108 年 國立成功大學電機工程學系碩士班乙組《控制系統》

核心觀念

負回授系統的開迴路傳遞函數為 $L(s)=D_{cl}(s)G(s)H(s)$，閉迴路特徵方程為 $1+L(s)=0$。本題用 Nyquist 判據時，要計入開迴路位於右半平面的極點：採順時針右半平面輪廓，閉迴路穩定需要 Nyquist 曲線對 $-1$ 逆時針環繞兩次。

解題方法

依原卷 Fig. 1，參考輸入經 $F(s)=1$ 後進入負回授加總點，回授路徑依序為控制器 $D_{cl}(s)=K(s+2)$、植物 $G(s)=\frac{s+2}{(s-2)^2}$、感測器 $H(s)=\frac{1}{s}$；且 $W(s)=V(s)=0$。因此

$$L(s)=D_{cl}(s)G(s)H(s) =\frac{K(s+2)^2}{s(s-2)^2}.$$

閉迴路特徵方程為

$$1+L(s)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad s(s-2)^2+K(s+2)^2=0.$$

開迴路在 $s=2$ 有二重右半平面極點，所以 $P=2$；原點的積分極點以 Nyquist 輪廓小凹口繞開，不計入右半平面極點數。

(a) 求穩定的 $K$ 範圍

對 $K>0$，令 $s=j\omega$、$\omega>0$。頻率響應的大小與連續相位為

$$|L(j\omega)|=\frac{K}{\omega}, \qquad \angle L(j\omega)=4\tan^{-1}\!\left(\frac{\omega}{2}\right)-\frac{\pi}{2}.$$

Nyquist 曲線與負實軸相交時，相位為 $\pi$，因此

$$4\tan^{-1}\!\left(\frac{\omega_{pc}}{2}\right)-\frac{\pi}{2} =\pi \quad\Longrightarrow\quad \omega_{pc}=2\tan\frac{3\pi}{8}=2(1+\sqrt{2}).$$

該交點的實部為 $-\frac{K}{\omega_{pc}}$；曲線通過 $-1$ 的臨界增益是

核心觀念

控制器為

$$C(s)=K\frac{s+z}{s+p},\qquad K,p,z>0$$

令 $s=j\omega$，則

$$C(j\omega)=K\frac{j\omega+z}{j\omega+p}$$

因為 $K>0$ 為正實數，不會造成相位延遲。因此控制器相位等於零點與極點相位之差：

$$\phi(\omega)=\angle(j\omega+z)-\angle(j\omega+p)$$

又因 $p,z>0$，兩個相位皆位於第一象限，可直接使用反正切表示。

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解題方法與推導

（a）控制器的相位

零點 $s=-z$ 所造成的相位為

$$\angle(j\omega+z)=\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{z}\right)$$

極點 $s=-p$ 所造成的相位為

$$\angle(j\omega+p)=\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{p}\right)$$

所以

$$\boxed{ \phi(\omega) = \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{z}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{\omega}{p}\right) }$$

對於 lead controller，通常要求 $p>z$，此時 $\phi(\omega)>0$。

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（b）求相位最大的頻率 $\omega_{max}$

對相位函數微分：

$$\frac{d\phi}{d\omega} = \frac{1/z}{1+(\omega/z)^2} - \frac{1/p}{1+(\omega/p)^2}$$

化簡得

$$\frac{d\phi}{d\omega} = \frac{z}{z^2+\omega^2} - \frac{p}{p^2+\omega^2}$$

令導數為零：

$$\frac{z}{z^2+\omega^2} = \frac{p}{p^2+\omega^2}$$

交叉相乘：

$$z(p^2+\omega^2)=p(z^2+\omega^2)$$

整理後：

$$zp^2+z\omega^2=pz^2+p\omega^2$$ $$(p-z)\left(pz-\omega^2\right)=0$$

對一般 lead controller 而言 $p\ne z$，因此

$$\omega^2=pz$$

故相位最大的頻率為

$$\boxed{\omega_{max}=\sqrt{pz}}$$

當 $p>z$ 時，$\omega=\sqrt{pz}$ 確實是相位最大值所在頻率。若 $p=z$，控制器相位對所有頻率皆為零，沒有唯一的最大頻率。

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本題主要考驗 Routh-Hurwitz stability criterion 的應用，用來判斷系統穩定性與邊界穩定時的參數值及震盪頻率。

