109 年 國立中正大學電機工程學系碩士班信號與媒體通訊組《通訊原理》

一個隨機過程若為寬度意義下之定常（Wide-Sense Stationary, WSS），則其自相關函數 $R(\tau)$ 必須滿足以下性質：

1. $R(\tau)$ 是 $\tau$ 的函數，且 $R(0) = E[X(t)^2]$ 為過程的平均功率，必須為有限值。
2. $R(\tau)$ 必須是偶函數，即 $R(\tau) = R(-\tau)$。
3. $R(\tau)$ 必須是正定（positive semi-definite）的，這保證了其傅立葉轉換（功率頻譜密度）是非負的。

我們逐一檢驗選項：
a) $f(\tau) = \tau^2$：

• $R(0) = 0^2 = 0$，有限。
• $R(-\tau) = (-\tau)^2 = \tau^2 = R(\tau)$，是偶函數。
• 然而，此函數不是正定函數。例如，考慮兩個時間點 $t_1, t_2$，若 $t_1 - t_2 = \tau$，則 $E[X(t_1)X(t_2)] = \tau^2$。若我們考慮一個包含 $X(t)$ 和 $X(t+\tau)$ 的線性組合 $aX(t) + bX(t+\tau)$，其方差必須非負。若 $R(\tau) = \tau^2$，則 $E[(aX(t) + bX(t+\tau))^2] = a^2 R(0) + b^2 R(0) + 2ab R(\tau)$。

核心觀念

本題考查加性高斯白雜訊通道下的最大概似偵測（Maximum-Likelihood Detection）。

已知接收模型為

$$r=-c_m+z$$

其中 $c_m$ 是傳送的代碼字，$z$ 為零均值高斯雜訊。若各代碼字先驗機率相同，最大概似準則等價於選擇使歐氏距離最小的候選碼字：

$$\hat{c} =\arg\min_{c_i}\left\|r-(-c_i)\right\|^2 =\arg\min_{c_i}\left\|r+c_i\right\|^2.$$

本題的關鍵在於：實際接收訊號的平均值是 $-c_i$，不是 $c_i$，因此必須計算 $\|r+c_i\|^2$。

解題方法

接收向量為

$$r=[-0.3,\ 0.3,\ 0.1,\ 0.2].$$

分別計算各候選碼字之負號碼字與 $r$ 的平方距離。

選項 a：$c_1$

$$c_1=[1,1,1,1],\qquad -c_1=[-1,-1,-1,-1].$$ $$\|r+c_1\|^2 =(0.7)^2+(1.3)^2+(1.1)^2+(1.2)^2 =4.83.$$

選項 b：$c_2$

$$c_2=[1,-1,1,-1],\qquad -c_2=[-1,1,-1,1].$$ $$\|r+c_2\|^2 =(0.7)^2+(-0.7)^2+(1.1)^2+(-0.8)^2 =2.83.$$

選項 c：$c_3$

$$c_3=[1,1,-1,-1],\qquad -c_3=[-1,-1,1,1].$$ $$\|r+c_3\|^2 =(0.7)^2+(1.3)^2+(-0.9)^2+(-0.8)^2 =3.63.$$

核心觀念

本題考查兩個不同頻率餘弦訊號的「正交性」。定義

$$\rho=\frac{1}{T}\int_0^T s_1(t)s_2(t)\,dt$$

當 $\rho=0$ 時，表示兩訊號在時間區間 $[0,T]$ 上正交。

利用積化和公式：

$$\cos A\cos B =\frac{1}{2}\left[\cos(A-B)+\cos(A+B)\right]$$

且題目給定 $T=n/f_c$，因此

$$f_cT=n$$

代表在觀察時間 $T$ 內，載波 $f_c$ 完整振盪 $n$ 個週期。

解題方法

令

$$s_1(t)=\cos(2\pi f_ct),\qquad s_2(t)=\cos\left(2\pi(f_c+\Delta f)t\right)$$

代入積化和公式：

$$s_1(t)s_2(t) = \frac{1}{2} \left[ \cos(2\pi\Delta f\,t) + \cos\left(2\pi(2f_c+\Delta f)t\right) \right]$$

