114 年 國立中正大學電機工程學系碩士班電力與電能處理甲組《控制系統》

本題考查根軌跡（Root Locus）繪製與穩定性分析，以及勞斯-赫爾維茲（Routh-Hurwitz）穩定判準。

核心觀念：

1. 根軌跡（Root Locus）：描述閉迴路系統極點隨控制器增益 $K$ 變化的路徑。
2. 穩定性：系統穩定要求所有閉迴路極點均在複數平面的左半平面。
3. 勞斯-赫爾維茲穩定判準：一種代數方法，用於判斷閉迴路系統穩定的增益範圍。

解題步驟：

給定開迴路傳遞函數 $G(s) = \frac{K}{(s-1)(s^2+4s+7)}$，系統為單位回授（unity feedback）。
閉迴路傳遞函數為 $T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)}$。
閉迴路系統的特徵方程式為 $1+G(s) = 0$，即 $1 + \frac{K}{(s-1)(s^2+4s+7)} = 0$。
展開後得到：
$(s-1)(s^2+4s+7) + K = 0$
$s^3 + 4s^2 + 7s - s^2 - 4s - 7 + K = 0$
$s^3 + 3s^2 + 3s - 7 + K = 0$

(a) 根軌跡繪製與穩定性範圍

1. 開迴路極點 (Open-loop poles)：令 $G(s)$ 的分母為零，則 $K=0$ 時的極點為 $s=1$, $s^2+4s+7=0$。
   $s = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(7)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16-28}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-4 \pm 2j\sqrt{3}}{2} = -2 \pm j\sqrt{3}$。
   開迴路極點為 $p_1 = 1$, $p_2 = -2+j\sqrt{3}$, $p_3 = -2-j\sqrt{3}$。

2. 開迴路零點 (Open-loop zeros)：無。

3. 根軌跡起點與終點：根軌跡從 $K=0$ 時的極點開始，到 $K \to \infty$ 時的零點結束。此處無零點，故根軌跡終止於無限遠。

4. 實軸根軌跡：

   • 在 $s=1$ 的右側，有 1 個極點，無零點，總數為奇數，故 $s>1$ 的實軸是根軌跡的一部分。
   • 在 $s=1$ 和 $s=-2$ 之間，有 2 個極點，無零點，總數為偶數，故 $(-2, 1)$ 的實軸不是根軌跡。
   • 在 $s=-2$ 的左側，有 3 個極點，無零點，總數為奇數，故 $s<-2$ 的實軸是根軌跡的一部分。
     根軌跡從 $s=1$ 開始向右延伸，從 $s=-2+j\sqrt{3}$ 和 $s=-2-j\sqrt{3}$ 開始的根軌跡將在實軸上方和下方延伸，並終止於無限遠。

5. 漸進行近線（Asymptotes）：

   • 漸進行近線數量 $n-m = 3-0 = 3$ 條。
   • 漸進行近線交點（質心）：$\sigma_a = \frac{\sum \text{real(poles)} - \sum \text{real(zeros)}}{n-m} = \frac{(1) + (-2) + (-2) - 0}{3} = \frac{-3}{3} = -1$。
   • 漸進行近線角度：$\theta = \frac{(2k+1)\pi}{n-m} = \frac{(2k+1)\pi}{3}$，對於 $k=0,1,2$。
     • $k=0$: $\theta_0 = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$
     • $k=1$: $\theta_1 = \frac{3\pi}{3} = \pi = 180^\circ$
     • $k=2$: $\theta_2 = \frac{5\pi}{3} = -60^\circ$
       漸進行近線有三條，分別與實軸夾角為 $60^\circ$, $180^\circ$, $-60^\circ$，交於點 $s=-1$。

6. 根軌跡與虛軸的交點：利用勞斯表。
   特徵方程式：$s^3 + 3s^2 + 3s + (K-7) = 0$
   勞斯表：

   $s^3$	1	3
   $s^2$	3	$K-7$
   $s^1$	$b_1$	0

本題考查單位回授系統在單位階躍響應下的參數設計與頻域響應分析。

核心觀念：

1. 二階系統暫態響應：單位回授系統的閉迴路傳遞函數形式與標準二階系統的關係。
2. 阻尼比（Damping Ratio, $\zeta$）：影響暫態響應的衰減程度。
3. 峰值時間（Peak Time, $t_p$）：響應第一次達到峰值所需的時間。
4. 共振峰值（Resonance Peak, $M_r$）：頻率響應中，在共振頻率下的最大增益。
5. 共振頻率（Resonance Frequency, $\omega_r$）：頻率響應中，共振峰值出現的頻率。

