111 年 國立成功大學電機工程學系碩士班乙組《控制系統》

本題考查根軌跡 (Root Locus) 的繪製與分析。根軌跡是分析閉迴路系統穩定性與暫態響應的重要工具，特別是在增益 $K$ 變化時。

核心觀念：

1. 根軌跡的定義：閉迴路系統的極點在開迴路傳遞函數 $KG(s)$ 的增益 $K$ 由 0 變到 $\infty$ 時的軌跡。
2. 根軌跡繪製規則：包含實軸上的根軌跡、漸近線、轉折點、虛軸交點、起點與終點角度、多重根等。
3. 穩定性分析：閉迴路系統穩定的條件是所有閉迴路極點都在複數平面的左半平面 (LHP)。

解題步驟：
首先，給定開迴路傳遞函數 $KG(s) = \frac{K(s+1)}{(s+25)(s-2)^2}$。閉迴路系統的特徵方程式為 $1+KG(s)=0$，即 $1 + \frac{K(s+1)}{(s+25)(s-2)^2} = 0$。
整理後得到：
$(s+25)(s-2)^2 + K(s+1) = 0$
$(s+25)(s^2 - 4s + 4) + K(s+1) = 0$
$s^3 - 4s^2 + 4s + 25s^2 - 100s + 100 + Ks + K = 0$
$s^3 + 21s^2 + (K-96)s + (100+K) = 0$

1. 開迴路極點與零點：

   • 零點：$z_1 = -1$
   • 極點：$p_1 = -25$, $p_2 = 2$, $p_3 = 2$ (為一重極點)
   • 有 1 個零點，3 個極點。根軌跡從極點開始，結束於零點或趨近於無限遠。
   • 根軌跡分支數量 = 極點數量 = 3。

2. 實軸上的根軌跡：

   • 在實軸上，我們需要找到使得 $KG(s)$ 為負實數（因為 $K \ge 0$）的區間。
   • 開迴路零、極點在實軸上為 -25, -1, 2。
   • 考慮區間：
     • $(-\infty, -25]$：$s$ 為負。$s+1$ 為負，$s+25$ 為負，$s-2$ 為負。$KG(s) = \frac{K(-)}{(-)(-)^2} = \frac{K(-)}{(-)} = K(+)$。此區間有根軌跡。
     • $[-25, -1]$：$s$ 為負。$s+1$ 為負，$s+25$ 為正，$s-2$ 為負。$KG(s) = \frac{K(-)}{(+)(-)^2} = \frac{K(-)}{(-)} = K(+)$。此區間有根軌跡。
     • $[-1, 2]$：$s$ 為負。$s+1$ 為正，$s+25$ 為正，$s-2$ 為負。$KG(s) = \frac{K(+)}{(+)(-)^2} = \frac{K(+)}{(-)} = K(-)$。此區間沒有根軌跡。
     • $[2, \infty)$：$s$ 為正。$s+1$ 為正，$s+25$ 為正，$s-2$ 為正。$KG(s) = \frac{K(+)}{(+)(+)^2} = \frac{K(+)}{(+)} = K(+)$。此區間有根軌跡。
   • 因此，實軸上的根軌跡分布在 $(-\infty, -1]$ 和 $[2, \infty)$。

3. 漸近線：

   • 漸近線數量 = (極點數量) - (零點數量) = 3 - 1 = 2。
   • 漸近線的交點 (質心)：$\sigma_a = \frac{\sum \text{極點} - \sum \text{零點}}{\text{極點數量} - \text{零點數量}} = \frac{(-25 + 2 + 2) - (-1)}{3-1} = \frac{-21 + 1}{2} = \frac{-20}{2} = -10$。
   • 漸近線的角度：$\theta_a = \frac{(2k+1)\pi}{p-z}$，其中 $p-z = 2$，$k = 0, 1$。
     • $k=0: \theta_{a1} = \frac{\pi}{2}$ (90度)。
     • $k=1: \theta_{a2} = \frac{3\pi}{2}$ (270度)。
   • 漸近線為通過點 $(-10, 0)$，角度為 $\pm 90^\circ$ 的垂直線。

4. 多重根的起點與終點角度：

   • 當根軌跡在實軸上發生轉折時，會形成多重根。
   • 對於重根 $p_2=2, p_3=2$，我們需要計算從 $s=2$ 出發的根軌跡分支的起點角度。
   • 對 $KG(s)$ 求導，令 $s=2$。
   • $KG(s) = \frac{K(s+1)}{(s+25)(s-2)^2}$
   • $\frac{d(KG(s))}{ds} = \frac{d}{ds} \left( \frac{K(s+1)}{(s+25)(s-2)^2} \right)$
   • 令 $G(s) = \frac{s+1}{(s+25)(s-2)^2}$。我們需要計算 $\angle G'(2)$。
   • $\ln G(s) = \ln(s+1) - \ln(s+25) - 2\ln(s-2)$
   • $\frac{G'(s)}{G(s)} = \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+25} - \frac{2}{s-2}$
   • $G'(s) = G(s) \left( \frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+25} - \frac{2}{s-2} \right)$
   • 當 $s \to 2$， $G(s) \to \infty$ 且 $\frac{2}{s-2} \to \infty$。
   • 更直接的方法是看 $s=2$ 的極點重數。因為 $s=2$ 是二重極點，根軌跡會從 $s=2$ 出發，然後分離成兩條軌跡，其角度為 $\pm \frac{\pi}{2}$。
   • 所以，從 $s=2$ 出發的根軌跡分支的角度為 $\pm 90^\circ$。

