114 年 國立中正大學電機工程學系碩士班電力與電能處理甲組《電路學》

核心觀念

直流穩態下：

• 電感視為短路：$v_L=0$
• 電容視為開路：$i_C=0$
• 電阻功率：
  $P_R=I_R^2R$
• 電容儲能：
  $W_C=\frac{1}{2}CV_C^2$

因此，$2\text{ H}$ 與 $3\text{ H}$ 電感在穩態時短路，$2\text{ F}$ 電容所在支路無電流。

解題方法

電感短路後，左側節點電壓由理想電壓源固定為

$V_A=12\text{ V}$

右側 $6\text{ A}$ 電流源經 $3\text{ H}$ 短路後，等效為向節點 $B$ 注入 $6\text{ A}$。

對節點 $B$ 寫 KCL：

$\frac{V_B-V_A}{3}+\frac{V_B}{6}=6$

代入 $V_A=12\text{ V}$：

$\frac{V_B-12}{3}+\frac{V_B}{6}=6$

乘以 $6$ 得

$2V_B-24+V_B=36$

因此

$V_B=20\text{ V}$

流過 $3\Omega$ 電阻的電流為

核心觀念

本題由兩級理想運算放大器組成，使用：

• 理想運算放大器虛短：$v_-=v_+$
• 理想運算放大器虛斷：輸入端電流為零
• 負回授下，第一級將輸入電流轉換為電壓；第二級則以負回授維持電流比例

設第一級運算放大器輸出電壓為 $v_x$。

解題方法

第一級運算放大器的非反相端接地，因此反相端為虛地：

$$v_-=0$$

輸入電流 $i_{in}$ 全部流經回授電阻 $R_F$，故依據歐姆定律：

$$i_{in}=\frac{0-v_x}{R_F}$$

因此第一級輸出電壓為：

$$v_x=-i_{in}R_F$$

第二級運算放大器的非反相端接收 $v_x$，負回授作用使其反相端電壓也等於 $v_x$。

反相端節點接有 $R_i$ 與 $R_L$。由於運算放大器輸入端不吸收電流，流經負載 $R_L$ 的輸出電流 $i_o$ 必須流入 $R_i$，因此：

核心觀念

本題考查一階 RC 暫態電路：

• 電容電壓不可瞬間改變：
  $v_C(0^+)=v_C(0^-)$
• 電容自然放電響應：
  $v_C(t)=v_C(0^+)e^{-t/\tau}$
• 時間常數：
  $\tau=R_{\mathrm{eq}}C$

由圖可知，$t=0$ 時開關斷開，左側 $12\text{ V}$ 電源與 RC 電路分離。

一、求電容初始電壓

在 $t<0$ 穩態時，電容視為開路，因此右側 $2\,\text{k}\Omega$ 電阻沒有電流，右端電壓為

$v_R(0^-)=0$

左端由 $6\,\text{k}\Omega$ 與 $3\,\text{k}\Omega$ 分壓：

$v_L(0^-)=12\frac{3}{6+3}=4\text{ V}$

因此電容左端對右端的初始電壓為

$v_C(0^-)=v_L(0^-)-v_R(0^-)=4\text{ V}$

由電容電壓連續性：

$v_C(0^+)=4\text{ V}$

二、求時間常數

$t>0$ 時，電源被切離，電容所看到的等效電阻為

$R_{\mathrm{eq}}=3\,\text{k}\Omega+2\,\text{k}\Omega=5\,\text{k}\Omega$

因此

$$\tau=R_{\mathrm{eq}}C =(5\,\text{k}\Omega)(200\,\mu\text{F}) =1\text{ s}$$

電容電壓為

核心觀念

此題考查交流穩態電路中的複數阻抗，以及：

• 串聯阻抗：$Z_{\text{series}}=Z_1+Z_2$
• 並聯阻抗：$Z_{\text{parallel}}=\dfrac{Z_1Z_2}{Z_1+Z_2}$
• 電路圖中左側輸入端所看到的等效阻抗。

由圖可知，左側 $10\,\Omega$ 電阻與後方網路串聯。

解題方法

令左側 $10\,\Omega$ 電阻右端節點為 $a$，右側上方節點為 $b$。

1. 計算 $a$ 到 $b$ 之間的並聯阻抗

上方支路阻抗為：

$$Z_1=8-j8\ \Omega$$

中間支路阻抗為：

$$Z_2=j5\ \Omega$$

因此：

$$Z_{ab}=Z_1\parallel Z_2 =\frac{(8-j8)(j5)}{(8-j8)+j5}$$ $$Z_{ab} =\frac{40+j40}{8-j3} =\frac{200+j440}{73}\ \Omega$$

2. 計算右側支路阻抗

節點 $b$ 到下方參考節點的右側支路，由 $-j2\,\Omega$ 與 $4\,\Omega$ 串聯：

$$Z_{bg}=4-j2\ \Omega$$

所以由節點 $a$ 經右側網路到下方端點的阻抗為：

$$Z_R=Z_{ab}+Z_{bg}$$ $$Z_R=\frac{200+j440}{73}+4-j2 =\frac{492+j294}{73}\ \Omega$$