解題步驟：

給定開迴路傳遞函數 $G(s) = \frac{K}{s(s+6.54)}$，系統為單位回授。
閉迴路傳遞函數為 $T(s) = \frac{G(s)}{1+G(s)}$。
特徵方程式為 $1+G(s) = 0$。
$1 + \frac{K}{s(s+6.54)} = 0$
$s(s+6.54) + K = 0$
$s^2 + 6.54s + K = 0$

此為一標準二階系統的特徵方程式形式：$s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$。
比較係數：
$\omega_n^2 = K$
$2\zeta\omega_n = 6.54$

(a) 求 $K$ 值與峰值時間 $t_p$

已知阻尼比 $\zeta = 0.327$。
由 $2\zeta\omega_n = 6.54$，我們可以求出自然頻率 $\omega_n$：
$\omega_n = \frac{6.54}{2\zeta} = \frac{6.54}{2 \times 0.327} = \frac{6.54}{0.654} = 10 \text{ rad/s}$。

有了 $\omega_n$，我們可以求出 $K$：
$K = \omega_n^2 = (10)^2 = 100$。

接下來，求單位階躍輸入下的峰值時間 $t_p$。對於標準二階系統，峰值時間的公式為：
$t_p = \frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}$
代入 $\zeta = 0.327$ 和 $\omega_n = 10$：

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 拋物線輸入的穩態誤差常數
2. Nyquist 穩定判據
3. 相位裕度（phase margin, PM）

單位回授系統的開迴路傳遞函數為

$$G(s)=\frac{10(K_p+K_Ds)}{s^2}$$

系統含有兩個原點極點，因此為 Type 2 系統。對拋物線輸入，應使用加速度誤差常數

$$K_a=\lim_{s\to 0}s^2G(s)$$

相位裕度則在增益交越頻率 $\omega_{gc}$ 處計算：

$$\mathrm{PM}=180^\circ+\angle G(j\omega_{gc})$$

---

（a）求 $K_p$

拋物線誤差常數為

$$K_a=\lim_{s\to 0}s^2\frac{10(K_p+K_Ds)}{s^2}$$

因此

$$K_a=\lim_{s\to 0}10(K_p+K_Ds)=10K_p$$

題目要求 $K_a=100$，故

$$10K_p=100$$

得到

$$\boxed{K_p=10}$$

代回開迴路傳遞函數：

$$G(s)=\frac{10(10+K_Ds)}{s^2} =\frac{100}{s^2}+\frac{10K_D}{s}$$

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（b）利用 Nyquist 判據求穩定的 $K_D$ 範圍

1. 建立閉迴路特徵方程式

單位回授系統的閉迴路特徵方程式為

$$1+G(s)=0$$

代入

$$1+\frac{100+10K_Ds}{s^2}=0$$

整理得

$$s^2+10K_Ds+100=0$$

其特徵根為

$$s=-5K_D\pm\sqrt{25K_D^2-100}$$

要使系統穩定，二階特徵方程式

$$s^2+a_1s+a_0=0$$

必須滿足

$$a_1>0,\qquad a_0>0$$

本題中

$$a_1=10K_D,\qquad a_0=100$$

因此穩定條件為

$$10K_D>0$$

所以

$$\boxed{K_D>0}$$

2. Nyquist 圖的意義

將 $s=j\omega$ 代入開迴路傳遞函數：

$$G(j\omega) =\frac{100}{(j\omega)^2}+\frac{10K_D}{j\omega}$$

由於

$$\frac{100}{(j\omega)^2}=-\frac{100}{\omega^2}, \qquad \frac{10K_D}{j\omega}=-j\frac{10K_D}{\omega}$$

