109 年 國立中正大學電機工程學系碩士班電磁晶片組《電子學》

核心觀念

本題考差動對的差動電壓增益。差動輸入使兩支 NMOS 的電流一增一減；左側的 PMOS 電流鏡把左支路的電流變化反映到輸出端，與右支路的電流變化相加。輸出電阻則由輸出端的 NMOS 與 PMOS 輸出電阻並聯決定。

解題方法

靜態平衡時，尾電流平均分配至兩支 NMOS：

NMOS 的跨導參數為

因此過驅電壓與跨導為

以 $r_o\simeq V_A/I_D$ 估算輸出電阻：

核心觀念

本題考查互補式電流鏡的電流關係，以及 MOSFET 在飽和區的平方律。利用兩支路的電流相等，先求 M1、M2 的過驅電壓關係，再以共用閘極電壓和 M2 的源極電阻列式，即可求出 $I_o$。

解題方法

由圖可讀出：M4 為二極體接法 PMOS，M3、M4 閘極相連且尺寸相同；M3 與二極體接法 NMOS M1 串聯，M1、M2 閘極相連，M1 源極接地，M2 源極經 $R_s$ 接地，輸出支路電流 $I_o$ 向下。題目給定 $W_2/W_1=4$、$W_3=W_4$、各管通道長度為 $0.6\,\mu\text{m}$，且 $\lambda_P=\lambda_N=0$。

在兩支路的 MOSFET 均工作於飽和區時，匹配的 PMOS M3、M4 電流相等；由支路串接關係可得：

令 M1、M2 的過驅電壓分別為 $V_{OV1}$、$V_{OV2}$。兩管電流相等，由飽和區平方律：

由 $W_2/W_1=4$ 且 $L_1=L_2$，得到：

M1 源極接地，M2 源極電壓為 $I_oR_s$。兩管閘極相連，因此：

所以：

先由 M1 的平方律求電流。$W_1/L_1=12/0.6=20$，故：

核心觀念

飽和區 MOS 的通道長度調變模型為

PMOS 則以 $V_{SG}-|V_{TP}|$ 作為過驅電壓，並以 $V_{SD}$ 代入通道長度調變項。求小訊號電源敏感度時，需同時微分各支路的電流平衡；由於 M3、M4 的 $V_{SD}$ 不同，即使尺寸相同，兩者電流也不會完全相等。

解題方法

由 Fig. P2 可讀出：M4 為二極體接法的 PMOS，與 M3 形成電流鏡；M1 為二極體接法的 NMOS，並與 M2 共用閘極；M2 的源極經 $R_S=3.6\,\text{k}\Omega$ 接地。題目給定 $V_{DD}=3\,\text{V}$、$V_{tn}=|V_{tp}|=1\,\text{V}$，且 $\lambda_n=\lambda_p=0.1\,\text{V}^{-1}$。

令 $x$ 為 M1 的閘極／汲極電壓，$y$ 為 M4 的閘極／汲極電壓，並定義

因此，$n$、$p$、$q$ 分別是 M1、M4、M2 的過驅電壓。由題目尺寸可得 $\beta_{n1}=2000$、$\beta_{n2}=8000$、$\beta_{p3}=\beta_{p4}=800$，單位皆為 $\mu\text{A}/\text{V}^2$。令

以微安培表示電流，各管電流為

核心觀念

• 正弦波取樣：在時間 $t$ 取得的瞬時電壓為 $V_{in}(t)=A_m\cos(2\pi f_{in}t)$。
• 取樣時刻：給定取樣時刻 $t_s$，直接代入公式即可得到樣本值。
• 12‑bit A/D 轉換：
  • 12 位元可表達 $2^{12}=4096$ 個離散碼位。
  • 若 ADC 以雙極性（$\pm A_m$）作為參考範圍，量化間距
    $\Delta =\frac{2A_m}{2^{12}}=\frac{4\;\text{V}}{4096}=0.0009765625\;\text{V}.$
  • 雙極性 2’s complement 之最小碼為 0（代表 $-A_m$），最大碼為 $4095$（代表 $+A_m$）。

解題方法

1. 計算取樣點電壓

$t_s = 0.5\;\text{ms}=0.5\times10^{-3}\;\text{s}$

2. 量化至 12‑bit 數位值
   • 以雙極性參考範圍 $[-2\text{V},+2\text{V}]$ 為例，量化公式

$\text{Code}= \left\lfloor\frac{V_{in}+A_m}{2A_m}\times(2^{12}-1)+0.5\right\rfloor$

核心觀念

• 離散化 (Sampling)：將連續時間信號在指定時刻取樣，得到離散樣本。
• ADC 量化 (Quantization)：將取樣電壓映射到有限的二進位碼。對於 N 位元 ADC，碼值範圍為 $0\sim (2^{N}-1)$。
• 雙極性 (Bipolar) 量測範圍：若 ADC 參考電壓 $V_{\text{ref}}$ 為正負對稱，則 $-V_{\text{ref}}\rightarrow0$、$+V_{\text{ref}}\rightarrow2^{N}-1$，映射公式

$\text{Code}= \left\lfloor \frac{V_{\text{in}}+V_{\text{ref}}}{2V_{\text{ref}}}\,(2^{N}-1)+\tfrac12\right\rfloor$

