113 年 國立中正大學電機工程學系碩士班電力與電能處理甲組《電路學》

核心觀念

本題考查「最大功率傳輸定理」：

若負載電阻 $R_L$ 接於含獨立源與受控源的線性電路中，負載獲得最大功率的條件為

$$R_L=R_{\mathrm{th}},$$

其中 $R_{\mathrm{th}}$ 是從負載端看入電路的戴維寧等效電阻。由於電路含有受控電壓源，求 $R_{\mathrm{th}}$ 時不可直接關閉受控源。

解題方法

令右側 $4\Omega$ 電阻兩端電壓為

$$V_x=V_b.$$

設 $R_L$ 上端節點電壓為 $V_a$。由右側節點 $b$ 寫 KCL：

$$\frac{V_b-V_a}{4}+\frac{V_b}{4}=0,$$

因此

$$2V_b-V_a=0 \quad\Longrightarrow\quad V_a=2V_b.$$

受控電壓源的上端為負、下端為正，且其電壓大小為 $4V_x$，故受控源上端節點電壓為

$$V_c=-4V_x=-4V_b.$$

因此負載電阻兩端電壓為

$$V_{R_L}=V_a-V_c =2V_b-(-4V_b) =6V_b.$$

在節點 $a$ 寫 KCL：

$$\frac{V_a-30}{12}+\frac{V_a-V_b}{4} +\frac{V_a-V_c}{R_L}=0.$$

代入 $V_a=2V_b$、$V_c=-4V_b$：

$$\frac{2V_b-30}{12}+\frac{V_b}{4} +\frac{6V_b}{R_L}=0.$$

整理得

$$V_b=\frac{30R_L}{5R_L+72}.$$

所以負載電壓為

核心觀念

理想運算放大器在負回授且正常線性工作時，具有：

• 輸入端電流為零：$i_+=i_-=0$
• 虛短路：$V_-=V_+$

圖中非反相端電壓由獨立電壓源固定為：

$$V_+=2\text{ V}$$

因此反相端電壓為：

$$V_-=2\text{ V}$$

解題方法

在反相端節點套用 KCL。由於理想運算放大器輸入端不吸收電流，經過 $1\,\text{k}\Omega$ 與 $4\,\text{k}\Omega$ 的電流代數和為零：

$$\frac{V_- - 6}{1\,\text{k}\Omega} + \frac{V_- - V_o}{4\,\text{k}\Omega} =0$$

代入 $V_-=2\text{ V}$：

$$\frac{2-6}{1\,\text{k}\Omega} + \frac{2-V_o}{4\,\text{k}\Omega} =0$$

乘以 $4\,\text{k}\Omega$：

$$4(2-6)+(2-V_o)=0$$ $$-16+2-V_o=0$$

因此：

核心觀念

直流穩態下：

• 電容視為開路。
• 電感視為短路。
• 電容儲能：
  $W_C=\frac{1}{2}CV_C^2$
• 電感儲能：
  $W_L=\frac{1}{2}LI_L^2$

圖中電容與 $250\,\Omega$ 電阻並聯，因此兩者電壓相同；電感與 $100\,\Omega$ 電阻串聯，因此兩者電流相同。

解題方法

直流穩態時，電容開路，電路只剩 $250\,\Omega$ 與 $100\,\Omega$ 串聯，故電路電流為

$$I_L=\frac{12}{250+100} =\frac{12}{350} =\frac{6}{175}\ \text{A}$$

電容兩端電壓等於 $250\,\Omega$ 電阻上的電壓：

$$V_C=250I_L$$

題目要求電容與電感儲存能量相等：

$$W_C=W_L$$

因此

核心觀念

本題考查一階 $RC$ 電路的暫態分析，使用：

• 電容電壓不可瞬間改變：$v_C(0^+)=v_C(0^-)$
• 電容的穩態視為開路
• 一階電路時間常數：
  $\tau=R_{\text{th}}C$
• 電容電壓響應：
  $v_C(t)=v_C(\infty)+\left[v_C(0^+)-v_C(\infty)\right]e^{-t/\tau}$

以下依圖示，視為開關於 $t=0$ 接通 $12\text{ V}$ 電源，且 $t<0$ 電路尚未通電。

一、初始條件 $t<0$

在 $t<0$ 時，電源與右側電路斷開，電容經由電阻放電至零，因此

$v_C(0^-)=0$

由於電容電壓不能瞬間改變，

$v_C(0^+)=0$

其中定義電容電壓為左端對右端：

$v_C(t)=v_A(t)-v_o(t)$

開關接通後，左端節點電壓固定為

$v_A(t)=12\text{ V}$

因此在 $t=0^+$，電容相當於短路，得到

$v_o(0^+)=v_A(0^+)=12\text{ V}$

二、終值 $t\to\infty$

穩態時電容視為開路，右側輸出端由兩個 $6\,\text{k}\Omega$ 電阻分壓：

$$v_o(\infty) =12\frac{6\,\text{k}\Omega}{6\,\text{k}\Omega+6\,\text{k}\Omega} =6\text{ V}$$

三、時間常數

核心觀念

電路中所有支路皆並聯於同一對節點，因此可使用節點電壓法。設上方公共節點對下方接地節點的電壓為 $V$，則各支路電流均以「由上往下」為正。

使用歐姆定律與相量阻抗：

$$I=\frac{V}{Z}$$

且依據 Kirchhoff 電流定律（KCL），各支路向下電流代數和為零。

解題方法

1. 各支路電流

左側 $2\Omega$ 電阻與 $12\angle 0^\circ\text{ V}$ 電壓源串聯。由於電壓源上端為正，其上端節點電壓為 $12\angle0^\circ\text{ V}$，故支路電流為

$$I_1=\frac{V-12}{2}$$

中間電流源方向向下：

$$I_2=4\angle0^\circ=4$$

電容支路阻抗為 $-j1\Omega$，且電壓源上端電壓為 $6\angle0^\circ\text{ V}$，因此

$$I_3=\frac{V-6}{-j} =j(V-6)$$

電感支路阻抗為 $j2\Omega$：

$$I_4=\frac{V}{j2}=-\frac{jV}{2}$$

右側 $2\Omega$ 電阻中的電流即為所求 $I_o$：

$$I_o=\frac{V}{2}$$

2. 套用 KCL

$$\frac{V-12}{2}+4+j(V-6)+\frac{V}{j2}+\frac{V}{2}=0$$

整理各項：