108 年 國立中正大學電機工程學系碩士班電力與電能處理甲組《電路學》

核心觀念

疊加定理指出：在線性電路中，某一元件上的電壓或電流，等於各個獨立源分別作用時所產生的響應總和。每次只保留一個獨立源，其他獨立電壓源以短路取代，獨立電流源以開路取代。

本題要求電阻 $2\,\Omega$ 兩端的電壓 $V_0$，上端為正、下端為負。

解題方法

先計算 $6\,\text{V}$ 電壓源單獨作用時的 $V_0$。將 $4\,\text{A}$ 電流源開路後，$3\,\Omega$、$1\,\Omega$ 與 $2\,\Omega$ 電阻串聯，總電阻為

$$R_{\text{總}}=3+1+2=6\,\Omega$$

串聯電流為

$$I_1=\frac{6}{6}=1\,\text{A}$$

因此，$2\,\Omega$ 電阻上的電壓貢獻為

$$V_{0,1}=I_1(2)=2\,\text{V}$$

核心觀念

題目要求由 Fig. 2 的電路，求輸入

$$v_i(t)=10\cos(10t+20^\circ)\ \text{V}$$

所產生的輸出 $v_0(t)$。必須知道電路元件值、連接方式，以及電路是否含有電感、電容或受控源，才能建立傳遞函數 $H(j\omega)$。

正弦穩態分析的基本關係為

$$\underline{V}_0=H(j\omega)\underline{V}_i$$

其中輸入角頻率為

$$\omega=10\ \text{rad/s}$$

若

$$H(j10)=|H(j10)|\angle\phi$$

則輸出為

$$v_0(t)=10|H(j10)| \cos(10t+20^\circ+\phi)\ \text{V}$$

目前圖面資訊不足

所附掃描圖是「國立中正大學 112 學年度碩士班招生考試」第 1 頁，圖中第 2 題為共源極 MOSFET 放大器的高頻截止頻率問題，並非題目所述的「民國 108 年電路學 Fig. 2，求 $v_0(t)$」電路。因此無法依據目前圖片唯一確定 $H(j10)$、輸出振幅與相位。

解題方法

取得正確 Fig. 2 後，依下列步驟計算：

1. 將 $v_i(t)$ 轉為相量

本題考驗學生對三相電路功率因數、功率計算以及電容器補償的理解。題目要求計算需要接入電路中的電容量，以使總功率因數達到指定的超前值。

解題步驟如下：

1. 分析負載端（Lagging Load）的功率：

   • 負載的視在功率 $S_{load} = 25 \text{ KVA}$。
   • 功率因數 $\text{pf}_{load} = 0.75$ lagging。
   • 由此可計算出負載的真實功率 $P_{load}$ 和虛功率 $Q_{load}$。
   • $P_{load} = S_{load} \times \text{pf}_{load} = 25 \text{ KVA} \times 0.75 = 18.75 \text{ KW}$。
   • 由於是 lagging 功率因數，虛功率為感性（正值）：
     $Q_{load} = \sqrt{S_{load}^2 - P_{load}^2} = \sqrt{(25 \text{ KVA})^2 - (18.75 \text{ KW})^2} = \sqrt{625 - 351.5625} \text{ KVAR} = \sqrt{273.4375} \text{ KVAR} \approx 16.5358 \text{ KVAR}$。
   • 或者，使用 $\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)}$，其中 $\cos(\theta) = 0.75$，所以 $\sin(\theta) = \sqrt{1 - 0.75^2} = \sqrt{1 - 0.5625} = \sqrt{0.4375} \approx 0.6614$。
   • $Q_{load} = S_{load} \times \sin(\theta) = 25 \text{ KVA} \times 0.6614 \approx 16.535 \text{ KVAR}$。

2. 分析電源端的電壓和頻率：

   • 電源為平衡三相電源，線電壓 $V_{L,rms} = 12 \text{ kV rms}$。
   • 頻率 $f = 60 \text{ Hz}$。
   • 角頻率 $\omega = 2\pi f = 2\pi (60) = 120\pi \text{ rad/s}$。

