108 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電力工程》

核心觀念

本題考查圓轉子同步發電機在三相短路故障後的等效電路，以及同步機的：

• 次暫態電抗 $X_d''$
• 暫態電抗 $X_d'$
• 次暫態時間常數 $T_d''$
• 暫態時間常數 $T_d'$

由於故障為平衡三相短路，僅需分析正序等效電路。圓轉子同步機沒有凸極效應，因此可用單一軸向電抗表示。

以下假設：

1. 所有轉子參數皆已折算至定子側。
2. 忽略定子電阻。
3. $X_l$ 為定子漏磁電抗，$X_m$ 為主磁電抗。
4. $X_f,\ R_f$ 分別為勵磁繞組電抗與電阻。
5. $X_k,\ R_k$ 分別為阻尼繞組電抗與電阻。

穩態同步電抗為

$$X_d=X_l+X_m$$

---

一、次暫態期間的等效電路

三相短路發生後的最初瞬間，阻尼繞組中的感應電流尚未衰減，因此：

• 定子漏磁電抗為 $X_l$
• 主磁路為 $X_m$
• 勵磁繞組為 $X_f$
• 阻尼繞組為 $X_k$
• 三個磁化相關支路在次暫態期間共同形成並聯效果

物理等效電路可表示為：

              ┌── jXm ──┐
E'' ── jXl ───┤          ├── 短路
              ├── jXf ──┤
              │          │
              └── jXk ──┘

若保留轉子繞組電阻，則支路阻抗分別為：

$$Z_f=R_f+jX_f$$ $$Z_k=R_k+jX_k$$

在求次暫態電抗的瞬間值時，主要取其電抗部分，因此等效電路可簡化為：

$$X_d''=X_l+(X_m\parallel X_f\parallel X_k)$$

---

二、次暫態電抗 $X_d''$

三個並聯電抗的等效值為

$$X_m\parallel X_f\parallel X_k = \frac{X_mX_fX_k} {X_mX_f+X_mX_k+X_fX_k}$$

因此，次暫態電抗為

$$\boxed{ X_d'' = X_l+ \frac{X_mX_fX_k} {X_mX_f+X_mX_k+X_fX_k} }$$

故障初始時的次暫態短路電流為

$$I''=\frac{E''}{jX_d''}$$

其中 $E''$ 為次暫態內電勢。

由於並聯支路增加，必有

$$X_d''<X_d'$$

因此故障初始瞬間的電流最大。

---

三、次暫態時間常數 $T_d''$

次暫態期間同時存在勵磁繞組與阻尼繞組的感應電流。將兩個轉子繞組的耦合效應化為單一等效衰減模式，可定義

$$A=X_mX_f+X_mX_k+X_fX_k$$

以及

$$B=R_f(X_m+X_k)+R_k(X_m+X_f)$$

則次暫態等效時間常數為

$$T_{do}'' = \frac{A}{\omega B}$$

亦即

$$\boxed{ T_{do}'' = \frac{ X_mX_f+X_mX_k+X_fX_k }{ \omega\left[ R_f(X_m+X_k)+R_k(X_m+X_f) \right] } }$$

這個 $T_{do}''$ 通常稱為「開路次暫態時間常數」。

若題目中的時間常數是指三相短路電流的實際衰減時間常數，則需考慮定子短路對磁通的限制。令

$$X_d'=X_l+\frac{X_mX_f}{X_m+X_f}$$

則短路條件下的次暫態時間常數為

$$\boxed{ T_d'' = \frac{X_d''}{X_d'}T_{do}'' }$$

因此

$$\boxed{ T_d'' = \frac{X_d''}{X_d'} \cdot \frac{ X_mX_f+X_mX_k+X_fX_k }{ \omega\left[ R_f(X_m+X_k)+R_k(X_m+X_f) \right] } }$$

在許多考試的簡化等效電路中，若未特別區分開路與短路時間常數，所求的「次暫態時間常數」即採用上式的標準等效形式。

---

四、暫態期間的等效電路

經過極短時間後，阻尼繞組中的感應電流已迅速衰減，因此阻尼繞組視為開路，只剩勵磁繞組參與磁鏈暫態變化。

等效電路為：

              ┌── jXm ──┐
E' ── jXl ────┤          ├── 短路
              └── jXf ──┘

因此：

核心觀念

本題考查二埠網路的傳輸矩陣、複數功率，以及最大功率傳輸條件。

傳輸矩陣為

$$\begin{bmatrix} V_S\\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & B\\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R\\ I_R \end{bmatrix}$$