因此

$$\rho = \frac{1}{2T} \int_0^T \left[ \cos(2\pi\Delta f\,t) + \cos\left(2\pi(2f_c+\Delta f)t\right) \right]dt$$

積分後得到

$$\rho = \frac{1}{2T} \left[ \frac{\sin(2\pi\Delta f T)}{2\pi\Delta f} + \frac{\sin\left(2\pi(2f_c+\Delta f)T\right)} {2\pi(2f_c+\Delta f)} \right]$$

由於 $f_cT=n$，有

$$(2f_c+\Delta f)T=2n+\Delta f T$$

因此

$$\sin\left(2\pi(2f_c+\Delta f)T\right) = \sin(4\pi n+2\pi\Delta fT) = \sin(2\pi\Delta fT)$$

令

$$x=\Delta fT$$

則

核心觀念

本題考查「脈衝成形數位訊號的功率頻譜密度」。

訊號為

$$V(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}A_n g(t-nT_s),$$

其中：

• $A_n$：複數資訊符號序列；
• $g(t)$：傳輸濾波器的脈衝響應；
• $G(f)$：$g(t)$ 的傅立葉轉換；
• $T_s$：符號週期。

對於符號序列，題目給定

$$E[A_n]=0$$

以及

$$E[A_mA_{n+m}^*]=\delta_{n,0}.$$

因此符號序列的自相關函數為

$$R_A[n]=\delta_{n,0},$$

表示不同時間的符號彼此不相關，且每個符號的平均功率為

$$E[|A_n|^2]=1.$$

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解題方法與推導

1. 符號序列的離散時間功率頻譜密度

離散時間功率頻譜密度為自相關函數的傅立葉轉換：

$$S_A(e^{j\omega}) =\sum_{k=-\infty}^{\infty}R_A[k]e^{-j\omega k}.$$

由於

$$R_A[k]=\delta_{k,0},$$

所以

$$S_A(e^{j\omega}) =\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta_{k,0}e^{-j\omega k} =1.$$

因此，符號序列具有平坦的功率頻譜。

2. 經過脈衝成形濾波器後的功率頻譜密度

對於週期為 $T_s$ 的符號序列，連續時間等效基頻訊號的功率頻譜密度為

$$S_V(f) = \frac{1}{T_s} S_A\left(e^{j2\pi fT_s}\right) |G(f)|^2.$$

代入

$$S_A\left(e^{j2\pi fT_s}\right)=1,$$

得到

$$\boxed{ S_V(f)=\frac{1}{T_s}|G(f)|^2 }.$$

其中 $|G(f)|^2$ 來自傳輸濾波器的功率增益，而 $\frac{1}{T_s}$ 則是符號速率造成的功率頻譜密度尺度因子。

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選項分析

此題比較了三種二元調變技術（BPSK, BFSK, OOK）在同等信噪比（SNR）下的效能。效能通常指的是其錯誤機率。在相干偵測（coherent detection）下，我們需要比較它們的錯誤機率公式。

假設：

• 符號時間長度為 $T$。
• 訊號能量為 $E_b$（對於 BPSK 和 OOK）或 $2E_b$（對於 BFSK，因為需要兩個頻率）。
• 雜訊是零均值高斯白雜訊，功率譜密度為 $N_0/2$。
• SNR 通常指 $E_b/N_0$。

1. BPSK (Binary Phase Shift Keying):
   訊號形式為 $s_1(t) = \sqrt{2E_b/T} \cos(2\pi f_c t)$ 代表 bit '1'，$s_2(t) = -\sqrt{2E_b/T} \cos(2\pi f_c t)$ 代表 bit '0'。
   在相干偵測下，其錯誤機率 $P_e$ 為：
   $P_e(\text{BPSK}) = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$
   其中 $Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty e^{-t^2/2} dt$。

