $y = e^{mx}$，寫出特徵方程式：

$$m^3 + 4m = 0 \implies m(m^2 + 4) = 0$$

解得特徵根：

$$m = 0, \quad m = \pm 2i$$

因此，基本解系選取為：

$$y_1(x) = 1, \quad y_2(x) = \cos 2x, \quad y_3(x) = \sin 2x$$

齊次解為：

$$y_h(x) = c_1 + c_2 \cos 2x + c_3 \sin 2x$$

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第二步：計算朗斯基行列式（Wronskian）

方程式的標準式為 $y''' + 0 \cdot y'' + 4y' + 0 \cdot y = \sec 2x$，故非齊次項 $r(x) = \sec 2x$。

計算基底函數的朗斯基行列式 $W(y_1, y_2, y_3)$：

$$W(x) = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \\ y_1' & y_2' & y_3' \\ y_1'' & y_2'' & y_3'' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \cos 2x & \sin 2x \\ 0 & -2\sin 2x & 2\cos 2x \\ 0 & -4\cos 2x & -4\sin 2x \end{vmatrix}$$

沿第一行展開：

$$W(x) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -2\sin 2x & 2\cos 2x \\ -4\cos 2x & -4\sin 2x \end{vmatrix} = 8\sin^2 2x - (-8\cos^2 2x) = 8(\sin^2 2x + \cos^2 2x) = 8$$

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第三步：利用克拉瑪法則求 $u_1', u_2', u_3'$

1. 求 $W_1(x)$ 及 $u_1'$： $$W_1(x) = \begin{vmatrix} 0 & \cos 2x & \sin 2x \\ 0 & -2\sin 2x & 2\cos 2x \\ \sec 2x & -4\cos 2x & -4\sin 2x \end{vmatrix} = \sec 2x \begin{vmatrix} \cos 2x & \sin 2x \\ -2\sin 2x & 2\cos 2x \end{vmatrix} = \sec 2x (2\cos^2 2x + 2\sin^2 2x) = 2\sec 2x$$