其中

$$A=|A|\angle\alpha,\qquad B=|B|\angle\beta,\qquad C=|C|\angle\gamma,\qquad D=|D|\angle\delta$$

接收端複數功率定義為

$$S_R=P_R+jQ_R=V_R I_R^{*}$$

題目指定 $V_R=|V_R|\angle 0^\circ$，因此接收端電壓可視為實數正值。

欲得到題目所要求的 $\delta=\beta$ 最大功率條件，採用電力系統常見的無損、互易傳輸線假設：

$$AD-BC=1$$

且無損時傳輸線本身不消耗實功率，因此

$$P_S=P_R$$

---

接收端複數功率推導

由傳輸矩陣第一列：

$$V_S=AV_R+BI_R$$

可解出接收端電流：

$$I_R=\frac{V_S-AV_R}{B}$$

取共軛：

$$I_R^{*}=\frac{V_S^{*}-A^{*}V_R^{*}}{B^{*}}$$

因此接收端複數功率為

$$S_R=V_RI_R^{*} =\frac{V_R}{B^{*}}\left(V_S^{*}-A^{*}V_R^{*}\right)$$

令

$$V_S=|V_S|\angle\theta_S,\qquad V_R=|V_R|\angle0^\circ$$

則

$$V_S^{*}=|V_S|\angle(-\theta_S)$$

並且

$$\frac{1}{B^{*}}=\frac{1}{|B|}\angle\beta$$

故

$$S_R = \frac{|V_R|}{|B|} \left[ |V_S|\angle(\beta-\theta_S) - |A||V_R|\angle(\beta-\alpha) \right]$$

所以接收端有功功率為

$$P_R = \frac{|V_S||V_R|}{|B|} \cos(\beta-\theta_S) - \frac{|A||V_R|^2}{|B|} \cos(\beta-\alpha)$$

接收端無功功率為

$$Q_R = \frac{|V_S||V_R|}{|B|} \sin(\beta-\theta_S) - \frac{|A||V_R|^2}{|B|} \sin(\beta-\alpha)$$

這是由接收端電壓與電流直接得到的複數功率表示式。

---

利用互易條件求最大有功功率

由傳輸矩陣第二列：

$$I_S=CV_R+DI_R$$

將第一列與第二列聯立，並利用

$$AD-BC=1$$

可得

$$I_S=\frac{DV_S-V_R}{B}$$

推導如下：

$$I_S = CV_R+D\left(\frac{V_S-AV_R}{B}\right)$$ $$I_S = \frac{DV_S+(BC-AD)V_R}{B}$$

由於 $AD-BC=1$，所以 $BC-AD=-1$，因此

$$I_S=\frac{DV_S-V_R}{B}$$

這題考驗對 CCM (Continuous Conduction Mode) Buck-Boost 轉換器的電路結構、工作原理以及各元件的電壓電流波形的理解。

CCM Buck-Boost 轉換器電路

Buck-Boost 轉換器是一種能夠將輸入電壓升高或降低的 DC-DC 轉換器。在 CCM 模式下，電感電流在整個開關週期內不會降為零。

電路組成：

1. 輸入電壓源 ($V_{in}$)
2. 開關元件 (Switch, S)：通常是 MOSFET 或 IGBT。
3. 二極體 (Diode, D)：理想二極體，用於續流。
4. 電感 (Inductor, L)：儲能元件，在 CCM 模式下，其電流是連續的。
5. 輸出電容 (Capacitor, C)：濾波元件，用於穩定輸出電壓。
6. 負載 (Load, R)：消耗功率的元件。

電路圖 (示意圖)

      Vin -----+------ S ------+------ L ------+------o Output (Vo)
               |              |              |
               |              D              |
               |             / \             |
               +-------------| |-------------+------ Ground
                             \ /
                              v
                             Load (R)

注意：在 Buck-Boost 轉換器中，輸出電壓極性與輸入電壓相反。

工作原理 (CCM 模式)