2. BFSK (Binary Frequency Shift Keying):
   訊號形式為 $s_1(t) = \sqrt{2E_s/T} \cos(2\pi (f_c + \Delta f) t)$ 代表 bit '1'，$s_2(t) = \sqrt{2E_s/T} \cos(2\pi (f_c - \Delta f) t)$ 代表 bit '0'。
   這裡 $E_s$ 是每個符號的能量。如果我們定義 $E_b$ 為每個 bit 的能量，對於 BFSK，由於兩個頻率代表一個 bit，所以通常 $E_s = E_b$（如果 $T$ 是 bit duration）。
   然而，BFSK 的錯誤機率取決於頻率間隔 $2\Delta f$。

   • 非相干 BFSK 的錯誤機率為 $P_e = \frac{1}{2} e^{-E_b/N_0}$。
   • 相干 BFSK 的錯誤機率：如果兩個頻率正交（即 $2\Delta f = k/(2T)$，且 $T$ 是符號時間），則其效能與 BPSK 相同。但如果頻率差異很小，則兩個訊號的相關性會增加，導致錯誤機率惡化。
     通常，當比較 BFSK 和 BPSK 時，會假設 BFSK 的頻率偏移足夠大，以至於兩個訊號可以被視為近似正交。
     如果我們假設 BFSK 使用兩個獨立的接收器，或者頻率間隔足夠大，使得兩個訊號的相關性很小，那麼其錯誤機率與 BPSK 相似，但是通常 BFSK 的效能會比 BPSK 差，因為它需要更多的頻寬。
     如果 BFSK 的兩個訊號是正交的，其錯誤機率為 $P_e(\text{Orthogonal BFSK}) = Q\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right)$。
     如果 BFSK 的兩個訊號不完全正交，則效能更差。
     比較 $Q\left(\sqrt{2E_b/N_0}\right)$ 和 $Q\left(\sqrt{E_b/N_0}\right)$，由於 $Q(x)$ 是遞減函數，$\sqrt{2E_b/N_0} > \sqrt{E_b/N_0}$，所以 $Q\left(\sqrt{2E_b/N_0}\right) < Q\left(\sqrt{E_b/N_0}\right)$。這意味著 BPSK 的錯誤機率更低。

3. OOK (On-Off Keying):
   訊號形式為 $s_1(t) = \sqrt{2E_b/T} \cos(2\pi f_c t)$ 代表 bit '1'，

此題考驗對調變技術中，頻率調變 (FM) 和相位調變 (PM) 的關係與等效電路的理解。

調變的基本輸出訊號形式為：
$s(t) = A \cos(2\pi f_c t + \phi(t))$

1. 相位調變 (Phase Modulation, PM):
   相位 $\phi(t)$ 與基頻訊號 $m(t)$ 成正比：
   $\phi(t) = K_p m(t)$，其中 $K_p$ 是相位靈敏度。
   PM 訊號：$s_{PM}(t) = A \cos(2\pi f_c t + K_p m(t))$。
   PM 訊號的瞬時頻率為：
   $f_i(t) = f_c + \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi(t)}{dt} = f_c + \frac{K_p}{2\pi} \frac{dm(t)}{dt}$。

2. 頻率調變 (Frequency Modulation, FM):
   瞬時頻率 $f_i(t)$ 與基頻訊號 $m(t)$ 成正比：
   $f_i(t) = f_c + K_f m(t)$，其中 $K_f$ 是頻率靈敏度。
   PM 訊號的相位為：
   $\phi(t) = 2\pi \int_{-\infty}^t f_i(\tau) d\tau - 2\pi f_c t$
   $\phi(t) = 2\pi \int_{-\infty}^t (f_c + K_f m(\tau)) d\tau - 2\pi f_c t$
   $\phi(t) = 2\pi f_c t + 2\pi K_f \int_{-\infty}^t m(\tau) d\tau - 2\pi f_c t$
   $\phi(t) = 2\pi K_f \int_{-\infty}^t m(\tau) d\tau$
   FM 訊號：$s_{FM}(t) = A \cos\left(2\pi f_c t + 2\pi K_f \int_{-\infty}^t m(\tau) d\tau\right)$。

從上述定義可以看出：

• FM 訊號的相位是基頻訊號 $m(t)$ 的積分。
• PM 訊號的相位直接與基頻訊號 $m(t)$ 成正比。
• PM 訊號的瞬時頻率是基頻訊號 $m(t)$ 的微分。

現在我們分析選項：

a) An FM modulator is equivalent to a differentiator followed by a PM modulator.

