111 年 國立中正大學電機工程學系碩士班電力與電能處理甲組《電路學》

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與最大功率傳輸定理：

$$R_L=R_{\text{th}},\qquad P_{\max}=\frac{V_{\text{th}}^2}{4R_{\text{th}}}$$

其中，$V_{\text{th}}$ 是負載端開路電壓，$R_{\text{th}}$ 是由負載端看入電路的戴維寧電阻。

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一、求開路電壓 $V_{\text{th}}$

令負載端開路，則右側 $4\,\text{k}\Omega$ 電阻中沒有電流，因此負載端電壓等於右側節點電壓，記為 $V_B$。

依圖中受控電壓源：

$$V_B-V_A=2000I_x$$

又因為 $I_x$ 流過 $2\,\text{k}\Omega$ 電阻：

$$I_x=\frac{V_B}{2\,\text{k}\Omega}$$

所以：

$$V_B-V_A =2000\left(\frac{V_B}{2000}\right) =V_B$$

因此：

$$V_A=0$$

對包含受控電壓源的超節點寫 KCL：

$$\frac{V_A}{1\,\text{k}\Omega+3\,\text{k}\Omega} +\frac{V_B}{2\,\text{k}\Omega} -4\,\text{mA}=0$$

代入 $V_A=0$：

$$\frac{V_B}{2\,\text{k}\Omega}=4\,\text{mA}$$ $$V_B=8\,\text{V}$$

故：

$$V_{\text{th}}=8\,\text{V}$$

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二、求戴維寧電阻 $R_{\text{th}}$

將獨立電流源關閉，電流源等效為開路，但受控源必須保留。

在負載端加一個測試電壓 $V$，測試電流為 $I$。

由受控源關係仍有：

$$V_A=0$$

對超節點寫 KCL：

核心觀念

直流穩態下：

• 電容視為開路，電壓為穩態節點電壓。
• 電感視為短路，但仍須計算其穩態電流。
• 電容儲能：
  $w_C=\frac{1}{2}CV^2$
• 電感儲能：
  $w_L=\frac{1}{2}LI^2$

圖中 $L_1,L_2$ 在直流穩態下皆為短路，因此左、右兩端電壓相同。

直流穩態等效電路

令 $L_1$ 左右端節點電壓為 $V_1$，$L_2$ 左右端節點電壓為 $V_2$。

由右側節點套用 KCL：

$\frac{V_2-V_1}{3}+\frac{V_2}{6}=0$

因此：

$2(V_2-V_1)+V_2=0$

$V_2=\frac{2}{3}V_1$

在 $V_1$ 節點套用 KCL，考慮 $3\text{ A}$ 電流源注入：

$\frac{V_1-9}{6}+\frac{V_1-V_2}{3}-3=0$

乘以 $6$：

$V_1-9+2(V_1-V_2)-18=0$

$3V_1-2V_2=27$

代入 $V_2=\frac{2}{3}V_1$：

$3V_1-\frac{4}{3}V_1=27$

$V_1=16.2\text{ V},\qquad V_2=10.8\text{ V}$

因此：

$v_{C_1}=16.2\text{ V},\qquad v_{C_2}=10.8\text{ V}$

電感穩態電流

$L_1$ 左側的 $6\Omega$ 電阻電流為：

核心觀念

本題考查：

• 電容電壓不可瞬間改變：$v_o(0^+)=v_o(0^-)$。
• 一階 RC 電路的自然響應。
• 受控電壓源的節點電壓關係。
• 開關切換前後的穩態分析。