3. 分析補償電容器的功率：

   • 電路中接入了三個相同的電容器，它們連接成 Y 或 Delta 形。從圖上看，它們是獨立接入三相線路之間的。通常這種接法是 Delta 接法，或者可以視為三個單相電容器分別接到三相線間。
   • 為了使總功率因數為 0.98 leading，我們需要在負載端並聯電容器組。
   • 目標總功率因數 $\text{pf}_{total} = 0.98$ leading。
   • 這意味著總的虛功率必須是容性（負值）。
   • 為了計算方便，我們通常將三相系統折算為單相系統，或者直接處理三相功率。
   • 若將三相系統視為一個整體，我們需要計算總的真實功率 $P_{total}$ 和總的虛功率 $Q_{total}$。
   • 真實功率 $P_{total}$ 在加入電容器後不變，因為電容器不消耗真實功率。所以 $P_{total} = P_{load} = 18.75 \text{ KW}$。
   • 目標總視在功率 $S_{total}$ 可以由 $P_{total}$ 和 $\text{pf}_{total}$ 計算得出。
   • $\cos(\theta_{total}) = 0.98$。
   • $\sin(\theta_{total}) = \sqrt{1 - 0.98^2} = \sqrt{1 - 0.9604} = \sqrt{0.0396} \approx 0.198997$。
   • 目標總虛功率 $Q_{total} = P_{total} \times \tan(\theta_{total})$。
   • $\tan(\theta_{total}) = \frac{\sin(\theta_{total})}{\cos(\theta_{total})} = \frac{0.198997}{0.98} \approx 0.203058$。
   • $Q_{total} = 18.75 \text{ KW} \times 0.203058 \approx 3.8073 \text{ KVAR}$。
   • 由於功率因數是 leading，所以 $Q_{total}$ 應為容性，即 $Q_{total} \approx -3.8073 \text{ KVAR}$。

4. 計算所需補償的虛功率：

   • 所需的補償虛功率 $Q_{comp} = Q_{total} - Q_{load}$。
   • $Q_{comp} = (-3.8073 \text{ KVAR}) - (16.5358 \text{ KVAR}) = -20.3431 \text{ KVAR}$。
   • 這表示我們需要接入一個容量為 20.3431 KVAR 的容性補償裝置。

5. 計算單個電容器的容量：

   • 電路中有三個相同的電容器。它們是並聯在三相系統中的。
   • 如果這三個電容器是連接成 Delta 形，則總的容性虛功率為 $3 \times Q_C$ (其中 $Q_C$ 是單個電容器的容量)。

核心觀念

本題考查拉普拉斯域中的 Thévenin 等效電路。對負載 $2\Omega$ 電阻兩端求出：

1. Thévenin 電壓 $V_{\mathrm{th}}(s)$
2. Thévenin 阻抗 $Z_{\mathrm{th}}(s)$
3. 利用分壓求 $V_0(s)$，再反拉普拉斯轉換得到 $v_0(t)$

零初始條件下，各元件阻抗為

$$Z_C=\frac{1}{sC}=\frac{1}{0.5s}=\frac{2}{s}, \qquad Z_L=sL=2s.$$

解題方法

將負載 $2\Omega$ 電阻移除，求其端點的 Thévenin 等效電壓。

1. 求 Thévenin 電壓

移除 $2\Omega$ 負載後，電感右端為開路，因此電感電流為零，電感上的電壓降也為零。故輸出端電壓等於左側上方節點電壓：

$$V_{\mathrm{th}}(s)=V_A(s).$$

在節點 $A$ 寫 KCL。電流源 $2u(t)$ A 的拉普拉斯轉換為 $2/s$，且方向向上，因此注入節點 $A$ 的電流為 $2/s$。中間支路電流為

$$\frac{V_A(s)-5/s}{4}.$$

因此

$$\frac{V_A(s)-5/s}{4}=\frac{2}{s}.$$

整理得

$$V_A(s)-\frac{5}{s}=\frac{8}{s},$$ $$V_{\mathrm{th}}(s)=V_A(s)=\frac{13}{s}.$$

2. 求 Thévenin 阻抗

將獨立電壓源短路、獨立電流源開路。

左側電流源支路因電流源開路而斷路；中間支路剩下 $4\Omega$ 電阻。從輸出端看入，需先經過 $2\text{ H}$ 電感，再經過 $4\Omega$ 電阻，因此

$$Z_{\mathrm{th}}(s)=2s+4.$$

核心觀念

本題利用 Bode magnitude plot 判讀轉移函數的零點、極點與增益：

• 每增加一個一階極點，斜率改變 $-20\ \text{dB/dec}$
• 每增加一個一階零點，斜率改變 $+20\ \text{dB/dec}$
• 低頻平台的 dB 值可決定增益常數 $K$

圖中低頻增益為 $20\ \text{dB}$，因此

$$20\log_{10}K=20 \quad\Longrightarrow\quad K=10$$

解題方法

依照圖中的斜率變化判斷轉折頻率：

1. $\omega=0.05\ \text{rad/s}$：斜率由 $0$ 變為 $-20\ \text{dB/dec}$
   → 一個極點：

   $$1+\frac{j\omega}{0.05}$$

2. $\omega=1\ \text{rad/s}$：斜率由 $-20$ 變為 $0\ \text{dB/dec}$
   → 一個零點：

   $$1+\frac{j\omega}{1}$$

3. $\omega=10\ \text{rad/s}$：斜率由 $0$ 變為 $+40\ \text{dB/dec}$
   → 兩個零點：

   $$\left(1+\frac{j\omega}{10}\right)^2$$

4. $\omega=500\ \text{rad/s}$：斜率由 $+40$ 變為 $0\ \text{dB/dec}$
   → 兩個極點：