• FM 的相位是 $m(t)$ 的積分。PM 的相位是 $K_p m(t)$。
• 如果我們對 PM 訊號進行微分，會得到 $f_c + \frac{K_p}{2\pi} \frac{dm(t)}{dt}$。
• 如果我們有一個 PM 調變器，其輸出相位是 $\phi_{PM}(t)$。對其進行微分，得到瞬時頻率 $f_c + \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi_{PM}(t)}{dt}$。
• 如果我們對基頻訊號 $m(t)$ 先微分，得到 $m'(t)$，然後用 $m'(t)$ 作為 PM 調變器的輸入，即 $\phi_{PM}(t) = K_p m'(t)$。則輸出訊號的相位是 $K_p m'(t)$。這不是 FM。
• 因此，a) 錯誤。

b) A PM modulator is equivalent to an integrator followed by an FM modulator.

• FM 的相位是 $K_f \int m(t) dt$。
• PM 的相位是 $K_p m(t)$。
• 如果我們對 FM 訊號進行積分，會得到一個與相位調變有關的訊號，但不是直接的等效。

反假名濾波器（Anti-aliasing filter）是在訊號取樣（sampling）之前，用來防止假名效應（aliasing effect）發生的濾波器。假名效應是指當訊號的頻率成分高於奈奎斯特頻率（Nyquist frequency，為取樣頻率的一半）時，在高頻訊號會被錯誤地解釋為較低的頻率成分，出現在取樣後的訊號中。

反假名濾波器的主要功能是：

1. 濾除高於奈奎斯特頻率的訊號成分：這確保了取樣後的訊號只能包含奈奎斯特頻率以下的頻率成分。
2. 保留訊號的有用頻帶：它不應該過度衰減取樣頻率以下、我們感興趣的訊號成分。

基於這個功能，我們可以分析各個選項：

a) The anti-aliasing filter is a high pass filter to remove the in-band noise.

• 錯誤。反假名濾波器主要關注的是濾除取樣頻率一半以上的高頻成分，而不是僅僅移除帶內雜訊。高通濾波器是為了濾除低頻雜訊，而反假名濾波器是為了防止高頻訊號造成假名效應。

b) The anti-aliasing filter is a combination of non-aliasing high-pass and low-pass filters.

• 錯誤。

此題考驗訊號重建（訊號重構）的原理，特別是與取樣定理（Sampling Theorem）的關聯。給定的取樣訊號是 $g_s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} g(nT_s)\delta(t-nT_s)$，這表示原始連續訊號 $g(t)$ 在時間點 $nT_s$ 被取樣，並將取樣值 $g(nT_s)$ 作為一個衝量（delta function）的強度。

根據奈奎斯特-香農取樣定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），一個頻寬受限的訊號 $g(t)$（其頻譜 $G(f)$ 在 $|f| > B$ 時為零）可以被精確地重建，條件是取樣頻率 $f_s = 1/T_s$ 必須大於或等於其頻寬的兩倍，即 $f_s \ge 2B$（奈奎斯特速率）。

重建的過程通常是將取樣訊號 $g_s(t)$ 通過一個理想的低通濾波器（LPF），其截止頻率設置在奈奎斯特頻率 $f_N = f_s/2$。這個低通濾波器會將取樣訊號中的高頻成分（由假名效應產生，如果取樣頻率不足）濾除，並將原始訊號的頻譜成分恢復。

重建公式為：
$g(t) = g_s(t) * h_{LPF}(t)$
其中 $h_{LPF}(t)$ 是低通濾波器的脈衝響應，其傅立葉轉換為 $H_{LPF}(f)$。
理想低通濾波器的頻率響應為：
$H_{LPF}(f) = \begin{cases} T_s & \text{if } |f| \le f_s/2 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$
（乘以 $T_s$ 是為了補償取樣過程中的能量損失，確保總能量守恆，或者說，使得重建訊號的幅度正確）。

現在我們分析選項：

a) The original signal may be reconstructed by passing the sampled signal through an envelope detector.