Buck-Boost 轉換器有兩個基本工作模式，由開關 S 的狀態決定：

模式 1：開關 S 導通 (ON) (假設開關導通時間為 $DT_s$，其中 $D$ 是占空比，$T_s$ 是開關週期)

• 電感 L：輸入電壓 $V_{in}$ 直接加在電感 L 上。電感電流 $i_L$ 開始線性上升。
  $v_L = V_{in}$
  $\frac{di_L}{dt} = \frac{V_{in}}{L}$
• 開關 S：導通，承載電感電流 $i_L$。
  $i_S = i_L$
• 二極體 D：反向偏壓，截止，沒有電流流過。
  $i_D = 0$
• 輸出電容 C 和負載 R：由電感 L 在此階段儲存的能量提供輸出電壓 $V_o$。輸出電容 C 負責濾除漣波。
  $v_o = \text{constant}$ (理想情況下，由電容 C 維持)
  $i_C + i_R = -i_L$ (如果 $i_L$ 是流向地的電流，則電容和負載電流之和為負)
  在理想情況下，輸出電容上的電壓 $v_C$ 就是輸出電壓 $v_o$。

模式 2：開關 S 截止 (OFF) (假設開關截止時間為 $(1-D)T_s$)

• 電感 L：由於開關 S 斷開，電感 L 的磁場能量試圖維持電流 $i_L$ 的流動。電流 $i_L$ 開始線性下降。
  電感 L 通過二極體 D 和負載 R 形成一個閉合迴路。
  $v_L = V_o$ (因為電感的另一端接地，另一端通過二極體連接到輸出負載，輸出負載電壓為 $V_o$，極性相反，所以電感兩端電壓為 $V_o$)
  $\frac{di_L}{dt} = \frac{V_o}{L}$
  注意：Buck-Boost 轉換器的輸出電壓 $V_o$ 通常是負的，所以 $V_o/L$ 是負值，表示電流下降。
• 開關 S：截止，沒有電流流過。
  $i_S = 0$
• 二極體 D：順向偏壓，導通，承載電感電流 $i_L$ 流向輸出負載。
  $i_D = i_L$
• 輸出電容 C 和負載 R：電感 L 的能量傳遞到輸出端，為負載 R 提供電流。輸出電容 C 負責充電，維持輸出電壓 $V_o$。
  $i_C + i_R = i_D = i_L$

CCM 模式條件：
在 CCM 模式下，電感電流 $i_L$ 在整個週期內始終大於零。
平均電感電流為 $\frac{1}{2} (I_{L,max} + I_{L,min})$。
在模式 1 (S 導通)，電感電流從 $I_{L,min}$ 上升到 $I_{L,max}$。
在模式 2 (S 截止)，電感電流從 $I_{L,max}$ 下降到 $I_{L,min}$。
電流變化量 $\Delta i_L = \frac{V_{in}}{L} DT_s = \frac{V_o}{L} (1-D)T_s$ (這裡 $V_o$ 是負值)。
$I_{L,max} = I_{avg} + \frac{\Delta i_L}{2}$
$I_{L,min} = I_{avg} - \frac{\Delta i_L}{2}$
CCM 條件要求 $I_{L,min} > 0$。

穩態分析 (CCM):
在穩態下，一個週期內的電壓和電流變化量為零。
電感電壓在一個週期內的積分為零：
$\oint v_L dt = 0$
$V_{in} (DT_s) + V_o (1-D)T_s = 0$
$V_{in} D + V_o (1-D) = 0$
$V_o = -V_{in} \frac{D}{1-D}$
這就是 Buck-Boost 轉換器的電壓轉換比。輸出電壓極性與輸入相反。

波形圖

假設開關信號 (Gate Signal) 為一個週期為 $T_s$ 的方波，高電位表示 S 導通，低電位表示 S 截止。

1. 電感電壓波形 ($v_L$)

• S 導通期間 (0 到 $DT_s$)：電感電壓等於輸入電壓 $V_{in}$。
• S 截止期間 ($DT_s$ 到 $T_s$)：電感電壓等於輸出電壓 $V_o$ (為負值)。
• 波形特徵：一個週期內，電感電壓為一個正方形波，其正負值分別為 $V_{in}$ 和 $V_o$。

