112 年 國立中正大學電機工程學系碩士班電力與電能處理甲組《電路學》

核心觀念

本題考查最大功率轉移定理。若負載端看到的戴維寧等效為 $V_{\text{th}}$ 串聯 $R_{\text{th}}$，則負載獲得最大功率的條件為

$$R_L=R_{\text{th}}$$

最大功率為

$$P_{\max}=\frac{V_{\text{th}}^2}{4R_{\text{th}}}$$

由於電路含有受控電壓源，直接關閉獨立源求電阻較不方便，因此採用端口電壓—電流關係求戴維寧等效。

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建立端口關係

令中間上方節點電壓為 $v_a$，右側節點電壓為 $V_x$。圖中受控電壓源電壓為

$$v_b=0.5V_x$$

令通過 $R_L$ 的電流由上往下為 $i$，則 $R_L$ 兩端電壓為

$$v_{RL}=v_a-v_b$$

在右側節點套用 KCL：

$$\frac{V_x-v_a}{3\,\text{k}\Omega} +\frac{V_x}{2\,\text{k}\Omega} -3\,\text{mA}=0$$

以 $\text{k}\Omega$、mA、V 為單位，整理得

$$2(V_x-v_a)+3V_x-18=0$$

因此

$$V_x=0.4v_a+3.6$$

所以受控電壓源上端電壓為

$$v_b=0.5V_x=0.2v_a+1.8$$

在中間節點 $v_a$ 套用 KCL：

$$\frac{v_a-12}{6} +\frac{v_a-V_x}{3} +i=0$$

代入 $V_x=0.4v_a+3.6$：

$$\frac{v_a-12}{6} +\frac{0.6v_a-3.6}{3} +i=0$$

整理後得到

$$i=3.2-\frac{11}{30}v_a$$

故

$$v_a=\frac{96}{11}-\frac{30}{11}i$$

而 $R_L$ 兩端電壓為

$$v_{RL}=v_a-v_b =v_a-0.5V_x$$

代入上述關係：

$$v_{RL} =0.8v_a-1.8$$

因此

核心觀念

本題考查二階串聯 RLC 電路的暫態響應，使用：

• 戴維寧等效電路
• 電感電流與電容電壓的連續性
• 二階電路自然頻率與特徵根
• 輸出電壓 $v_o(t)$ 與串聯電流的關係

依圖示，開關於 $t=0$ 閉合。

解題方法

1. 求左側電路的戴維寧等效

開關右側開路時，$8\,\Omega$ 無電流，因此其壓降為零。

左側 $3\,\text{A}$ 電流源與 $4\,\Omega$ 電阻並聯，節點電壓為

$$V_{\text{th}}=3(4)=12\text{ V}$$

將獨立電流源關閉，即開路，則戴維寧電阻為

$$R_{\text{th}} =8+(4\parallel 6) =8+\frac{4\times 6}{4+6} =10.4\,\Omega$$

因此，$t>0$ 時右側串聯電路的總電阻為

$$R=R_{\text{th}}+1=11.4\,\Omega$$

其中 $1\,\Omega$ 為輸出電阻。

2. 初始條件

在 $t<0$ 時開關斷開，右側 RLC 電路沒有獨立電源，穩態時

$$i_L(0^-)=0,\qquad v_C(0^-)=0$$

由電感電流及電容電壓的連續性：

$$i_L(0^+)=0,\qquad v_C(0^+)=0$$

因為 $v_o(t)$ 跨接於 $1\,\Omega$ 電阻上，

$$v_o(0^+)=1\cdot i(0^+)=0$$

在 $t=0^+$ 時，由 KVL：

$$12=L\frac{di}{dt}+Ri+v_C$$

代入 $L=\frac{1}{40}\,\text{H}$、$i(0^+)=0$、$v_C(0^+)=0$：

$$\left.\frac{di}{dt}\right|_{0^+} =\frac{12}{1/40} =480\text{ A/s}$$

3. 求特徵根

電路參數為

核心觀念

本題考查一階 $RL$ 暫態電路，使用：

