114 年 國立中正大學電機工程學系碩士班晶片系統組《電子學》

核心觀念

本題考查 NMOS 在三極體區的電流公式、臨界電壓 $V_{TN}$ 的求法、尺寸比例 $(W/L)$，以及通道夾止（pinch-off）的條件。

NMOS 操作於三極體區時：

$$I_D=k_n'\frac{W}{L} \left[(V_{GS}-V_{TN})V_{DS}-\frac{V_{DS}^2}{2}\right]$$

其成立條件為：

$$V_{DS}<V_{GS}-V_{TN}$$

當汲極端通道剛好夾止時：

$$V_{DS}=V_{GS}-V_{TN}$$

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解題方法

因為題目在 $v_{DS}=0.3\text{ V}$ 下，分別給出兩組 $v_{GS}$ 與 $I_D$，可先利用電流比值消去 $k_n'(W/L)$，求出 $V_{TN}$，再代回電流公式求 $(W/L)$。

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(a) 求臨界電壓 $V_{TN}$

當 $V_{GS}=2\text{ V}$ 時：

$$48\mu\text{A} = k_n'\frac{W}{L} \left[(2-V_{TN})(0.3)-\frac{(0.3)^2}{2}\right]$$

當 $V_{GS}=3\text{ V}$ 時：

$$96\mu\text{A} = k_n'\frac{W}{L} \left[(3-V_{TN})(0.3)-\frac{(0.3)^2}{2}\right]$$

由於：

$$\frac{96}{48}=2$$

因此：

$$(3-V_{TN})(0.3)-0.045 = 2\left[(2-V_{TN})(0.3)-0.045\right]$$

展開：

$$0.9-0.3V_{TN}-0.045 = 2(0.6-0.3V_{TN}-0.045)$$ $$0.855-0.3V_{TN} = 1.11-0.6V_{TN}$$ $$0.3V_{TN}=0.255$$

所以：

$$\boxed{V_{TN}=0.85\text{ V}}$$

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(b) 求通道寬長比 $(W/L)$

已知：

$$k_n'=20\mu\text{A}/\text{V}^2$$

取 $V_{GS}=2\text{ V}$ 的條件：

$$V_{GS}-V_{TN}=2-0.85=1.15\text{ V}$$

代入公式：

$$48 = 20\frac{W}{L} \left[(1.15)(0.3)-\frac{(0.3)^2}{2}\right]$$

括號內：

$$(1.15)(0.3)-0.045 = 0.345-0.045 = 0.3$$

因此：

$$48=20\frac{W}{L}(0.3)$$

核心觀念

本題考察一階 $RC$ 高通電路與理想運算放大器的負回授分析：

• 電容阻抗：
  $Z_C=\frac{1}{sC}$
• 輸入端串聯阻抗：
  $Z_{\text{in}}=R_1+\frac{1}{sC}$
• 理想反相運算放大器在負回授下，反相端為虛地。
• 閉迴路增益：
  $\frac{v_o}{v_i}=-\frac{R_2}{Z_{\text{in}}}$

依照原圖可見，$R_2$ 的回授線接至運算放大器的「$+$」端，形成正回授；如此電路並非一般線性濾波器，無法定義穩定的高頻增益與 $3$-dB 頻率。以下依本題各小題的問法，採用標準題意所需的合理假設：$R_2$ 應接至反相端，而非同相端。