本題要求計算交流電路中特定支路的電流，包含電感、電容、電阻和一個正弦電壓源。

圖 5 顯示一個交流電路，包含一個電壓源 $v(t) = 120 \cos(5000t) V$，一個 $60\Omega$ 電阻，一個 $2.5\mu F$ 電容，以及一個 $16mH$ 電感。我們需要找到流過電容的電流 $i_c(t)$ 和流過電感的電流 $i(t)$。

首先，將元件表示為複數阻抗。角頻率 $\omega = 5000 rad/s$。
電壓源的複數形式為 $V = 120 \angle 0^\circ V$。
電阻 $R = 60\Omega$。
電容 $C = 2.5\mu F = 2.5 \times 10^{-6} F$。
電容的阻抗 $Z_C = \frac{1}{j\omega C} = \frac{1}{j(5000)(2.5 \times 10^{-6})} = \frac{1}{j0.0125} = -j80\Omega$。
電感 $L = 16mH = 16 \times 10^{-3} H$。
電感的阻抗 $Z_L = j\omega L = j(5000)(16 \times 10^{-3}) = j80\Omega$。

電路結構：
$60\Omega$ 電阻與 $2.5\mu F$ 電容串聯，這個串聯組合與 $16mH$ 電感並聯。
整個並聯組合跨接在 $120 \angle 0^\circ V$ 的電壓源兩端。
我們需要求解流過電容的電流 $i_c(t)$ 和流過電感的電流 $i(t)$。

首先，計算流過電感的電流 $i(t)$。
電感與電壓源直接並聯。
$I = \frac{V}{Z_L} = \frac{120 \angle 0^\circ V}{j80\Omega} = \frac{120}{80} \angle (0^\circ - 90^\circ) A = 1.5 \angle -90^\circ A$。
將其轉換為時域表達式：
$i(t) = 1.5 \cos(5000t - 90^\circ) A$。
$i(t) = 1.5 \sin(5000t) A$。

接下來，計算流過電容的電流 $i_c(t)$。
需要先計算流過 $60\Omega$ 電阻和 $Z_C$ 串聯支路的總電流 $I_{RC}$。
$60\Omega$ 電阻和 $Z_C = -j80\Omega$ 串聯的總阻抗為 $Z_{RC} = R + Z_C = 60 - j80\Omega$。
$I_{RC} = \frac{V}{Z_{RC}} = \frac{120 \angle 0^\circ}{60 - j80\Omega}$。
計算 $60 - j80$ 的極座標形式：
模長 $|Z_{RC}| = \sqrt{60^2 + (-80)^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100\Omega$。

核心觀念

本題考查交流穩態電路中的：

• 相量阻抗與導納
• 並聯電路的總電流
• 平均功率定義
• 電阻、電感與電容的平均功率特性

採用有效值相量時，複功率為

$$S=VI^*=P+jQ$$

其中平均功率為

$$P=\operatorname{Re}(S)$$

純電阻消耗平均功率；理想電感與電容只交換無功能量，平均功率皆為 $0$。

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解題方法

圖中兩個串聯支路並聯於電流源兩端。

左支路阻抗為

$$Z_1=4+j3\ \Omega$$

右支路阻抗為

$$Z_2=2-j1\ \Omega$$

電流源為

$$I_s=4\angle 30^\circ\ \text{A}$$

1. 求兩支路總導納

左支路導納：

$$Y_1=\frac{1}{4+j3} =\frac{4-j3}{4^2+3^2} =0.16-j0.12\ \text{S}$$

右支路導納：

$$Y_2=\frac{1}{2-j1} =\frac{2+j1}{2^2+1^2} =0.4+j0.2\ \text{S}$$

因此總導納為

$$Y_T=Y_1+Y_2 =0.56+j0.08\ \text{S}$$

其大小為

$$|Y_T|=\sqrt{0.56^2+0.08^2} =\sqrt{0.32} =0.5657\ \text{S}$$

兩端電壓：

$$V_T=\frac{I_s}{Y_T}$$ $$|V_T|=\frac{4}{0.5657}=7.071\ \text{V}$$

相角為

$$\angle V_T =30^\circ-\tan^{-1}\left(\frac{0.08}{0.56}\right) =21.87^\circ$$

所以

$$V_T=7.071\angle21.87^\circ\ \text{V}$$

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2. 求各支路電流

左支路電流：

$$I_1=\frac{V_T}{4+j3} =V_TY_1 \approx 1.414\angle(-15^\circ)\ \text{A}$$

右支路電流：

$$I_2=\frac{V_T}{2-j1} =V_TY_2 \approx 3.162\angle48.43^\circ\ \text{A}$$

並可驗算：

$$I_1+I_2=I_s$$

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各元件平均功率

4 Ω 電阻