• 電感電流連續性：$i_1(0^+)=i_1(0^-)$
• $t>0$ 時以節點分析與 KVL 建立微分方程
• 一階響應公式：

$$i_1(t)=i_1(\infty)+\left[i_1(0^+)-i_1(\infty)\right]e^{-t/\tau}$$

依原圖，$i_1(t)$ 的箭頭位於 $12\Omega$ 電阻支路，方向由左向右；下方受控電壓源標示為 $5i_1(t)$。

一、求初始電流 $i_1(0^-)$

$t<0$ 時開關閉合，左側 $10\text{ V}$ 電壓源接入，因此上方節點電壓為

$$v(0^-)=10\text{ V}$$

直流穩態時電感視為短路。沿右側支路由上往下套用 KVL：

$$10=12i_1(0^-)-5i_1(0^-)$$

因此

$$10=7i_1(0^-)$$ $$i_1(0^-)=\frac{10}{7}\text{ A}$$

由電感電流連續性：

$$i_1(0^+)=i_1(0^-)=\frac{10}{7}\text{ A}$$

二、求 $t>0$ 的微分方程

$t>0$ 時開關打開，$10\text{ V}$ 電壓源與右側電路分離。

令上方節點對下方參考節點的電壓為 $v(t)$。由右側支路套用 KVL：

$$v(t)=12i_1(t)+2\frac{di_1(t)}{dt}-5i_1(t)$$

整理得

$$v(t)=7i_1(t)+2\frac{di_1(t)}{dt}$$

在上方節點套用 KCL。$4\text{ A}$ 電流源向節點注入電流，因此

$$4=i_1(t)+\frac{v(t)}{2}$$

所以

$$v(t)=8-2i_1(t)$$

代入前式：

核心觀念

圖 4 中，$5\,\Omega$ 電阻、電感 $L$ 與電容 $C=83\,\mu\text{F}$ 為串聯電路。要使電流與電壓源同相，總阻抗必須為純電阻，因此總電抗為零：

$$X_L-X_C=0$$

其中

$$X_L=\omega L,\qquad X_C=\frac{1}{\omega C}$$

題目給定

$$V_s=13\cos(600t+85^\circ)\text{ V}$$

故角頻率為

$$\omega=600\ \text{rad/s}$$

解題方法

串聯電路的總阻抗為

$$Z=5+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$$

電流相位相對於電壓源為

$$\angle I=\angle V_s-\angle Z$$

欲使電流與電壓源同相，必須有

$$\angle Z=0^\circ$$

因此虛部為零：

$$\omega L-\frac{1}{\omega C}=0$$

整理得

核心觀念

本題考查交流穩態相量電路的：

• 阻抗串聯等效
• 電壓源兩端的電壓約束
• 超節點（supernode）分析
• 歐姆定律求支路電流

以下以接地點為參考，且依圖中 $I_o$ 向下定義。

解題方法

左側由 $V_1$ 看向接地，包含 $j1\,\Omega$ 與 $1\,\Omega$ 串聯，因此其等效阻抗為

$$Z_L=1+j$$

右側由 $V_2$ 看向接地，包含 $1\,\Omega$ 與 $-j1\,\Omega$ 串聯，因此其等效阻抗為

$$Z_R=1-j$$

由於 $V_1$ 與 $V_2$ 之間有電壓源，使用超節點。圖中電壓源左端為負、右端為正，因此

$$V_2-V_1=6\angle 0^\circ=6$$

電流源由接地流向超節點，注入電流為 $2\angle0^\circ=2$ A。對超節點套用 KCL：

$$\frac{V_1}{1+j}+\frac{V_2}{1-j}+\frac{V_2}{1}=2$$

化簡導納：

$$\frac{1}{1+j}=\frac{1-j}{2}$$ $$\frac{1}{1-j}=\frac{1+j}{2}$$

因此

$$\left(\frac{1-j}{2}\right)V_1+ \left(\frac{1+j}{2}+1\right)V_2=2$$

即