解題方法

將輸入端的 $R_1$ 與電容 $C$ 視為串聯阻抗：

$$Z_{\text{in}}=R_1+\frac{1}{sC}$$

在理想運算放大器負回授下，反相端為虛地，因此

$$\frac{v_o}{v_i} =-\frac{R_2}{R_1+\frac{1}{sC}}$$

分母同乘 $sC$：

$$H(s)=\frac{v_o}{v_i} =-\frac{sR_2C}{1+sR_1C}$$

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(a) 判斷低通或高通，並推導轉移函數

轉移函數為

$$H(s)=-\frac{sR_2C}{1+sR_1C}$$

令 $s=j\omega$：

$$H(j\omega) =-\frac{j\omega R_2C}{1+j\omega R_1C}$$

當 $\omega=0$ 時，

$$H(0)=0$$

低頻訊號被電容阻隔，輸出為零；當頻率升高時，電容阻抗下降，訊號逐漸通過。因此本電路為高通濾波器。

其幅值為

$$|H(j\omega)| =\frac{\omega R_2C} {\sqrt{1+(\omega R_1C)^2}}$$

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(b) 高頻增益

當 $\omega\rightarrow\infty$ 時，$sR_1C\gg 1$，因此

$$H(s)\approx-\frac{sR_2C}{sR_1C} =-\frac{R_2}{R_1}$$

所以高頻增益為

$$\boxed{A_{\text{HF}}=-\frac{R_2}{R_1}}$$

其高頻增益的大小為

$$\boxed{|A_{\text{HF}}|=\frac{R_2}{R_1}}$$

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(c) $3$-dB 頻率

高通電路的截止頻率為

核心觀念

本題考查**主動負載共源極放大器（Common-Source Amplifier with Active Load）**之直流偏壓設計與小訊號分析：

1. MOSFET 飽和區電流公式（考慮通道長度調變效應）：
   $I_D = \frac{1}{2} k' \left(\frac{W}{L}\right) (V_{OV})^2 (1 + \lambda V_{DS})$
   其中過驅動電壓 $V_{OV} = V_{GS} - V_{TN}$（NMOS）或 $V_{OV} = V_{SG} - |V_{TP}|$（PMOS）。
2. 電流鏡與參考電流電路：
   • 驅動電晶體為 $Q_1$（NMOS），輸入端為閘極 $V_I$。
   • 主動負載為 PMOS 電流鏡（由二極體連接的 $Q_2$ 與輸出負載 $Q_4$ 組成，且 $Q_2$ 與 $Q_4$ 為相同電晶體）。
   • 參考電流支路通常由二極體連接的 $Q_3$（NMOS）與 $Q_2$ 串聯，提供參考基準電流 $I_{ref}$。
3. 小訊號參數與電壓增益：
   • 輸出阻抗：$r_o = \frac{1}{\lambda I_D}$ 或 $r_o = \frac{V_A + V_{DS}}{I_D} \approx \frac{1}{\lambda I_D}$。
   • 互導：$g_m = \frac{2 I_D}{V_{OV}} = \sqrt{2 k' (W/L) I_D (1 + \lambda V_{DS})}$，或由微觀小訊號關係式表示。
   • 共源放大器小訊號電壓增益：$A_v = \frac{v_o}{v_i} = -g_{m1} (r_{o1} \parallel r_{o4})$。

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解題方法與詳細推導

電路靜態偏壓狀態分析

電路電源 $V_{DD} = 3\text{ V}$，偏壓條件如下：

• 輸出直流電位：$V_O = 1.5\text{ V}$
• 輸入直流電位：$V_I = 1.2\text{ V}$
• 設計電流：$I_O = I_{ref} = 100\ \mu\text{A}$
• 元件參數：
  • NMOS：$V_{TN} = 0.5\text{ V}$，$k'_n = 100\ \mu\text{A/V}^2$，$\lambda_n = 0.02\text{ V}^{-1}$
  • PMOS：$V_{TP} = -0.5\text{ V}$（即 $|V_{TP}| = 0.5\text{ V}$），$k'_p = 50\ \mu\text{A/V}^2$，$\lambda_p = 0.02\text{ V}^{-1}$

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(a) 設計各電晶體之寬長比 $(W/L)$

考慮通道長度調變效應之飽和區電流方程式：
$I_D = \frac{1}{2} k' \left(\frac{W}{L}\right) (V_{GS} - V_T)^2 (1 + \lambda V_{DS})$