• 錯誤。

此題考驗隨機變數的統計特性，特別是期望值和方差的計算。我們需要計算一個新的隨機變數 $Y_n = X_n + X_{n-1}$ 的方差。

已知：

• $X_n$ 是一個定常隨機過程。
• $E[X_n] = 0$ 對於所有 $n$。
• $Var(X_n) = E[X_n^2] - (E[X_n])^2 = \sigma^2$。由於 $E[X_n] = 0$，所以 $E[X_n^2] = \sigma^2$。
• 相鄰兩個隨機變數的相關性 $E[X_n X_{n-1}] = a > 0$。
• 由於是定常過程，所以 $E[X_n X_{n-1}] = E[X_k X_{k-1}]$ 對於任何 $k$ 都相同。
• 同樣地，由於是定常過程，$E[X_n^2] = \sigma^2$ 對於任何 $n$ 都相同。

我們需要計算 $Var(Y_n)$。
$Var(Y_n) = Var(X_n + X_{n-1})$

對於兩個隨機變數 $U$ 和 $V$，其和的方差為：
$Var(U+V) = Var(U) + Var(V) + 2 Cov(U, V)$
其中 $Cov(U, V) = E[(U - E[U])(V - E[V])]$。

核心觀念

本題考查「脈衝振幅調變（PAM）」的頻域表示，以及以下兩個傅立葉轉換性質：

1. 時域摺積對應頻域相乘：
   $x(t)*h(t)\ \xleftrightarrow{\mathcal{F}}\ X(f)H(f)$

2. 連續時間訊號以週期 $T_s$ 取樣後，其頻譜會以取樣頻率
   $f_s=\frac{1}{T_s}$
   為週期重複。

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解題方法與推導

題目給定

$$s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}m(nT_s)h(t-nT_s)$$

先定義加權脈衝列

$$p(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}m(nT_s)\delta(t-nT_s)$$

由於脈衝函數的篩選性質，

$$p(t)*h(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}m(nT_s)\delta(t-nT_s)*h(t)$$

而

$$\delta(t-nT_s)*h(t)=h(t-nT_s)$$

因此

$$s(t)=p(t)*h(t)$$

所以在頻域中，

$$S(f)=P(f)H(f)$$

接著求 $P(f)$。由傅立葉轉換定義，

$$P(f) = \mathcal{F}\left\{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}m(nT_s)\delta(t-nT_s) \right\}$$

可得

$$P(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}m(nT_s)e^{-j2\pi fnT_s}$$

根據取樣定理的頻域形式，

$$P(f) = \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} M\left(f-\frac{k}{T_s}\right)$$

因此

$$S(f) = \frac{1}{T_s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} M\left(f-\frac{k}{T_s}\right)H(f)$$

故正確選項為 a。

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選項分析

(a)

此題要求設計一個二元通訊系統的最佳接收機。最佳接收機通常指最大概似接收機（Maximum Likelihood Receiver）或最小錯誤機率接收機。在假設訊號能量相等、雜訊為零均值高斯白雜訊且具有固定功率譜密度 $N_0/2$ 的情況下，最大概似接收機是最優的。

接收訊號模型為 $r(t) = s_i(t) + n(t)$，其中 $i \in \{1, 2\}$ 對應於傳送的 bit "0" 或 "1"，且 $P(s_1) = P(s_2) = 1/2$。$n(t)$ 是零均值高斯白雜訊，功率譜密度為 $N_0/2$。

根據最大概似準則，接收機應選擇使得條件機率 $p(r(t) | s_i(t))$ 最大的那個訊號 $s_i(t)$。由於雜訊是高斯白雜訊，條件機率密度函數與訊號的能量和雜訊功率譜密度有關。

對於連續時間訊號，最大概似接收機的決策基於比較兩個後驗機率（或其對數）的大小。在這種情況下，決策規則可以簡化為比較兩個相關量的大小。

最佳接收機的設計可以基於匹配濾波器（Matched Filter）的概念。匹配濾波器能夠最大化輸出信噪比（SNR）。

接收機的設計步驟如下：

1. 定義訊號空間和基底函數：
   訊號 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 屬於同一個訊號空間。由於它們的能量相等，我們可以假設它們是定義在一個單一維度的空間上，或者使用一個合適的基底函數來表示。
   最常見的方法是使用其中一個訊號作為基底，或者找到一個正交基底。
   由於 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 用來代表 bit "0" 和 "1"，它們是不同的訊號。

