111 年 國立成功大學電機工程學系碩士班已組《線性代數》

核心觀念

本題綜合考查：

• 特徵多項式與特徵值的關係
• 行列式與平行六面體體積
• 行空間、列空間與正交補空間
• 相似矩陣及其多項式運算
• 正交投影與最佳逼近
• 正交集合與線性獨立
• 最小平方法與精確解

判斷是非題時，須直接對照定義、定理，並以公式或反例佐證。

---

(a)

判斷：False

核心觀念

若 $\lambda+5$ 是矩陣 $A$ 的特徵多項式之因式，則

$$\lambda+5=0$$

所對應的根為

$$\lambda=-5.$$

特徵多項式的根就是矩陣的特徵值。

選項分析

題目聲稱 $5$ 是 $A$ 的特徵值，但由 $\lambda+5=0$ 得到的特徵值是 $-5$，不是 $5$。

例如特徵多項式為

$$p_A(\lambda)=\lambda+5,$$

其唯一根為 $-5$。

解題技巧

看到因式 $\lambda-c$，特徵值就是 $c$；看到 $\lambda+c$，特徵值就是 $-c$。符號不可忽略。

---

(b)

判斷：False

核心觀念

三階矩陣 $A=[a_1\ a_2\ a_3]$ 的行列式代表由三個列向量所張成之平行六面體的「有向體積」：

$$\det A$$

但幾何上的體積必須為非負，因此實際體積為

$$\operatorname{Vol}=\left|\det A\right|.$$

選項分析

題目直接說 $\det A$ 等於體積，這不一定正確。

例如

$$A= \begin{bmatrix} 0&1&0\\ 1&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}.$$

此時

$$\det A=-1.$$

但平行六面體的體積為

$$|\det A|=1.$$

由於行列式可以為負，而體積不可能為負，因此原敘述錯誤。

解題技巧

• 行列式：有向體積，可正可負。
• 體積：幾何量，必須取絕對值。
• 若題目寫成 $\left|\det A\right|$ 等於體積，才是正確敘述。

---

(c)

判斷：False

核心觀念

對一般矩陣而言，行空間與列空間並不一定只在零向量相交。

若 $u$ 同時屬於 $A$ 的行空間與列空間，不能因此推出 $u=0$。

選項分析

取

$$A=I_n.$$

則

$$\operatorname{Row}(A)=\mathbb{R}^n, \qquad \operatorname{Col}(A)=\mathbb{R}^n.$$

因此任意非零向量，例如

$$u= \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix},$$

同時屬於行空間與列空間，但 $u\neq 0$。

所以原敘述為假。

題目後半段所附的敘述：

$A$ is diagonalizable if $A=PDP^{-1}$ for some matrix $D$ and some invertible matrix $P$.

若其中 $D$ 為對角矩陣，這是可對角化矩陣的標準定義；但它與前面的行空間、列空間敘述沒有直接關係。

解題技巧

不要把「行空間」與「零空間」混淆。正確且常用的關係是：

$$\operatorname{Row}(A)=\operatorname{Null}(A)^\perp.$$

題目談的是行空間與列空間，兩者沒有必然只交於零向量。

---

(d)

判斷：True

核心觀念

若 $A$ 相似於 $B$，則存在可逆矩陣 $P$ 使得

$$A=PBP^{-1}.$$

相似關係會保留矩陣多項式的形式，因此也會保留平方矩陣。

解題方法

由

$$A=PBP^{-1},$$

可得

$$A^2=(PBP^{-1})(PBP^{-1}).$$

利用 $P^{-1}P=I$：

$$A^2 =PB(P^{-1}P)BP^{-1} =PB^2P^{-1}.$$

因此 $A^2$ 與 $B^2$ 相似。

選項分析

題目敘述正符合上述推導，因此為真。

解題技巧

若 $A=PBP^{-1}$，則對任意正整數 $k$：

$$A^k=PB^kP^{-1}.$$

更一般地，對任意多項式 $q$：

$$q(A)=Pq(B)P^{-1}.$$

---

(e)

判斷：False

核心觀念

向量 $y$ 在子空間 $W$ 中的最佳逼近，是 $y$ 在 $W$ 上的正交投影：

$$\operatorname{proj}_W y.$$

而

$$y-\operatorname{proj}_W y$$

是逼近誤差，也就是垂直於 $W$ 的殘差向量，屬於 $W^\perp$。

選項分析

題目把最佳逼近寫成

核心觀念

• $n\times n$ 方陣才有定義良好的行列式。
• 矩陣乘冪可利用矩陣乘法與冪次法則計算；若矩陣滿足 $E^2=I$，則偶次方皆等於單位矩陣。

解題方法

(a) 判斷行列式是否有定義

題目所給矩陣為

$$A= \begin{pmatrix} 1&9&9&9\\ 9&0&0&5\\ 0&0&5&0\\ 9&0&3&9\\ 0&0&7&0 \end{pmatrix}.$$