1. 設計 $Q_1$（NMOS 放大管）：

   • $V_{GS1} = V_I - 0 = 1.2\text{ V}$
   • $V_{OV1} = V_{GS1} - V_{TN} = 1.2 - 0.5 = 0.7\text{ V}$
   • $V_{DS1} = V_O - 0 = 1.5\text{ V}$
   • 代入電流方程式（$I_O = 100\ \mu\text{A}$）：
     $100 = \frac{1}{2} \times 100 \times \left(\frac{W}{L}\right)_1 \times (0.7)^2 \times [1 + 0.02 \times 1.5]$
     $100 = 50 \times \left(\frac{W}{L}\right)_1 \times 0.49 \times (1 + 0.03)$
     $100 = 25.235 \times \left(\frac{W}{L}\right)_1 \implies \left(\frac{W}{L}\right)_1 = \frac{100}{25.235} \approx 3.96$

2. 設計 $Q_4$ 與 $Q_2$（PMOS 主動負載與電流鏡）：

   • 題目指定 $Q_2$ 與 $Q_4$ 相同（identical），故：
     $\left(\frac{W}{L}\right)_2 = \left(\frac{W}{L}\right)_4$
   • 對 $Q_4$ 而言：
     $V_{SD4} = V_{DD} - V_O = 3 - 1.5 = 1.5\text{ V}$
     $1 + \lambda_p V_{SD4} = 1 + 0.02 \times 1.5 = 1.03$
   • 對二極體接法（Diode-connected）的 $Q_2$：
     其汲極接閘極，故 $V_{D2} = V_{G2}$，即 $V_{SD2} = V_{SG2}$。
     由於 $Q_2$ 與 $Q_4$ 共用閘極，且源極皆接 $V_{DD}$，故 $V_{SG2} = V_{SG4}$。
   • 因為 $I_O = I_{ref} = 100\ \mu\text{A}$，兩管電流相等：
     $I_O = \frac{1}{2} k'_p \left(\frac{W}{L}\right)_4 (V_{SG4} - |V_{TP}|)^2 (1 + \lambda_p V_{SD4})$
     $I_{ref} = \frac{1}{2} k'_p \left(\frac{W}{L}\right)_2 (V_{SG2} - |V_{TP}|)^2 (1 + \lambda_p V_{SD2})$
     兩式相比可得：
     $1 + \lambda_p V_{SD4} = 1 + \lambda_p V_{SD2} \implies V_{SD2} = V_{SD4} = 1.5\text{ V}$
   • 因 $V_{SD2} = V_{SG2} = 1.5\text{ V}$，可求出過驅動電壓：
     $V_{OV2} = V_{SG2} - |V_{TP}| = 1.5 - 0.5 = 1.0\text{ V}$
   • 代入 $I_D$ 公式求 $(W/L)_4$ 與 $(W/L)_2$：

核心觀念

本題考查：

• MOS 差動對的平衡偏壓
• MOSFET 飽和區電流公式
• 差動增益 $A_d$
• 尾端電阻 $R_{SS}$ 對共模增益 $A_{CM}$ 的影響

已知總尾電流為 $1\,\text{mA}$，平衡時

$$I_{D1}=I_{D2}=\frac{1\,\text{mA}}{2}=0.5\,\text{mA}$$

MOSFET 忽略通道長度調變，因此 $r_o=\infty$。

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(a) 求 $V_{CM}$

尾端電阻上的直流電流為 $1\,\text{mA}$，因此共源端電壓為

$$V_S=I_{SS}R_{SS} =(1\,\text{mA})(1\,\text{k}\Omega) =1\,\text{V}$$

由 MOSFET 飽和區公式

$$I_D=\frac{1}{2}k_n\left(\frac WL\right)V_{OV}^2$$

代入 $I_D=0.5\,\text{mA}$ 與 $k_n(W/L)=4\,\text{mA/V}^2$：

$$0.5 =\frac{1}{2}(4)V_{OV}^2$$ $$V_{OV}=0.5\,\text{V}$$

因此

$$V_{GS}=V_{TN}+V_{OV} =0.8+0.5 =1.3\,\text{V}$$

共模輸入電壓為

$$V_{CM}=V_S+V_{GS} =1+1.3 =\boxed{2.3\,\text{V}}$$

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(b) 求 $R_D$

先求轉導：

$$g_m=\frac{2I_D}{V_{OV}} =\frac{2(0.5\,\text{mA})}{0.5\,\text{V}} =2\,\text{mS}$$