      ^ Vin
      |
      +-------+-------+-------+
      |       |       |       |
 -----+-------+-------+-------+------> time
      |       |       |       |
      +-------+-------+-------+
      |       |       |       |
      v Vo    |       |       |

(0 到 $DT_s$ 為 $V_{in}$， $DT_s$ 到 $T_s$ 為 $V_o$)

2. 電感電流波形 ($i_L$)

• CCM 模式：電感電流是連續且非零的。
• S 導通期間 (0 到 $DT_s$)：電感電流線性上升。
  $i_L(t) = I_{L,min} + \frac{V_{in}}{L} t$
• S 截止期間 ($DT_s$ 到 $T_s$)：電感電流線性下降。
  $i_L(t) = I_{L,max} - \frac{|V_o|}{L} (t - DT_s)$
• 波形特徵：一個週期內，呈現鋸齒狀上升和下降。電流的最小值 $I_{L,min}$ 大於零。
  $I_{L,avg} = D \cdot I_{L,max} + (1-D) \cdot I_{L,min}$ (這是錯誤的，平均值是基於電流值)
  $I_{L,avg} = \frac{1}{T_s} \int_0^{T_s} i_L(t) dt$
  也可以從能量守恆得出：在 S 導通期間，輸入功率傳遞給電感；在 S 截止期間，電感能量傳遞給輸出。

這題考驗對理想自耦變壓器 (ideal autotransformer) 等效電路和其電壓轉換比的推導。

理想自耦變壓器等效電路

理想自耦變壓器與傳統變壓器最大的不同在於，它只有一個共用的繞組，其中一部分繞組同時作為高壓側和低壓側的繞組。這使得它在結構上更緊湊，且在傳輸功率相同的情況下，其銅損耗和鐵損耗通常較低。

等效電路：
理想自耦變壓器可以視為一個單一的繞組，該繞組的某一點被用作抽頭 (tap)。我們可以將其視為一個單繞組，其匝數比決定了電壓轉換。

考慮一個單繞組，總匝數為 $N_{total}$。
如果我們將低壓側連接在繞組的一部分，匝數為 $N_{LV}$，而高壓側連接在整個繞組，匝數為 $N_{HV}$。
則等效電路就是一個單一的線圈，其中輸入電壓連接到 $N_{LV}$ 匝，輸出電壓則從 $N_{HV}$ 匝獲取。

      +------o High Voltage Side (HV) ------+
      |                                    |
      |                                    |
      N_HV turns                           |
      |                                    |
      +------o Tap Point -------------------+------o Low Voltage Side (LV)
      |                                    |
      |                                    |
      N_LV turns                           |
      |                                    |
      +------------------------------------+------ Ground

在這個電路中，假設輸入電壓 $V_{LV}$ 連接到 $N_{LV}$ 匝。
輸出電壓 $V_{HV}$ 則從 $N_{HV}$ 匝獲取。

核心觀念

串聯 $R$-$L$ 支路與電容並聯時，總阻抗為純電阻，等價於總導納的虛部為零。令角頻率 $\omega=2\pi f$，串聯 $R$-$L$ 支路的導納為

$$Y_{RL}=\frac{1}{R+j\omega L} =\frac{R-j\omega L}{R^2+(\omega L)^2}$$

電容的導納為 $Y_C=j\omega C$。並聯電路的總導納等於各支路導納相加。

解題方法

總導納為

$$Y_{\text{total}} =\frac{R}{R^2+(\omega L)^2} +j\left(\omega C-\frac{\omega L}{R^2+(\omega L)^2}\right)$$