此矩陣共有 $5$ 列、$4$ 欄，因此 $A$ 是 $5\times 4$ 矩形矩陣，而不是方陣。

行列式只對 $n\times n$ 方陣定義，所以

$$\det(A)$$

在題目目前所給的資料下不存在，無法計算數值。題目若原意是要求某個 $4\times4$ 子矩陣的行列式，則必須補充指定刪除哪一列；若原意是 $5\times5$ 矩陣，則必須補上缺少的欄。

(b) 求 $E^{2022}$

給定

$$E= \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&-1 \end{pmatrix}.$$

先計算 $E^2$：

本題考查 Gram-Schmidt 正交化過程以及向量在子空間上的投影。

(a) 使用 Gram-Schmidt 過程尋找子空間 $W$ 的一組正交基 $\{u_1, u_2\}$。
子空間 $W$ 由向量 $x_1$ 和 $x_2$ 張成。
Gram-Schmidt 過程如下：
令 $u_1 = x_1$。
$u_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$。

接下來，計算 $u_2$：
$u_2 = x_2 - \text{proj}_{u_1} x_2 = x_2 - \frac{x_2 \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1$。

計算點積：
$x_2 \cdot u_1 = (-1)(-1) + (3)(-2) + (-1)(0) = 1 - 6 + 0 = -5$。
$u_1 \cdot u_1 = (-1)^2 + (-2)^2 + 0^2 = 1 + 4 + 0 = 5$。

所以，
$u_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} - \frac{-5}{5} \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} - (-1) \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$
$u_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + (-1) \\ 3 + (-2) \\ -1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。

因此，子空間 $W$ 的一組正交基是 $\{u_1, u_2\} = \left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}$。

驗證 $u_1$ 和 $u_2$ 是否正交：
$u_1 \cdot u_2 = (-1)(-2) + (-2)(1) + (0)(-1) = 2 - 2 + 0 = 0$。
它們確實正交。

【答案】$u_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $u_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。

(b) 將向量 $y$ 分解為 $y = \hat{y} + z$，其中 $\hat{y} \in W$ 且 $z \in W^\perp$。
根據投影定理，向量 $y$ 在子空間 $W$ 上的投影 $\hat{y}$ 是 $y$ 在 $W$ 上的最佳近似。
$\hat{y} = \text{proj}_W y = \text{proj}_{u_1} y + \text{proj}_{u_2} y$。
其中 $u_1$ 和 $u_2$ 是從 (a) 部分得到的正交基。

計算 $\text{proj}_{u_1} y$：
$\text{proj}_{u_1} y = \frac{y \cdot u_1}{u_1 \cdot u_1} u_1$。

核心觀念

本題綜合考查：

• $LU$ 分解：利用消去法將矩陣寫成 $A=LU$。
• $QR$ 分解：以 Gram–Schmidt 正交化取得正交歸一基底。
• 對稱矩陣 $A^TA$ 的特徵值與特徵向量。
• Rayleigh quotient：二次型在固定長度下的最大值。
• 奇異值分解 $A=U\Sigma V^T$。
• 銷空間與欄空間的正交補。
• Moore–Penrose 廣義反矩陣 $A^+$。
• 最小平方法與正交投影。

令

$$A= \begin{pmatrix} 7&1\\ 0&0\\ 5&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1&a_2 \end{pmatrix},$$

其中

$$a_1= \begin{pmatrix} 7\\0\\5 \end{pmatrix}, \qquad a_2= \begin{pmatrix} 1\\0\\5 \end{pmatrix}.$$

---

(a) $LU$ 分解

以第一列第一個元素 $7$ 作為主元素，消去第三列第一欄：

$$m_{31}=\frac{5}{7}.$$

因此

$$R_3\leftarrow R_3-\frac57R_1,$$

得到

$$U= \begin{pmatrix} 7&1\\ 0&0\\ 0&\frac{30}{7} \end{pmatrix}.$$

將消去倍數放入下三角矩陣：

$$L= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ \frac57&0&1 \end{pmatrix}.$$

所以

$$\boxed{ A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ \frac57&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7&1\\ 0&0\\ 0&\frac{30}{7} \end{pmatrix} }$$

直接相乘即可驗證 $LU=A$。

---

(b) $QR$ 分解

第一步：求 $q_1$

$$\|a_1\|=\sqrt{7^2+5^2}=\sqrt{74},$$

因此

$$q_1=\frac{a_1}{\|a_1\|} = \frac1{\sqrt{74}} \begin{pmatrix} 7\\0\\5 \end{pmatrix}.$$