2. 設計匹配濾波器：
   對於接收訊號 $r(t)$，我們可以使用兩個匹配濾波器，一個是與 $s_1(t)$ 匹配，另一個是與 $s_2(t)$ 匹配。
   或者，更有效率的方法是，使用一個單一的匹配濾波器，然後計算其輸出與 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的相關性。

   考慮一個匹配濾波器，其脈衝響應為 $h_m(t) = s_1(T-t)$ （假設 $s_1(t)$ 在 $[0, T)$ 之外為零）。
   然而，更通用且適用於二元系統的方法是：
   選擇一個決策變數，它能最大化區分 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$。
   由於雜訊是高斯白雜訊，我們可以將接收訊號 $r(t)$ 在一個正交基底 $\{ \phi_j(t) \}$ 上投影。
   由於只有兩個訊號，我們可以選擇一個單一的基底函數 $\phi_1(t)$。

   一個簡化的方法是，我們需要計算接收訊號 $r(t)$ 與訊號 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的相關性。
   令決策變數為：
   $d_1 = \int_0^T r(t) s_1(t) dt$
   $d_2 = \int_0^T r(t) s_2(t) dt$

   但是，這兩個訊號 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 之間的關係（例如它們是否正交）會影響最佳接收機的設計。
   題目沒有說明 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 是否正交。
   但如果我們設計一個通用接收機，它應該能夠處理任意的二元訊號對。

   最大概似接收機的決策規則：
   比較兩個後驗機率 $P(s_1 | r(t))$ 和 $P(s_2 | r(t))$。
   由於 $P(s_1) = P(s_2)$，這等價於比較 $p(r(t) | s_1)$ 和 $p(r(t) | s_2)$。
   對於高斯白雜訊，這又等價於比較：
   $\int_0^T (r(t) - s_1(t))^2 dt$ 和 $\int_0^T (r(t) - s_2(t))^2 dt$ 的大小。
   選擇使該積分值較小的訊號。

   展開積分：
   $\int_0^T (r(t) - s_1(t))^2 dt = \int_0^T r^2(t) dt - 2 \int_0^T r(t) s_1(t) dt + \int_0^T s_1^2(t) dt$
   $\int_0^T (r(t) - s_2(t))^2 dt = \int_0^T r^2(t) dt - 2 \int_0^T r(t) s_2(t) dt + \int_0^T s_2^2(t) dt$

   由於 $\int_0^T s_1^2(t) dt = E$ 且 $\int_0^T s_2^2(t) dt = E$，這兩項是相等的。
   所以，比較這兩個積分值等價於比較：
   $-2 \int_0^T r(t) s_1(t) dt + E$ 和 $-2 \int_0^T r(t) s_2(t) dt + E$。
   這又等價於比較：
   $- \int_0^T r(t) s_1(t) dt$ 和 $- \int_0^T r(t) s_2(t) dt$。
   或者，比較：
   $\int_0^T r(t) s_1(t) dt$ 和 $\int_0^T r(t) s_2(t) dt$。

   決策規則：

   • 如果 $\int_0^T r(t) s_1(t) dt > \int_0^T r(t) s_2(t) dt$，則判斷傳送了 $s_1(t)$ (bit "1")。
   • 如果 $\int_0^T r(t) s_1(t) dt < \int_0^T r(t) s_2(t) dt$，則判斷傳送了 $s_2(t)$ (bit "0")。
   • 如果相等，則隨機選擇。

   接收機結構：
   最佳接收機可以實現如下：

   1. 接收輸入訊號 $r(t)$。
   2. 計算兩個相關量（或決策變數）：
      • $d_1 = \int_0^T r(t) s_1(t) dt$
      • $d_2 = \int_0^T r(t) s_2(t) dt$
   3. 比較 $d_1$ 和 $d_2$。
   4. 如果 $d_1 > d_2$，輸出 bit "1"。
   5. 如果 $d_1 < d_2$，輸出 bit "0"。

