113 年 國立中正大學電機工程學系碩士班電力與電能處理甲組《控制系統》

核心觀念

本題考訊號流程圖的 Mason 增益公式。從輸入節點到輸出節點的總增益為

$$T=\frac{\sum_k P_k\Delta_k}{\Delta}$$

其中 $P_k$ 是第 $k$ 條前向路徑增益；$\Delta$ 由所有迴路及彼此不接觸的迴路組合計算；$\Delta_k$ 則排除所有與第 $k$ 條前向路徑接觸的迴路。

依圖可列出四個迴路：

$$L_1=-K_1f_1,\qquad L_2=-K_3f_2,\qquad L_3=-K_1K_2K_3f_3,\qquad L_4=-f_4$$

其中 $L_1$ 是 $y_2\to y_3\to y_2$，$L_2$ 是 $y_4\to y_5\to y_4$，$L_3$ 是 $y_2\to y_3\to y_4\to y_5\to y_2$，$L_4$ 是 $y_6$ 的自迴路。

$L_4$ 與前三個迴路都不接觸；前三個迴路中，只有 $L_1$ 與 $L_2$ 彼此不接觸。因此

$$\begin{aligned} \Delta &=1-(L_1+L_2+L_3+L_4)+(L_1L_2+L_1L_4+L_2L_4+L_3L_4)-L_1L_2L_4\\ &=(1+f_4)\left(1+K_1f_1+K_3f_2+K_1K_2K_3f_3+K_1K_3f_1f_2\right) \end{aligned}$$

(a) $y_1$ 到 $y_2$ 的增益

唯一的前向路徑是 $y_1\to y_2$，其增益 $P_1=1$。這條路徑只接觸節點 $y_1,y_2$，因此 $\Delta_1$ 保留不接觸 $y_2$ 的迴路 $L_2,L_4$：

$$\Delta_1=1-L_2-L_4+L_2L_4=(1+K_3f_2)(1+f_4)$$

代入 Mason 公式：

核心觀念

本題考兩個觀念：

1. 單位回授系統的斜坡穩態誤差：先用速度誤差常數 $K_v$ 求 $F_2$。
2. 根軌跡：固定 $F_2$，將 $F_1$ 視為非負增益，找出開迴路極點、零點、實軸根軌跡、漸近線與分枝方向。