（四捨五入到最接近的整數）。

解題方法

1. 計算取樣時刻的瞬時電壓

$V_{\text{in}}(t)=A_m\cos(2\pi f_{\text{in}}t)$

代入 $A_m=2\,$V、$f_{\text{in}}=1\,$kHz、$t=0.75\,$ms：

2. 決定 ADC 的參考電壓 $V_{\text{ref}}$
   題目僅給出振幅 $A_m=2\,$V，最常見的假設是 雙極性 12‑bit ADC，其量測範圍為 $[-V_{\text{ref}},+V_{\text{ref}}]$，且 $V_{\text{ref}}=A_m=2\,$V（滿量程即

核心觀念

• 量化階梯 (LSB)：對於 $N$ 位元的 ADC，最小可分辨電壓步階為
  $\text{LSB}= \frac{V_{\text{FS}}}{2^{N}}$
  其中 $V_{\text{FS}}$ 為 全幅 (full‑scale) 電壓，以 peak‑to‑peak 為基準。
• 量化誤差：理想情況下，單一樣本的量化誤差最大不超過 $\pm\frac{\text{LSB}}{2}$，稱為 半 LSB 誤差。
• 誤差百分比：將半 LSB 誤差除以全幅電壓，再乘以 100% 即為「以全幅電壓的百分比」表示的誤差。

解題方法

1. 確定全幅電壓
   題目給予正弦波幅度 $A_m = 2\;\text{V}$，即峰值 $V_{\text{pk}}=2\;\text{V}$。
   全幅電壓（peak‑to‑peak）為
   $V_{\text{FS}} = 2V_{\text{pk}} = 2\times 2\;\text{V}=4\;\text{V}$

2. 計算 LSB 大小（12 位元 ADC）
   $\text{LSB}= \frac{V_{\text{FS}}}{2^{12}} = \frac{4\;\text{V}}{4096}=9.77\times10^{-4}\;\text{V}=0.977\;\text{mV}$

核心觀念

輸出電阻的定義是從輸出端看入的小訊號電阻：

將各電晶體的偏壓端視為交流接地，並以 $g_m$ 與 $r_o$ 的小訊號模型分析。令 $g_o=1/r_o$。題目給定 $g_mr_o\gg 1$，因此最後可忽略相較於 $g_m$ 很小的 $g_o$ 項。

解題方法

(a)

以 $v_o$ 作為輸出端測試電壓，令 $v_x$ 為 $Q_1$ 源極與 $Q_2$ 汲極的連接點。由於 MOS 閘極小訊號電流為零，$R_G$ 上沒有小訊號壓降，因此 $Q_2$ 的閘極與汲極小訊號電壓相同，$Q_2$ 等效為二極體接法。

$Q_2$ 從節點 $v_x$ 看入的電阻為 $1/(g_m+g_o)$。$Q_1$ 為閘極交流接地的共閘級，因此：

代入 $g_o=1/r_o$：

(b)

令 $v_x$ 為 $Q_1$ 源極與 $Q_2$ 汲極的連接點。$Q_1$ 閘極交流接地，$Q_2$ 閘極接到輸出端。對節點 $v_x$ 寫小訊號電流平衡：

整理得：

輸出端流入 $Q_1$ 的電流為：

因此：

核心觀念

本題用輸入、輸出極點的關係式求 $R_G$ 與 $R_D$：

輸入端要計入 $Q_1$ 的閘源電容，以及經米勒效應放大的閘汲電容。輸出端的極點由 $R_D$ 與輸出端電容 $C_{GD2}$ 決定。

解題方法

兩顆匹配電晶體各流過 $I_D=500\,\mu\text{A}$，過驅電壓為 $V_{OV}=0.2\,\text{V}$。由飽和區電流式求出 $W$：

因此 $W=250(0.18\,\mu\text{m})=45\,\mu\text{m}$。電容為

跨導則為

輸入電阻 $R_G$

令 $Q_1$ 汲極與 $Q_2$ 源極相接的節點電壓為 $v_x$。由於 $Q_2$ 為共閘級，該節點的小訊號輸入電阻約為 $1/g_{m2}$；又 $Q_1$ 與 $Q_2$ 匹配，因此

核心觀念

本題考二極體的指數電流－電壓關係，以及並聯電路的克希荷夫電流定律（KCL）。採用理想因子為 $1$ 的二極體方程：

三顆相同二極體串聯時，流過它們的電流相同，因此每顆二極體的順向壓降也相同。

解題方法

由圖 P6 可知，$3\,\mathrm{mA}$ 電流源向上供應電流，與 $1\,\mathrm{k}\Omega$ 電阻及三顆串聯二極體構成並聯電路。三顆二極體的順向導通方向皆由上往下，$V_R$ 的參考極性為上正下負。

電阻與二極體串聯支路的端電壓均為 $V_R$，故每顆二極體的壓降為：

代入 $I_S=5\times10^{-17}\,\mathrm{A}$ 與 $V_T=0.025\,\mathrm{V}$，得到二極體支路電流：

電阻電流為：

在上方節點套用 KCL，電流源供應的電流等於兩支路電流之和：

核心觀念

反相器的轉換點（trip point）是輸入電壓與輸出電壓相等的位置，因此 $V_I=V_O=V_M$。題目指定兩顆 MOSFET 在此工作於飽和區，且 $\lambda_N=\lambda_P=0$，所以令 NMOS 與 PMOS 的飽和電流相等即可求出 $V_M$：

其中 NMOS 的 $V_{OV,N}=V_M-V_{THN}$，PMOS 的 $V_{OV,P}=V_{DD}-V_M-|V_{THP}|$。

解題方法

由圖可讀出 $V_{DD}=1.8\text{ V}$，且 $(W/L)_{Q1}=10(W/L)_{Q2}$。其中 $Q1$ 為 NMOS、$Q2$ 為 PMOS。代入題目給定的製程參數：