【核心觀念】

1. Routh-Hurwitz Stability Criterion: 一種判斷線性時不變系統穩定性的代數方法，通過建立 Routh 表來檢查系統特徵方程的係數，以確定右半平面（RHP）根的數量。
2. 邊界穩定性: 當 Routh 表的第一列出現零或所有元素皆為零時，系統可能處於邊界穩定狀態，其根可能位於虛軸上。
3. 震盪頻率: 當系統處於邊界穩定時，虛軸上的根對應於系統的震盪頻率。

【解題步驟】

給定的特徵方程為：
$s^3+(2+K)s^2 +10s+(5+20K) = 0$
其中 $K > 0$.

(a) 求取 $K$ 的最大值，使系統在變不穩定之前：
我們使用 Routh-Hurwitz stability criterion 來分析。

建立 Routh 表：
$s^3 | \quad 1 \quad \quad 10$
$s^2 | \quad 2+K \quad 5+20K$
$s^1 | \quad b_1 \quad \quad 0$
$s^0 | \quad c_1 \quad \quad 0$

計算 $b_1$:
$b_1 = \frac{(2+K)(10) - 1(5+20K)}{2+K} = \frac{20+10K - 5-20K}{2+K} = \frac{15-10K}{2+K}$

計算 $c_1$:
$c_1 = \frac{b_1(5+20K) - 0(2+K)}{b_1} = 5+20K$

為了使系統穩定， Routh 表第一列的所有元素都必須為正。

1. $1 > 0$ (已滿足)
2. $2+K > 0$. 由於 $K>0$, 此條件滿足。
3. $10 > 0$ (已滿足)
4. $5+20K > 0$. 由於 $K>0$, 此條件滿足。
5. $b_1 = \frac{15-10K}{2+K} > 0$.
   由於 $2+K > 0$, 我們只需要 $15-10K > 0$.
   $15 > 10K$
   $K < \frac{15}{10} = 1.5$

系統在 $K$ 變大到某個值時會變得不穩定。
當 $b_1$ 變為零時，系統達到邊界穩定。
$b_1 = 0 \implies 15-10K = 0 \implies 10K = 15 \implies K = 1.5$.

核心觀念

本題考查：

• 負回授系統的穩態誤差。
• 輸入 $R(s)$ 與擾動 $D(s)$ 對誤差的影響。
• 參數敏感度定義：

$$S_e^{K_i} = \frac{\partial e_{ss}/e_{ss}}{\partial K_i/K_i} = \frac{K_i}{e_{ss}} \frac{\partial e_{ss}}{\partial K_i}$$

由圖可得回授元件為 $H(s)=s+1$，前向路徑為

$$G(s)=K_1\frac{K_2}{s+2}$$

且誤差信號為

$$E(s)=R(s)-(s+1)C(s)$$

解題方法

由第二個加法點可得

$$C(s)=\frac{K_2}{s+2}\left[K_1E(s)+D(s)\right]$$

代入誤差關係式：

$$E(s) = R(s)-(s+1)\frac{K_2}{s+2} \left[K_1E(s)+D(s)\right]$$

整理得

$$E(s) = \frac{R(s) - \dfrac{K_2(s+1)}{s+2}D(s)} {1+\dfrac{K_1K_2(s+1)}{s+2}}$$

輸入與擾動皆為單位階輸入：

$$R(s)=\frac{1}{s}, \qquad D(s)=\frac{1}{s}$$

利用終值定理：

$$e_{ss} = \lim_{s\to 0}sE(s)$$

因為

$$\left.\frac{s+1}{s+2}\right|_{s=0} = \frac{1}{2}$$

所以

$$e_{ss} = \frac{1-\dfrac{K_2}{2}} {1+\dfrac{K_1K_2}{2}}$$

代入 $K_1=100$、$K_2=1$：

$$e_{ss} = \frac{1-\dfrac{1}{2}} {1+\dfrac{100}{2}} = \frac{1/2}{51} = \frac{1}{102}$$

對 $K_1$ 的敏感度

先求偏微分：

$$\frac{\partial e_{ss}}{\partial K_1} = -\frac{ \left(1-\dfrac{K_2}{2}\right)\dfrac{K_2}{2} }{ \left(1+\dfrac{K_1K_2}{2}\right)^2 }$$

在 $K_1=100$、$K_2=1$ 時：