解題方法

(a) 求 $F_2$

開迴路傳遞函數為

$$L(s)=F(s)G(s) =\left(F_1+\frac{F_2}{s}\right)\frac{100}{s^2+10s+100}.$$

單位回授系統對單位斜坡輸入的速度誤差常數為

$$K_v=\lim_{s\to 0}sL(s) =\lim_{s\to 0}\frac{100(F_1s+F_2)}{s^2+10s+100} =F_2.$$

因此斜坡穩態誤差為

$$e_{\mathrm{ss}}=\frac{1}{K_v}=\frac{1}{F_2}.$$

題目要求 $e_{\mathrm{ss}}=0.1$，所以

$$\boxed{F_2=10}.$$

(b) $F_1\ge 0$ 時的根軌跡

代入 $F_2=10$，閉迴路特徵方程為

$$1+\left(F_1+\frac{10}{s}\right)\frac{100}{s^2+10s+100}=0.$$

整理得

$$s^3+10s^2+(100+100F_1)s+1000=0.$$

將 $F_1$ 寫成根軌跡增益 $K$，可改寫為

$$1+K\frac{100s}{s^3+10s^2+100s+1000}=0, \qquad K=F_1\ge 0.$$

因為

$$s^3+10s^2+100s+1000=(s+10)(s^2+100),$$

根軌跡的開迴路極點為

$$s=-10,\quad s=\pm j10,$$

開迴路零點為

核心觀念

本題為典型的三階 Type 1 單位負回授系統分析，綜合考察頻域與時域的穩定度與相對穩定度指標，包含以下重要觀念與定理：

1. 奈氏穩定準則（Nyquist Stability Criterion）： $$Z = P - N$$ 其中 $P$ 為開迴路傳遞函數 $G(s)$ 位於右半平面（RHP）的極點數；$N$ 為奈氏圖對關鍵點 $(-1, j0)$ 的逆時針繞數（Counter-Clockwise Encirclements）；$Z$ 為閉迴路特徵方程式位於右半平面的極點數。系統漸近穩定之充要條件為 $Z = 0$。
2. 羅斯–赫維茲準則（Routh-Hurwitz Criterion）：
   由閉迴路特徵方程式 $1 + G(s) = 0$ 建立羅斯表，藉由第一行的正負號變化次數判斷落在右半平面的閉迴路極點數。
3. 增益邊界（Gain Margin, GM）：
   在相位交越頻率 $\omega_{pc}$（滿足 $\angle G(j\omega_{pc}) = -180^\circ$）處，增益邊界的定義為： $$\text{GM} = \frac{1}{|G(j\omega_{pc})|}$$ 以分貝（dB）表示為： $$\text{GM (dB)} = 20 \log_{10} \left( \frac{1}{|G(j\omega_{pc})|} \right) = -20 \log_{10} |G(j\omega_{pc})|$$
4. 相位邊界（Phase Margin, PM）：
   在增益交越頻率 $\omega_{gc}$（滿足 $|G(j\omega_{gc})| = 1$）處，相位邊界的定義為： $$\text{PM} = 180^\circ + \angle G(j\omega_{gc})$$

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解題方法與詳細步驟

(a) 利用 Nyquist 準則求系統穩定的 $F$ 範圍

1. 開迴路極點分析：

   $$G(s) = \frac{F}{s(s+1)^2}$$

   開迴路極點為 $s = 0, -1, -1$。
   所有極點均不在嚴格右半平面（RHP），故 $P = 0$。

2. 選取 Nyquist 路徑（Nyquist Contour）：
   路徑沿著虛軸從 $-j\infty$ 到 $+j\infty$，並以無限大半徑 $R \to \infty$ 的右半平面半圓包覆，且在原點 $s = 0$ 處以半徑 $\epsilon \to 0^+$ 的微小半圓繞至右側（繞過虛軸極點）：

   • 路徑 I：$s = j\omega$，$\omega$ 由 $0^+$ 到 $+\infty$。
   • 路徑 II：$s = R e^{j\theta}$，$R \to \infty$，$\theta$ 由 $+90^\circ$ 到 $-90^\circ$。
   • 路徑 III：$s = j\omega$，$\omega$ 由 $-\infty$ 到 $0^-$。
   • 路徑 IV：$s = \epsilon e^{j\theta}$，$\epsilon \to 0^+$，$\theta$ 由 $-90^\circ$ 經 $0^\circ$ 到 $+90^\circ$。

3. 映射至 $G(s)$ 平面：

   • 路徑 I ($s = j\omega, 0^+ \le \omega < \infty$)：

     $$G(j\omega) = \frac{F}{j\omega(1+j\omega)^2} = \frac{F}{j\omega(1 - \omega^2 + 2j\omega)} = \frac{F}{-2\omega^2 + j\omega(1-\omega^2)}$$

     分子分母同乘共軛複數 $[-2\omega^2 - j\omega(1-\omega^2)]$：

     $$G(j\omega) = \frac{F[-2\omega^2 - j\omega(1-\omega^2)]}{4\omega^4 + \omega^2(1-\omega^2)^2} = \frac{-2F\omega^2 - jF\omega(1-\omega^2)}{\omega^2 [4\omega^2 + (1-\omega^2)^2]} = \frac{-2F}{\omega^2(1+\omega^2)^2} - j \frac{F(1-\omega^2)}{\omega(1+\omega^2)^2}$$

     求實軸交點：
     令虛部為 0，即：

     $$\text{Im}[G(j\omega)] = 0 \implies 1 - \omega^2 = 0 \implies \omega_{pc} = 1 \text{ rad/s} \quad (\text{因 } \omega > 0)$$