要使總阻抗純電阻，令總導納的虛部為零：

核心觀念

理想運算放大器具有：

• 輸入端電流為零；
• 虛短路：$V_-=V_+=V_{\mathrm{ref}}$。

因此兩個電路的等效條件，是使輸出電壓 $V_2$ 對 $V_1$ 與 $V_{\mathrm{ref}}$ 的關係完全相同。

---

第一個電路

設 $Z_1、Z_2、Z_3$ 的交接點電壓為 $V_x$。在 $V_x$ 寫 KCL：

$$\frac{V_x-V_1}{Z_1} +\frac{V_x}{Z_2} +\frac{V_x-V_{\mathrm{ref}}}{Z_3}=0$$

令

$$\Delta=Z_1Z_2+Z_1Z_3+Z_2Z_3$$

可得

$$V_x= \frac{Z_2Z_3}{\Delta}V_1 + \frac{Z_1Z_2}{\Delta}V_{\mathrm{ref}}$$

再於反相端 $V_-=V_{\mathrm{ref}}$ 寫 KCL：

$$\frac{V_{\mathrm{ref}}-V_x}{Z_3} + \frac{V_{\mathrm{ref}}-V_2}{Z_4}=0$$

所以

$$V_2 = V_{\mathrm{ref}} +\frac{Z_4}{Z_3}(V_{\mathrm{ref}}-V_x)$$

代入 $V_x$：

$$V_2 = -\frac{Z_4Z_2}{\Delta}V_1 + \left( 1+\frac{Z_4(Z_1+Z_2)}{\Delta} \right)V_{\mathrm{ref}}$$

---

第二個電路

第二個電路中，反相端直接固定為 $V_{\mathrm{ref}}$。寫 KCL：

好的，這就為您提供這題關於 SEPIC 轉換器電壓轉換比的詳細解題過程。

這題考的核心觀念是利用電感電壓電流關係與電容充放電特性，在連續導通模式 (CCM) 下，透過電壓-秒平衡 (Voltage-Second Balance) 與電容電荷平衡 (Charge Balance) 的原理，推導出 SEPIC 轉換器的電壓轉換比。

SEPIC 轉換器電壓轉換比推導

SEPIC (Single-Ended Primary-Inductance Converter) 是一種 DC-DC 轉換器，可以輸出大於或小於輸入電壓的電壓，並且極性與輸入電壓相同（相較於 Buck-Boost 轉換器）。我們將使用電壓-秒平衡法來推導其在連續導通模式 (CCM) 下的電壓轉換比。

假設我們使用的是理想元件，電感無損耗，開關 (MOSFET) 和二極體導通壓降為零。

1. 穩態分析與模式劃分

SEPIC 轉換器在 CCM 下，一個開關週期 $T$ 內，開關 $S$ 的導通與關斷會將電路分為兩個主要模式：

• 模式一：開關 $S$ 導通 (Switch $S$ ON)
  此時，開關 $S$ 閉合，二極體 $D$ 截止。電感 $L_1$ 直接連接到輸入電壓 $V_{in}$，電感電流 $i_{L1}$ 增加。電容 $C_1$ 會對負載提供能量，其電流為 $i_{C1} = -i_{L2}$。電感 $L_2$ 的電流 $i_{L2}$ 增加，同時也對負載提供能量。

• 模式二：開關 $S$ 關斷 (Switch $S$ OFF)
  此時，開關 $S$ 打開，二極體 $D$ 導通。電感 $L_1$ 的電流 $i_{L1}$ 必須繼續流動，透過電容 $C_1$ 和二極體 $D$ 流向電感 $L_2$ 和負載。電感 $L_1$ 的電壓極性反轉，電流 $i_{L1}$ 減少。電感 $L_2$ 的電流 $i_{L2}$ 繼續流向負載，同時電容 $C_1$ 會被充電，其電流為 $i_{C1} = i_{L1} - i_{L2}$。

2. 電壓-秒平衡 (Voltage-Second Balance) 原理

在穩態操作下，每一個週期內電感兩端的電壓積分必須為零。這意味著電感儲存的能量在每個週期結束時會恢復到初始值。

• 電感 $L_1$ 的電壓-秒平衡：
  設開關導通時間為 $DT$，關斷時間為 $(1-D)T$，其中 $D$ 是佔空比 (Duty Cycle)。
  在模式一 (S 導通, $0 \le t < DT$)，電感 $L_1$ 兩端的電壓為 $v_{L1} = V_{in}$。
  在模式二 (S 關斷, $DT \le t < T$)，電感 $L_1$ 兩端的電壓為 $v_{L1} = V_{in} - v_{C1}$ (因為 $D$ 導通，所以 $L_1$ 的另一端接 $D$ 的陽極，陽極電壓為 $v_{C1}$)。
  根據電壓-秒平衡原理：
  $\int_0^T v_{L1}(t) dt = 0$