109 年 國立中正大學電機工程學系碩士班電力與電能處理乙組《電力系統》

核心觀念

本題為二匯流排系統的牛頓–拉佛森法潮流計算：

• Bus One 為平衡匯流排（Slack Bus）：
  $V_1=1\angle 0^\circ\ \text{pu}$
• Bus Two 為負載匯流排（PQ Bus）。
• 基準容量：
  $S_{\text{Base}}=100\ \text{MVA}$
• Bus Two 負載為 $200\ \text{MW}+j100\ \text{Mvar}$，因此以負載消耗為負注入功率：
  $P_2^{\text{spec}}=-\frac{200}{100}=-2\ \text{pu}$
  $Q_2^{\text{spec}}=-\frac{100}{100}=-1\ \text{pu}$

未知量為 Bus Two 的電壓相角 $\delta_2$ 與電壓幅值 $V_2$。

建立導納矩陣

線路阻抗為

$$Z_{12}=j0.1\ \text{pu}$$

因此線路導納為

$$y_{12}=\frac{1}{j0.1}=-j10$$

二匯流排導納矩陣為

$$Y_{\text{bus}} = \begin{bmatrix} -j10 & j10\\ j10 & -j10 \end{bmatrix}$$

令

$$V_2=V\angle\delta$$

其中 $V=V_2$、$\delta=\delta_2$。

功率方程式

由

$$S_2=P_2+jQ_2=V_2 I_2^*$$

可得 Bus Two 的功率方程式：

$$P_2=10V\sin\delta$$ $$Q_2=10V^2-10V\cos\delta$$

因此非線性方程式為

$$10V\sin\delta=-2$$ $$10V^2-10V\cos\delta=-1$$

牛頓–拉佛森法

狀態向量取為

$$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} \delta\\ V \end{bmatrix}$$

功率不平衡量為

$$\Delta P=P_2^{\text{spec}}-P_2^{\text{calc}}$$ $$\Delta Q=Q_2^{\text{spec}}-Q_2^{\text{calc}}$$

雅可比矩陣為

$$\begin{bmatrix} \Delta P\\ \Delta Q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial P}{\partial\delta} & \dfrac{\partial P}{\partial V}\\[6pt] \dfrac{\partial Q}{\partial\delta} & \dfrac{\partial Q}{\partial V} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta\delta\\ \Delta V \end{bmatrix}$$

各元素為

$$\frac{\partial P}{\partial\delta}=10V\cos\delta$$ $$\frac{\partial P}{\partial V}=10\sin\delta$$

本題要求計算變壓器在不同基底下的標么值 (p.u. value) 以及其在實際電阻單位 (ohms) 中的值。

核心觀念：

1. 標么值轉換 (Per-unit conversion)： 標么值是將電壓、電流、功率、阻抗等物理量與選定的基底值之比。當基底值改變時，標么值也需要進行轉換。
2. 阻抗單位轉換： 標么值阻抗與實際阻抗的關係式。

解題步驟：

第一部分：計算 100 MVA 基底下的標么值

1. 已知參數：

   • 變壓器額定容量：$S_{rated} = 350$ MVA
   • 變壓器額定電壓：高壓側 $V_{H} = 230$ kV，低壓側 $V_{L} = 20$ kV
   • 漏電抗：$X_{leak} = 10\% = 0.1$ pu (此值是在變壓器額定容量 350 MVA 基底下的標么值)
   • 新的基底容量：$S_{base\_new} = 100$ MVA

2. 標么值轉換公式：
   當基底容量改變時，標么值的轉換公式為：
   $X_{pu\_new} = X_{pu\_old} \times \frac{S_{base\_new}}{S_{base\_old}}$
   其中，$X_{pu\_new}$ 是新的標么值，$X_{pu\_old}$ 是舊的標么值，$S_{base\_new}$ 是新的基底容量，$S_{base\_old}$ 是舊的基底容量。

3. 計算新的標么值：

   • 舊的基底容量：$S_{base\_old} = 350$ MVA
   • 新的基底容量：$S_{base\_new} = 100$ MVA
   • 舊的標么值電抗：$X_{pu\_old} = 0.1$ pu

   $X_{pu\_new} = 0.1 \times \frac{100 \text{ MVA}}{350 \text{ MVA}} = 0.1 \times \frac{10}{35} = 0.1 \times \frac{2}{7} \approx 0.02857$ pu

第二部分：計算 230 kV 電壓下的實際阻抗值 (歐姆)

1. 標么值與實際阻抗的關係：
   對於阻抗 $Z$，其標么值 $Z_{pu}$ 與實際值 $Z_{\Omega}$ 的關係為：

電力系統狀態估計 (Power System State Estimation, PSSE) 是一種利用測量數據來估計電力系統當前運行狀態的技術。

核心觀念：
在實際的電力系統中，由於測量儀器的限制、通信延遲或儀器故障，不可能直接獲得所有系統狀態變數（如所有匯流排的電壓大小和相角）的精確值。狀態估計的目的是透過對系統中可用的、通常是冗餘的測量數據（如潮流、注入功率、電壓大小等）進行處理，以估計出最可能的系統狀態。