     代入實部：

     $$\text{Re}[G(j1)] = \frac{-2F}{1^2(1+1^2)^2} = \frac{-2F}{4} = -\frac{F}{2}$$

     當 $\omega \to 0^+$ 時：

     $$|G(j\omega)| \to \infty, \quad \angle G(j\omega) \to -90^\circ$$

     當 $\omega \to \infty$ 時：

     $$|G(j\omega)| \to 0, \quad \angle G(j\omega) \to -270^\circ$$

   • 路徑 II ($s = R e^{j\theta}, R \to \infty$)：

     $$G(s) \to \frac{F}{R^3 e^{j3\theta}} \to 0$$

     映射在原點。

   • 路徑 III：
     路徑 I 關於實軸的對稱圖形。

   • 路徑 IV ($s = \epsilon e^{j\theta}, \epsilon \to 0^+$, $\theta: -90^\circ \to +90^\circ$)：

     $$G(s) \approx \frac{F}{\epsilon e^{j\theta}(1)^2} = \frac{F}{\epsilon} e^{-j\theta}$$

     軌跡為半徑趨近於 $\infty$ 的大圓弧，角度從 $+90^\circ$ 經 $0^\circ$ 到 $-90^\circ$（順時針旋轉 $180^\circ$）。

4. 奈氏準則判斷：
   開迴路軌跡與負實軸交於點 $\left(-\frac{F}{2}, 0\right)$。
   關鍵點為 $(-1, j0)$。

   • 若 $-\frac{F}{2} > -1$，即 $\frac{F}{2} < 1 \implies F < 2$：
     臨界點 $(-1, j0)$ 落在完整奈氏軌線的外側，軌跡對 $(-1, j0)$ 的逆時針繞數為： $$N = 0$$ 此時右半平面閉迴路極點數為： $$Z = P - N = 0 - 0 = 0$$ 閉迴路系統為漸近穩定。
   • 若 $-\frac{F}{2} < -1 \implies F > 2$：
     臨界點 $(-1, j0)$ 被軌線順時針包圍兩次，即逆時針繞數 $N = -2$： $$Z = P - N = 0 - (-2) = 2 \neq 0$$ 系統不穩定（有 2 個右半平面極點）。
   • 題目已給定 $F$ 為正增益（positive gain $F > 0$）。

故使系統穩定的 $F$ 範圍為：

$$0 < F < 2$$

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(b) 利用 Routh-Hurwitz 準則驗證

1. 求閉迴路特徵方程式： $$1 + G(s) = 0 \implies 1 + \frac{F}{s(s+1)^2} = 0$$

核心觀念

以電感電流 $i(t)$ 與電容電壓 $v_C(t)$ 為狀態變數。先在電感右側的節點套用基爾霍夫電流定律，再利用電阻、電容與電感的元件關係，將輸出電壓及狀態導數寫成狀態與輸入的線性組合。

令電容上端相對下端的電壓為 $v_C(t)$。因為 $R_y$ 與 $R_c、C$ 串聯支路並聯，輸出電壓 $y(t)$ 就是該節點電壓。

(a) 狀態方程式

設流經 $R_c、C$ 串聯支路的電流為 $i_C(t)$。由電容關係，

$$i_C(t)=C\frac{dv_C(t)}{dt}.$$

在節點套用電流定律，並寫出各支路關係：

$$i(t)=\frac{y(t)}{R_y}+i_C(t), \qquad y(t)=R_c i_C(t)+v_C(t).$$

由第二式得 $i_C=(y-v_C)/R_c$，代入第一式並整理：

$$y(t)=\frac{R_cR_y}{R_c+R_y}i(t) +\frac{R_y}{R_c+R_y}v_C(t).$$

電感兩端電壓為 $u(t)-y(t)$，因此

$$\frac{di(t)}{dt} =\frac{u(t)-y(t)}{L} =\frac{1}{L}u(t) -\frac{R_cR_y}{L(R_c+R_y)}i(t) -\frac{R_y}{L(R_c+R_y)}v_C(t).$$

電容支路電流可由節點方程化簡為

$$i_C(t)=\frac{R_y i(t)-v_C(t)}{R_c+R_y},$$

所以

$$\frac{dv_C(t)}{dt} =\frac{R_y}{C(R_c+R_y)}i(t) -\frac{1}{C(R_c+R_y)}v_C(t).$$

令狀態向量 $\mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix}i(t)&v_C(t)\end{bmatrix}^{\mathsf T}$，則狀態空間形式為