圖中開關於 $t=0$ 閉合，電容值為 $C=2\,\mathrm{F}$。

$t<0$ 的初始狀態

開關尚未閉合，電路已達直流穩態，因此電容視為開路。

設中間節點電壓為 $v_A$，左側上方節點電壓為 $v_1$。

由 3 A 電流源：

$$\frac{v_1-v_A}{4}=3$$

因此

$$v_1=v_A+12$$

在節點 $v_A$ 寫 KCL。由於右側支路串接理想電壓源，且穩態時電容開路，該支路電流為 $0$，故

$$\frac{v_A-v_1}{4}+\frac{v_A}{4}=0$$

代入 $v_1=v_A+12$：

$$\frac{-12}{4}+\frac{v_A}{4}=0$$

得到

$$v_A(0^-)=12\,\mathrm{V}$$

24 V 電壓源右側電壓為 $v_A+24$，受控電壓源的極性為左負右正，電壓為 $2v_A$，所以電容上端電壓為

$$v_o= v_A+24+2v_A=3v_A+24$$

因此

$$v_o(0^-)=3(12)+24=60\,\mathrm{V}$$

由電容電壓連續性：

$$v_o(0^+)=60\,\mathrm{V}$$

$t>0$ 的電路方程式

開關閉合後，左側節點被短路至地，因此中間節點的兩個 $4\,\Omega$ 電阻皆接地，等效電阻為

$$R_{\mathrm{eq}}=4\parallel 4=2\,\Omega$$

仍有

$$v_o=3v_A+24$$

本題考驗交流電路穩態分析，特別是包含電感和電容的電路。題目要求計算穩態下的電流 $i(t)$，其中電路包含兩個獨立電壓源，頻率不同。

在交流穩態下，我們需要使用相量（phasor）分析。由於電路中有兩個不同頻率的獨立電源，我們不能直接使用單一的相量模型。此時，我們應該使用疊加原理（superposition principle）。

步驟 1：分析頻率 $\omega_1 = 10 \, \text{rad/s}$ 的情況。
只考慮 100 cos(10t) V 的電壓源。
將另一個電壓源 50 cos(20t - 10°) V 視為零（短路）。

電路元件的阻抗：

• 電阻 R = 10 $\Omega$。
• 電感 L = 1 H。其感抗 $X_L = \omega_1 L = 10 \times 1 = 10 \, \Omega$。
• 電容 C。題目中未標示電容值，但根據圖示，似乎沒有電容。

重新仔細看圖示。
圖 4 包含一個 10 $\Omega$ 電阻，一個 1 H 電感，一個 100 cos(10t) V 電壓源，和一個 50 cos(20t - 10°) V 電壓源。
兩個電壓源是串聯的。
電流 $i(t)$ 是流過 1 H 電感的電流。

情況 1：只考慮 $V_1(t) = 100 \cos(10t) \, \text{V}$ ($f_1 = 10/(2\pi)$ Hz)。
此時，另一個電壓源 $V_2(t)$ 短路。
電路總阻抗 $Z_1$：
$Z_{10\Omega} = 10 \, \Omega$。
$Z_{1H} = jX_L = j\omega_1 L = j(10)(1) = j10 \, \Omega$。
總阻抗 $Z_{total,1} = Z_{10\Omega} + Z_{1H} = 10 + j10 \, \Omega$。
$Z_{total,1} = 10\sqrt{2} \angle 45^\circ \, \Omega$。

電源相量 $V_1 = 100 \angle 0^\circ \, \text{V}$。
通過電感的電流相量 $I_{L1} = \frac{V_1}{Z_{total,1}} = \frac{100 \angle 0^\circ}{10\sqrt{2} \angle 45^\circ} = \frac{100}{10\sqrt{2}} \angle (0^\circ - 45^\circ) = \frac{10}{\sqrt{2}} \angle -45^\circ = 5\sqrt{2} \angle -45^\circ \, \text{A}$。
$5\sqrt{2} \approx 7.071$。
$I_{L1} = 7.071 \angle -45^\circ \, \text{A}$。
時域電流 $i_{L1}(t) = 7.071 \cos(10t - 45^\circ) \, \text{A}$。

情況 2：只考慮 $V_2(t) = 50 \cos(20t - 10^\circ) \, \text{V}$ ($f_2 = 20/(2\pi)$ Hz)。
此時，第一個電壓源 $V_1(t)$ 短路。
電路元件的阻抗：

• 電阻 R = 10 $\Omega$。
• 電感 L = 1 H。

核心觀念

圖中三相電源為平衡線電壓：

$$V_{ab}=208\angle 0^\circ\ \text{V}_{\mathrm{rms}}, \quad V_{bc}=208\angle -120^\circ\ \text{V}_{\mathrm{rms}}, \quad V_{ca}=208\angle -240^\circ\ \text{V}_{\mathrm{rms}}.$$

每一相的串聯阻抗為

$$Z=(0.1+j0.2)+(12+j4) =12.1+j4.2\ \Omega.$$

因為三相負載完全平衡，故中性點 $N$ 不產生位移，可直接使用相電壓計算各線電流。

解題方法

線電壓與相電壓的關係為

$$V_{\text{phase}}=\frac{V_{\text{line}}}{\sqrt{3}},$$

且對正相序系統，相電壓超前對應線電壓 $30^\circ$。因此

$$V_{aN}=\frac{208}{\sqrt{3}}\angle 30^\circ =120.09\angle 30^\circ\ \text{V},$$ $$V_{bN}=120.09\angle -90^\circ\ \text{V},$$ $$V_{cN}=120.09\angle 150^\circ\ \text{V}.$$

阻抗化為極座標：

$$|Z|=\sqrt{12.1^2+4.2^2}=12.81\ \Omega,$$ $$\angle Z=\tan^{-1}\left(\frac{4.2}{12.1}\right)=19.14^\circ.$$

依據歐姆定律 $I=V/Z$：