5. 虛軸交點：

   • 使用 Routh-Hurwitz 穩定性判別法。特徵方程式為 $s^3 + 21s^2 + (K-96)s + (100+K) = 0$。

   • Routh 表：

     $s^3$	1	$K-96$
     $s^2$	21	$100+K$
     $s^1$	$b_1$	0
     $s^0$	$c_1$	0

   • $b_1 = \frac{(21)(K-96) - (1)(100+K)}{21} = \frac{21K - 2016 - 100 - K}{21} = \frac{20K - 2116}{21}$

   • $c_1 = \frac{(b_1)(100+K) - (0)(0)}{b_1} = 100+K$

   • 為了使系統穩定，所有 $s^3, s^2, s^1, s^0$ 列的首項係數必須為正。

     • $s^3$ 列: $1 > 0$ (OK)
     • $s^2$ 列: $21 > 0$ (OK)
     • $s^0$ 列: $100+K > 0 \implies K > -100$。由於 $K \ge 0$，此條件自動滿足。
     • $s^1$ 列: $b_1 = \frac{20K - 2116}{21} > 0 \implies 20K - 2116 > 0 \implies 20K > 2116 \implies K > \frac{2116}{20} = \frac{529}{5} = 105.8$。

   • 系統穩定所需的 $K$ 的範圍是 $K > 105.8$。

   • 虛軸交點發生在 $s^1$ 列為零時，即 $b_1 = 0$。

   • $\frac{20K - 2116}{21} = 0 \implies 20K = 2116 \implies K = 105.8$。

   • 此時，對應的 $s$ 值為 $s^2$ 列的方程式：$21s^2 + (100+K) = 0$。

   • 將 $K=105.8$ 代入：$21s^2 + (100+105.8) = 0 \implies 21s^2 + 205.8 = 0$。

   • $s^2 = -\frac{205.8}{21} \approx -9.8$

   • $s = \pm j \sqrt{9.8} \approx \pm j3.13$。

   • 虛軸交點約在 $s = \pm j3.13$，對應的 $K = 105.8$。

6. 穩定範圍：

   • 為了使閉迴路系統穩定，所有閉迴路極點必須在左半平面。
   • 根據 Routh 準則，所有係數都必須為正，且 $s^1$ 列的係數 $b_1$ 必須為正。
   • $K > 0$ (給定條件)

核心觀念

本題使用 Nyquist 穩定判據。令開迴路傳遞函數為

$$L(s)=KG(s)=\frac{K(s+8)^2}{s^2}.$$

閉迴路特性方程為

$$1+L(s)=0.$$

由於開迴路在原點有二重極點，Nyquist 路徑依圖 1 在原點右側作小半圓凹入，以避開虛軸上的極點。

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Nyquist 圖形

令 $s=j\omega$，則

$$L(j\omega) =K\frac{(j\omega+8)^2}{(j\omega)^2}.$$

因為

$$(j\omega+8)^2=64-\omega^2+j16\omega, \qquad (j\omega)^2=-\omega^2,$$

所以

$$L(j\omega) =K\left(1-\frac{64}{\omega^2}\right) -j\frac{16K}{\omega}.$$

因此 Nyquist 軌跡的實部與虛部為

$$x=K-\frac{64K}{\omega^2}, \qquad y=-\frac{16K}{\omega}.$$

消去 $\omega$：

$$y^2=4K(K-x).$$

當 $K>0$ 時，這是一條頂點為 $(K,0)$、開口向左的拋物線。正頻率部分位於下半平面，負頻率部分則為其上半平面的鏡像。

當 $\omega\to 0$ 時，

$$L(j\omega)\to\infty,$$

而當 $\omega\to\infty$ 時，

核心觀念

本題考查以節點分析法求電路的轉移函數。令各元件初始能量為零，在 $s$ 域中：

• $1\,\Omega$ 電阻：導納 $Y_R=1$
• $1\,\mathrm{H}$ 電感：阻抗 $s$，導納 $Y_L=\dfrac{1}{s}$
• $1\,\mathrm{F}$ 電容：導納 $Y_C=s$

由圖可知，左側輸入電壓源上端節點電壓為 $V_i(s)$，中間節點設為 $V_1(s)$，輸出節點電壓為 $V_o(s)$。

節點方程式

對中間節點 $V_1$ 套用 KCL：

$$\frac{V_1-V_i}{s}+sV_1+s(V_1-V_o)=0$$

兩邊乘以 $s$，得

$$-V_i+(1+2s^2)V_1-s^2V_o=0 \tag{1}$$

對輸出節點 $V_o$ 套用 KCL。輸出節點透過電容連接至 $V_1$，透過上方 $1\,\Omega$ 電阻連接至輸入節點，並透過右側 $1\,\Omega$ 電阻接地，因此：

$$s(V_o-V_1)+(V_o-V_i)+V_o=0$$

整理得

$$-sV_1+(s+2)V_o-V_i=0 \tag{2}$$

由式 $(1)$ 得