109 年 國立中正大學電機工程學系碩士班信號與媒體通訊組《電路學》

核心觀念

本題考查網目電流法，以及如何將受控電流源的控制量改寫成網目電流。三個網目電流 $I_1、I_2、I_3$ 均依圖示方向取順時針；共用電阻的支路電流，則由相鄰網目電流相減求得。

解題方法

左側菱形電流源的箭頭向上，與 $I_1$ 在左側支路的方向相同，因此

$V_x$ 標示在第二個頂部 $2\,\text{k}\Omega$ 電阻兩端，正端在左、負端在右；該電阻只有 $I_2$ 流過，故

代入受控電流源關係：

右側 $2\,\text{mA}$ 電流源方向向下，與順時針網目電流 $I_3$ 在右側支路的方向相同，因此

對中間網目順時針列 KVL。中間網目頂部電阻的壓降為 $2\,\text{k}\Omega I_2$；共用的左側垂直電阻，其向下電流為 $I_1-I_2$，所以沿中間網目的左側向上通過電阻時，電壓變化為 $2\,\text{k}\Omega(I_2-I_1)$。

核心觀念

理想運算放大器在線性負回授狀態下，滿足輸入端電流為零、正負輸入端電壓相等。若線性分析所需的輸出電壓超出電源軌，輸出會飽和，此時不能再使用虛短條件。

解題方法

先由上、下兩個運算放大器的負回授，求出反相端電壓，再用節點電流法求輸出。

上方運算放大器的正相端接 $V_1=6\text{ V}$，因此在線性區有

在 $V_r$ 節點套用 KCL：

下方運算放大器的正相端接 $V_2=2\text{ V}$，因此

代入上式：

在 $V_s$ 節點套用 KCL：

代入 $V_s=2\text{ V}$、$V_r=6\text{ V}$：

右側運算放大器的正相端電壓 $V_w$ 由 $V_y$ 經 $2\,\text{k}\Omega$ 與接地的 $6\,\text{k}\Omega$ 分壓得到：

核心觀念

本題考交流穩態下的戴維寧等效。先從 $5\,\Omega$ 負載端看進去，求出等效電壓 $V_{\text{Th}}$ 與等效阻抗 $Z_{\text{Th}}$，再用分壓求負載電壓。

角頻率為 $\omega=5\ \text{rad/s}$，因此電容與電感的阻抗為

解題方法

1. 求戴維寧電壓 $V_{\text{Th}}$

先移除 $5\,\Omega$ 負載。此時電感支路開路，電感電流為零，因此電感上的電壓降為零。負載端的開路電壓等於電容兩端電壓：

2. 求戴維寧阻抗 $Z_{\text{Th}}$

核心觀念

功率因數由有功功率 $P$ 與總視在功率 $S$ 決定；相位角為 $\phi$ 時，無功功率為 $Q=P\tan\phi$。滯後負載吸收無功功率，取 $Q>0$；電容提供超前無功功率，取 $Q<0$。

圖中三個相同電容分別接在三相線路與中性線之間，形成 Y 接。標示的 $24\,\text{kV rms}$ 是線間電壓，故每相電壓為 $V_{\phi}=V_{LL}/\sqrt{3}$。

解題方法

先求負載的有功與無功功率。負載視在功率為 $20\,\text{kVA}$，功率因數為 $0.75$ 滯後，因此

目標功率因數為 $0.98$ 超前，故目標相角的無功功率為負：

令電容器組提供的無功功率大小為 $Q_C$，則總無功功率為 $Q_L-Q_C$。要達成目標：

核心概念

1. 拉普拉斯反變換與時間延遲：
   • 若 $F(s)$ 的拉普拉斯反函數為 $f(t)$，則 $F(s)e^{-as}$ 之反函數為 $u(t-a)\,f(t-a)$（單位階躍函數 $u(t-a)$ 代表延遲 $a$ 秒）。
2. 部分分式分解：將有理函數拆成易於反變換的簡單項。
3. 初值與終值定理：
   • 初值：$\displaystyle f(0^+)=\lim_{s\to\infty}sF(s)$
   • 終值：$\displaystyle f(\infty)=\lim_{s\to0}sF(s)$（需滿足所有極的實部 $<0$，即系統穩定）。

(a) 求 $f_1(t)$

給定

$F_1(s)=\frac{(s+2)e^{-5s}}{s^{2}+5s+4}$

步驟 1 – 分解無延遲部分

先去除指數因子 $e^{-5s}$，只考慮

使用部分分式：

$\frac{s+2}{(s+1)(s+4)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+4}$

$s+2=A(s+4)+B(s+1)$

令 $s=-1$：$1=A\cdot3\ \Rightarrow\ A=\frac13$
令 $s=-4$：$-2=B\cdot(-3)\ \Rightarrow\ B=\frac23$

所以

$G(s)=\frac{1/3}{s+1}+\frac{2/3}{s+4}$

步驟 2 – 反變換

因此

$g(t)=\frac13 e^{-t}+\frac23 e^{-4t}$