主要目的與作用：

1. 提供準確的系統狀態： 狀態估計的輸出是系統中所有匯流排的電壓大小和相角。這些資訊是後續應用（如安全分析、經濟調度、潮流控制等）的基礎。
2. 數據濾波與平滑： 它可以濾除測量中的隨機誤差，提供比原始測量更平滑、更一致的數據。
3. 檢測壞數據 (Bad Data Detection)： 狀態估計方法通常包含檢測和識別不準確或錯誤的測量數據（壞數據）的能力。這對於確保後續分析的可靠性至關重要。
4. 處理數據冗餘： 電力系統通常有比所需狀態變數更多的測量點（即數據冗餘）。狀態估計利用這種冗餘來提高估計的準確性和魯棒性。

基本原理：
狀態估計通常基於最小二乘法的原理。假設系統的運行狀態向量為 $\mathbf{x}$ (通常包含所有匯流排的電壓大小和相角)，測量向量為 $\mathbf{z}$。系統的潮流方程可以表示為一個函數 $\mathbf{h}(\mathbf{x})$，它將狀態變數映射到預期的測量值。

本題要求計算一個含有電阻、電感和兩個獨立電壓源的 RL 電路在穩態下的電流 $i(t)$。

核心觀念：
在穩態交流電路中，獨立電壓源產生的穩態響應是線性疊加的。對於穩態分析，我們可以使用相量法 (phasor method)。

解題步驟：

1. 穩態分析：
   在穩態下，電路中的所有正弦信號都處於穩態，即電壓和電流都是穩定的正弦波。電感器的阻抗為 $j\omega L$，電容器的阻抗為 $1/(j\omega C)$。在這個問題中，只有電感和電阻，以及兩個獨立的電壓源。

2. 獨立電壓源的疊加原理：
   由於電路是線性的，我們可以利用疊加原理來求解。分別計算每個獨立電壓源單獨作用時產生的電流，然後將它們相加得到總電流。

3. 計算第一個電壓源 $v_1(t) = 100 \cos(10t)$ V 作用下的電流：

   • 電壓源：$V_1 = 100 \cos(10t)$ V。其相量表示為 $V_1 = 100 \angle 0^\circ$ V。
   • 角頻率：$\omega_1 = 10$ rad/s。
   • 電感阻抗：$Z_L = j\omega_1 L = j(10)(1) = 10j \, \Omega$。
   • 電阻：$R = 10 \, \Omega$。
   • 電路總阻抗：$Z_{total1} = R + Z_L = 10 + 10j \, \Omega$。
   • 由疊加原理，當只有 $V_1$ 作用時，流過 $i(t)$ 的電流 $i_1(t)$ 的相量為：
     $I_1 = \frac{V_1}{Z_{total1}} = \frac{100 \angle 0^\circ}{10 + 10j} \, \text{A}$
     將分母轉換為極座標形式：$10 + 10j = \sqrt{10^2 + 10^2} \angle \arctan(\frac{10}{10}) = \sqrt{200} \angle 45^\circ = 10\sqrt{2} \angle 45^\circ$
     $I_1 = \frac{100 \angle 0^\circ}{10\sqrt{2} \angle 45^\circ} = \frac{100}{10\sqrt{2}} \angle (0^\circ - 45^\circ) = \frac{10}{\sqrt{2}} \angle -45^\circ = 5\sqrt{2} \angle -45^\circ \, \text{A}$
   • 將相量轉換回時域：
     $i_1(t) = 5\sqrt{2} \cos(10t - 45^\circ) \, \text{A}$

核心觀念

週期電壓波形的均方根值（RMS）定義為

$$V_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}v^2(t)\,dt}$$

其中 $T$ 為波形週期，$v(t)$ 為 Fig. 3 的瞬時電壓。

RMS 值代表此交流電壓所產生的熱效應，等效於大小為 $V_{\mathrm{rms}}$ 的直流電壓。

解題方法

若 Fig. 3 為分段常數波形，在一個週期內各段電壓分別為 $V_1,V_2,\ldots,V_n$，持續時間分別為 $\Delta t_1,\Delta t_2,\ldots,\Delta t_n$，則

$$T=\sum_{k=1}^{n}\Delta t_k$$

因此均方根值為

$$V_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{ V_1^2\Delta t_1+ V_2^2\Delta t_2+ \cdots+ V_n^2\Delta t_n }{T} }$$

若波形包含線性斜坡，必須在該區段使用積分：

核心觀念

短路容量由故障點的戴維寧等效阻抗決定：

$$S_{\mathrm{sc}}=\frac{V_{\mathrm{prefault}}^2}{|Z_{\mathrm{th}}|}$$

計算 $Z_{\mathrm{th}}$ 時，將獨立電壓源設為零，也就是短路發電機內部電勢；各發電機的電抗仍保留。圖中電抗以標么值表示。

解題方法

以 Bus 3 為故障點，將其餘網路化為對地等效電抗。依圖中電抗，節點導納矩陣可寫成：

$$Y_{\mathrm{bus}}=-j \begin{bmatrix} 8.75 & -1.25 & -2.5\\ -1.25 & 6.25 & -2.5\\ -2.5 & -2.5 & 5 \end{bmatrix}$$