   使用匹配濾波器實現：
   我們可以設計一個匹配濾波器，其脈衝響應為 $h(t) = s_1(t)$（假設 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 之間有某種關係，例如正交或近似正交）。

核心觀念

本題考查 AWGN 通道下，等機率二元訊號的最佳接收與位元錯誤率。最佳接收器等價於：

• 最大概似接收器（Maximum Likelihood Receiver）
• 最小歐氏距離判決器
• 以差異訊號 $s_1(t)-s_2(t)$ 為基底的相關器／匹配濾波器

定義訊號內積為

$$\langle s_i,s_j\rangle = \int_0^T s_i(t)s_j(t)\,dt$$

令

$$R_{12}=\langle s_1,s_2\rangle = \int_0^T s_1(t)s_2(t)\,dt$$

由於兩訊號能量相同，

$$\|s_1\|^2=\|s_2\|^2=E$$

兩訊號間的平方距離為

$$d^2=\|s_1-s_2\|^2 =2E-2R_{12}$$

最佳二元 AWGN 接收器的錯誤率為

$$P_b=Q\left(\frac{d}{\sqrt{2N_0}}\right)$$

其中

$$Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^\infty e^{-u^2/2}\,du$$

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解題方法

令差異訊號為

$$d(t)=s_1(t)-s_2(t)$$

最佳接收器計算統計量

$$z=\int_0^T r(t)d(t)\,dt \;=\; \langle r,d\rangle$$

因為兩訊號等機率且能量相同，最佳判決門檻為 $0$：

• $z>0$，判定傳送 $s_1(t)$，即位元 $0$
• $z<0$，判定傳送 $s_2(t)$，即位元 $1$

假設實際傳送 $s_1(t)$，則

$$z=\langle s_1+n,s_1-s_2\rangle$$

其平均值為

$$\begin{aligned} \mu_1 &=\langle s_1,s_1-s_2\rangle\\ &=\langle s_1,s_1\rangle-\langle s_1,s_2\rangle\\ &=E-R_{12} \end{aligned}$$

白高斯雜訊通過相關器後仍為高斯隨機變數，其變異數為

$$\sigma_z^2 = \frac{N_0}{2}\|s_1-s_2\|^2 = \frac{N_0}{2}d^2$$

因此，傳送 $s_1(t)$ 時的錯誤事件為 $z<0$，其機率為

此題要求找出在給定訊號能量 $E$ 和雜訊功率譜密度 $N_0/2$ 的情況下，何種條件下接收機的效能最佳。接收機的效能通常由位元錯誤機率（BER）來衡量，效能最佳意味著 BER 最低。

最佳接收機的決策規則是比較兩個決策變數 $d_1 = \int_0^T r(t) s_1(t) dt$ 和 $d_2 = \int_0^T r(t) s_2(t) dt$。
該接收機的位元錯誤機率為 $P_e = Q\left(\sqrt{\frac{E(1 - \rho_{12})}{N_0}}\right)$，其中 $\rho_{12} = \frac{\int_0^T s_1(t) s_2(t) dt}{E}$ 是歸一化的訊號相關係數。

為了使 $P_e$ 最小，我們需要最大化 $Q$ 函數的參數，也就是最大化 $\sqrt{\frac{E(1 - \rho_{12})}{N_0}}$。
由於 $E$ 和 $N_0$ 是給定的常數，我們需要最大化 $1 - \rho_{12}$。
最大化 $1 - \rho_{12}$ 等價於最小化 $\rho_{12}$。

$\rho_{12}$ 的值範圍取決於 $s_1(t)$ 和 $s_2(t)$ 的相關性。
根據科西-史瓦茲不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），對於兩個函數 $f(t)$ 和 $g(t)$，有：
$\left| \int f(t)g(t)dt \right|^2 \le \left( \int f^2(t)dt \right) \left( \int g^2(t)dt \right)$。
將 $f(t) = s_1(t)$ 和 $g(t) = s_2(t)$ 代入：
$\left| \int_0^T s_1(t)s_2(t)dt \right|^2 \le \left( \int_0^T s_1^2(t)dt \right) \left( \int_0^T s_2^2(t)dt \right)$