因此

$$G(j\omega) =-\frac{100}{\omega^2} -j\frac{10K_D}{\omega}$$

當 $K_D>0$ 時，正頻率的 Nyquist 曲線位於第三象限，且不會對 $-1+j0$ 產生使閉迴路不穩定的包圍；此時閉迴路極點皆位於左半平面。

當 $K_D=0$ 時，

$$s^2+100=0$$

極點位於虛軸上，系統為臨界穩定，不屬於漸近穩定。

當 $K_D<0$ 時，特徵方程式的一次項係數為負，會產生右半平面極點，系統不穩定。

故穩定範圍為

$$\boxed{0<K_D<\infty}$$

---

（c）求相位裕度為 $45^\circ$ 時的 $K_D$

1. 求開迴路相位

由

$$G(j\omega) =-\frac{100}{\omega^2} -j\frac{10K_D}{\omega}$$

可知其實部與虛部皆為負，因此位於第三象限。其相位為

$$\angle G(j\omega) =-180^\circ+ \tan^{-1}\left( \frac{10K_D/\omega}{100/\omega^2} \right)$$

化簡得

本題考查狀態空間（State-Space）表示法的系統分析，包括穩定性、可控性、可觀測性以及系統的響應計算。

核心觀念：

1. 狀態空間表示：用一階微分方程組描述系統動態。
2. 漸近穩定性（Asymptotic Stability）：無輸入時，系統狀態會收斂到零。
3. 有界輸入有界輸出（BIBO）穩定性：對於任何有界的輸入，輸出也必須有界。
4. 可控性（Controllability）：系統的狀態是否能被輸入完全控制。
5. 可觀測性（Observability）：系統的輸出是否能完全推斷其內部狀態。
6. 系統響應：在給定輸入和初始條件下，計算系統的輸出。

解題步驟：

給定的狀態空間方程為：
$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$
$y(t) = Cx(t) + Du(t)$

其中：
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix}$, $D = 0$。

(a) 系統穩定性分析

1. 漸近穩定性（Asymptotic Stability）：
   系統的漸近穩定性由矩陣 $A$ 的特徵值決定。特徵值必須全部位於複數平面的左半平面（實部為負）。
   計算 $A$ 的特徵值：
   $det(A - \lambda I) = 0$
   $det \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ 0 & -1-\lambda \end{bmatrix} = 0$
   $(-\lambda)(-1-\lambda) - (1)(0) = 0$
   $\lambda(1+\lambda) = 0$
   $\lambda^2 + \lambda = 0$
   $\lambda(\lambda+1) = 0$
   特徵值為 $\lambda_1 = 0$ 和 $\lambda_2 = -1$。

   由於存在一個特徵值 $\lambda_1 = 0$（實部為零），系統是邊界穩定（marginally stable），而不是漸近穩定。如果特徵值有正實部，則是不穩定的。

2. BIBO 穩定性：
   BIBO 穩定性由閉迴路傳遞函數的極點決定。對於狀態空間表示，傳遞函數 $T(s)$ 的極點是 $det(sI - A)$ 的根，即 $A$ 的特徵值。
   $T(s) = C(sI - A)^{-1}B + D$
   $sI - A = s \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 0 & s+1 \end{bmatrix}$
   $det(sI - A) = s(s+1) - (-1)(0) = s(s+1)$。
   傳遞函數的極點是 $s=0$ 和 $s=-1$。

   由於存在一個極點 $s=0$（位於虛軸上），系統是BIBO 不穩定（BIBO unstable）。嚴格來說，BIBO 穩定要求所有極點的實部都必須嚴格為負。

(b) 可控性與可觀測性

1. 可控性（Controllability）：
   可控性矩陣 $\mathcal{C} = [B \quad AB]$。
   $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
   $AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$
   $\mathcal{C} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$
   計算 $\det(\mathcal{C})$：
   $\det(\mathcal{C}) = (0)(-1) - (1)(1) = -1$。
   由於 $\det(\mathcal{C}) \neq 0$，矩陣 $\mathcal{C}$ 是滿秩的，因此系統是可控的（Controllable）。

2. 可觀測性（Observability）：
   可觀測性矩陣 $\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \end{bmatrix}$。
   $C = \begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix}$
   $CA = \begin{bmatrix} -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \end{bmatrix}$
   $\mathcal{O} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$
   計算 $\det(\mathcal{O})$：
   $\det(\mathcal{O}) = (-1)(-2) - (1)(0) = 2$。
   由於 $\det(\mathcal{O}) \neq 0$，矩陣 $\mathcal{O}$ 是滿秩的，因此系統是可觀測的（Observable）。

(c) 輸出 $y(t)$ 的計算