令括號內矩陣為 $B$。由 $Z_{\mathrm{bus}}=Y_{\mathrm{bus}}^{-1}=jB^{-1}$，Bus 3 的戴維寧等效阻抗是 $Z_{\mathrm{th}}=Z_{33}$。消去 Bus 1、Bus 2 後，Bus 3 的等效導納係數為：

傳輸損耗 (Transmission Losses) 對經濟調度 (Economic Dispatch) 的影響主要體現在它會改變發電成本的計算方式，並可能導致系統無法達到全局最优的發電分配。

核心觀念：
經濟調度旨在以最低的總發電成本來滿足系統的負載需求。傳統的經濟調度模型通常忽略了輸電線路的損耗，假設發電機的輸出功率直接等於匯流排的注入功率。然而，在實際電力系統中，電力在傳輸過程中會因為線路的電阻而產生損耗，這意味著發電機需要產生比實際負載需求更多的功率才能克服這些損耗。

影響說明：

1. 增加總發電量需求： 輸電損耗 $P_{loss}$ 是實際負載 $P_D$ 和發電機總出力 $P_G$ 之間的差值：$P_{loss} = P_G - P_D$。因此，為了滿足負載 $P_D$，總發電量 $P_G$ 必須大於 $P_D$。這意味著需要調動更多的發電容量，從而可能增加總體燃料消耗和發電成本。

2. 影響發電機的成本函數： 經濟調度的目標是最小化總發電成本 $F_{total} = \sum_{i=1}^{N} F_i(P_{Gi})$。如果忽略損耗，我們可以直接根據每台發電機的成本函數來優化分配。然而，考慮到損耗，發電機的出力 $P_{Gi}$ 會影響到系統各處的電壓、潮流以及總損耗。

   • 傳統經濟調度 (Ignoring Losses)： 假設 $P_G = \sum P_{Gi} = P_D$。
   • 考慮損耗的經濟調度 (Loss-Aware Economic Dispatch)： 為了準確地進行經濟調度，需要考慮損耗。損耗通常是各發電機出力和系統狀態（電壓、潮流）的函數。一個常用的簡化模型是將損耗表示為各發電機出力的二次函數，即所謂的「損耗係數」(Loss Coefficients)。
     $P_{loss} = \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} B_{ij} P_{Gi} P_{Gj}$ (其中 $B_{ij}$ 是損耗係數)。
     此時，總發電量需滿足 $\sum_{i=1}^{N} P_{Gi} = P_D + P_{loss}$。
     最小化目標函數變為：$\min \sum F_i(P_{Gi})$，同時滿足 $\sum P_{Gi} = P_D + \sum_{i,j} B_{ij} P_{Gi} P_{Gj}$。

3. 影響發電機的邊際發電成本 (Marginal Cost)：
   在傳統經濟調度中，調度原則是使得所有發電機的邊際發電成本相等，即 $\lambda = \frac{dF_i}{dP_{Gi}}$。
   當考慮損耗時，這個原則會被修正。我們需要引入損耗的邊際效應。

臨界清除時間 (Critical Clearing Time, CCT) 是電力系統穩定性分析中的一個重要概念，特別是在暫態穩定性 (Transient Stability) 方面。

核心觀念：
暫態穩定性是指電力系統在受到大型擾動（如短路故障、發電機跳機等）後，能否在足夠短的時間內恢復到新的穩態運行點，而不會導致系統失步 (loss of synchronism) 的能力。臨界清除時間 CCT 就是指在發生故障後，能夠安全清除（隔離）該故障的最大時間。如果故障清除的時間超過 CCT，系統將會失去穩定性。

解釋：

1. 故障的影響： 當電力系統發生三相短路等嚴重故障時，會導致匯流排電壓急劇下降，發電機的轉矩平衡被打破，發電機的轉速會開始偏離同步速度（加速或減速）。
2. 穩定性判據： 系統的穩定性取決於發電機轉子角度的變化。在故障期間，如果發電機的轉子角度變化過大，系統就可能失步。
3. 清除故障： 電力系統通過斷路器 (circuit breaker) 等保護裝置來清除故障。故障的清除意味著將故障線路或設備從系統中隔離，從而恢復系統的正常運行。
4. 臨界清除時間 (CCT)：
   • CCT 是指在故障發生後，保護裝置（如斷路器）必須在該時間內動作，將故障清除，系統才能保持穩定的最大時間。
   • 如果故障在 CCT 內被清除，發電機的轉子角度變化將在可控範圍內，系統最終能夠恢復到一個新的穩態或接近原來的穩態。
   • 如果故障清除時間超過 CCT，即使故障被清除，發電機的轉子角度差也會持續增大，導致發電機之間失步，系統崩潰。