第二步：正交化 $a_2$

先計算投影係數：

$$q_1^Ta_2 = \frac{7+25}{\sqrt{74}} = \frac{32}{\sqrt{74}}.$$

因此

$$u_2=a_2-(q_1^Ta_2)q_1.$$

代入得

$$u_2= \begin{pmatrix} 1\\0\\5 \end{pmatrix} -\frac{32}{74} \begin{pmatrix} 7\\0\\5 \end{pmatrix} = \frac1{37} \begin{pmatrix} -75\\0\\105 \end{pmatrix}.$$

可提出公因數：

$$u_2=\frac{15}{37} \begin{pmatrix} -5\\0\\7 \end{pmatrix}.$$

而

$$\left\| \begin{pmatrix} -5\\0\\7 \end{pmatrix} \right\| =\sqrt{74},$$

所以

$$\|u_2\|=\frac{15\sqrt{74}}{37} =\frac{30}{\sqrt{74}}.$$

因此

$$q_2= \frac1{\sqrt{74}} \begin{pmatrix} -5\\0\\7 \end{pmatrix}.$$

取薄型 $Q$：

$$Q= \frac1{\sqrt{74}} \begin{pmatrix} 7&-5\\ 0&0\\ 5&7 \end{pmatrix}.$$

上三角矩陣 $R$ 的元素為

$$r_{11}=\sqrt{74},\qquad r_{12}=\frac{32}{\sqrt{74}},\qquad r_{22}=\frac{30}{\sqrt{74}}.$$

故

$$\boxed{ A= \frac1{\sqrt{74}} \begin{pmatrix} 7&-5\\ 0&0\\ 5&7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{74}&\frac{32}{\sqrt{74}}\\ 0&\frac{30}{\sqrt{74}} \end{pmatrix} }$$

即 $A=QR$。

---

(c) 對角化 $A^TA$

先計算：

$$A^TA= \begin{pmatrix} 7&0&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7&1\\ 0&0\\ 5&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 74&32\\ 32&26 \end{pmatrix}.$$

特徵方程式為

$$\det(A^TA-\lambda I) = \begin{vmatrix} 74-\lambda&32\\ 32&26-\lambda \end{vmatrix}.$$

因此

$$(74-\lambda)(26-\lambda)-32^2=0,$$ $$\lambda^2-100\lambda+900=0.$$

解得

$$\lambda_1=90,\qquad \lambda_2=10.$$

對應於 $\lambda_1=90$

$$(A^TA-90I)v=0$$

給出

$$-16x+32y=0,$$

所以可取特徵向量 $(2,1)^T$。單位化後：

$$v_1=\frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}.$$

對應於 $\lambda_2=10$

$$(A^TA-10I)v=0$$

給出

$$64x+32y=0,$$

所以可取特徵向量 $(1,-2)^T$。單位化後：

$$v_2=\frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}.$$

令

$$V= \frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} 2&1\\ 1&-2 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} 90&0\\ 0&10 \end{pmatrix}.$$

則

$$\boxed{ A^TA=VDV^T }$$

---

(d) 二次型的最大值

欲求

$$x^T(A^TA)x$$

在

$$x^Tx=5$$

下的最大值。

對稱矩陣 $A^TA$ 的最大特徵值為 $90$。由 Rayleigh quotient 定理：

$$\max_{x^Tx=5}x^T(A^TA)x = 5\lambda_{\max} = 5(90)=450.$$

最大值在最大特徵值所對應的特徵向量方向取得，因此可取單位向量

$$\boxed{ u=\frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} }$$

以及其相反方向 $-u$。

注意：題目的限制為 $x^Tx=5$，所以真正達到最大值的向量為

$$x=\sqrt5\,u= \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}$$

或其相反向量。

---

(e) $A$ 的奇異值分解

$A$ 的奇異值為 $A^TA$ 特徵值的平方根：

$$\sigma_1=\sqrt{90}=3\sqrt{10}, \qquad \sigma_2=\sqrt{10}.$$

右奇異向量為

$$v_1=\frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}, \qquad v_2=\frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix}.$$

求左奇異向量

由

$$u_i=\frac{Av_i}{\sigma_i}$$

可得

$$Av_1 = \frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} 15\\0\\15 \end{pmatrix},$$

所以

$$u_1= \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}.$$

同理，

$$Av_2 = \frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} 5\\0\\-5 \end{pmatrix},$$

所以

$$u_2= \frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}.$$

欄空間為所有第二個分量為 $0$ 的向量，因此可取

$$u_3= \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}.$$

令

$$U= \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}&0\\ 0&0&1\\ \frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}&0 \end{pmatrix},$$