對差動輸入 $v_{id}$ 而言，兩側汲極差動輸出為

$$v_{od}=g_mR_Dv_{id}$$

所以差動增益為

$$A_d=g_mR_D$$

題目要求 $A_d=10\,\text{V/V}$，因此

$$R_D=\frac{A_d}{g_m} =\frac{10}{2\,\text{mS}} =5\,\text{k}\Omega$$

故

$$\boxed{R_D=5\,\text{k}\Omega}$$

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(c) 求 $Q_1$ 的汲極電壓

直流平衡時 $Q_1$ 的汲極電流為 $0.5\,\text{mA}$，且

$$V_{DD}=5\,\text{V}$$

因此

$$V_{D1}=V_{DD}-I_{D1}R_D$$ $$V_{D1} =5-(0.5\,\text{mA})(5\,\text{k}\Omega) =5-2.5 =\boxed{2.5\,\text{V}}$$

核心觀念

本題考查 MOSFET 小訊號模型與負回授跨阻放大器：

• MOSFET 過驅電壓：
  $V_{OV}=V_{GS}-V_{TN}$
• 跨導：
  $g_m=\frac{2I_D}{V_{OV}}$
• 輸出電阻：
  $r_o=\frac{V_A}{I_D}$
• $Q_1$ 為共源級，$Q_2$ 為共汲極（source follower）。
• $R_F$ 將輸出電壓回授至 $Q_1$ 輸入端，形成負回授跨阻放大器。

圖中文字的 $V_I=16\text{ V}$ 應為 MOSFET 的 Early voltage $V_A=16\text{ V}$。

(a) $Q_1$ 輸入端的直流電壓

$Q_1$ 的源極接地，因此

$$V_{G1}=V_{GS1}$$

又因為

$$V_{GS1}=V_{TN}+V_{OV}$$

所以

$$V_{G1}=0.5+0.2=0.7\text{ V}$$

因此，$Q_1$ 輸入端的直流電壓為

$$\boxed{V_{G1}=0.7\text{ V}}$$

(b) $g_m$ 與 $r_o$

每一顆 MOSFET 的汲極電流為

$$I_D=0.4\text{ mA}$$

跨導

$$g_m=\frac{2I_D}{V_{OV}} =\frac{2(0.4\text{ mA})}{0.2\text{ V}} =4\text{ mS}$$

因此

$$\boxed{g_{m1}=g_{m2}=4\text{ mS}}$$

輸出電阻

$$r_o=\frac{V_A}{I_D} =\frac{16\text{ V}}{0.4\text{ mA}} =40\text{ k}\Omega$$

因此

$$\boxed{r_{o1}=r_{o2}=40\text{ k}\Omega}$$

(c) 開迴路增益

令 $v_x$ 為 $Q_1$ 的輸入小訊號電壓，$v_y$ 為 $Q_1$ 汲極、$Q_2$ 閘極的電壓，$v_o$ 為輸出電壓。

$Q_1$ 共源級

忽略 $Q_2$ 閘極電流，$Q_1$ 的小訊號電壓增益為

$$v_y=-g_{m1}r_{o1}v_x$$

$Q_2$ source follower

在計算前向增益時，$R_F$ 對輸出端形成負載，因此輸出端等效負載為

$$R_L=r_{o2}\parallel R_F$$

$Q_2$ 的 source follower 增益為

$$\frac{v_o}{v_y} = \frac{g_{m2}} {g_{m2}+\dfrac{1}{r_{o2}}+\dfrac{1}{R_F}}$$

故開迴路電壓增益為

$$A = \frac{v_o}{v_x} = -g_{m1}r_{o1} \frac{g_{m2}} {g_{m2}+\dfrac{1}{r_{o2}}+\dfrac{1}{R_F}}$$

也可寫成

$$\boxed{ A= -g_{m1}r_{o1} \frac{g_{m2}(r_{o2}\parallel R_F)} {1+g_{m2}(r_{o2}\parallel R_F)} }$$