109 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電力工程》

核心觀念

本題考查：

1. 三相負載的線電壓、線電流與複功率關係。
2. 長距離輸電線的 ABCD 參數。
3. 受電端並聯電抗器的矩陣串接。
4. 以每相等效電路計算送電端電壓與電流。

採用輸電線常用定義：

$$\begin{bmatrix} V_S\\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&B\\ C&D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R\\ I_R \end{bmatrix}$$

其中 $V_R$ 為受電端線對中性點電壓，$I_R$ 為負載電流。

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(a) 輸電線與受電端並聯電抗器的等效 ABCD 常數

受電端並聯電抗器的導納為

$$Y_{\mathrm{sh}}=0.002\angle -90^\circ =-j0.002\ \mathrm{S}$$

電抗器與負載並聯，因此輸電線受電端電流為

$$I_{R,\mathrm{line}}=I_R+Y_{\mathrm{sh}}V_R$$

原輸電線關係式為

$$\begin{bmatrix} V_S\\ I_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&B\\ C&D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R\\ I_{R,\mathrm{line}} \end{bmatrix}$$

代入 $I_{R,\mathrm{line}}=I_R+Y_{\mathrm{sh}}V_R$：

$$\begin{bmatrix} V_R\\ I_{R,\mathrm{line}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\\ Y_{\mathrm{sh}}&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_R\\ I_R \end{bmatrix}$$

所以總 ABCD 矩陣為

$$\begin{bmatrix} A'&B'\\ C'&D' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&B\\ C&D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0\\ Y_{\mathrm{sh}}&1 \end{bmatrix}$$

因此

$$A'=A+BY_{\mathrm{sh}}$$ $$B'=B$$ $$C'=C+DY_{\mathrm{sh}}$$ $$D'=D$$

計算 $A'$

$$BY_{\mathrm{sh}} = 170\angle80^\circ(0.002\angle-90^\circ)$$ $$BY_{\mathrm{sh}}=0.34\angle-10^\circ =0.33483-j0.05904$$

而

$$A=0.8\angle1^\circ =0.79988+j0.01396$$

所以

$$A'=1.13471-j0.04508$$

轉為極座標：

$$A'\approx1.136\angle-2.28^\circ$$

計算 $B'$

$$B'=170\angle80^\circ\ \Omega$$

計算 $C'$

$$DY_{\mathrm{sh}} = 0.8\angle1^\circ(0.002\angle-90^\circ)$$ $$DY_{\mathrm{sh}} = 0.0016\angle-89^\circ =0.0000279-j0.0015998$$

又

$$C=0.002\angle90^\circ=j0.002$$

故

$$C'=0.0000279+j0.0004002$$

轉為極座標：

$$C'\approx0.000401\angle86.0^\circ\ \mathrm{S}$$

計算 $D'$

$$D'=0.8\angle1^\circ$$

因此，輸電線加上受電端並聯電抗器的等效 ABCD 常數為

$$\boxed{ A'=1.1347-j0.0451 \approx1.136\angle-2.28^\circ }$$ $$\boxed{ B'=170\angle80^\circ\ \Omega }$$ $$\boxed{ C'=0.0000279+j0.0004002 \approx0.000401\angle86.0^\circ\ \mathrm{S} }$$ $$\boxed{ D'=0.8\angle1^\circ }$$

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(b) 送電端線對中性點電壓與送電端電流

受電端電壓

題目給的是三相線電壓 $345\ \mathrm{kV}$，因此每相線對中性點電壓為

$$V_R=\frac{345}{\sqrt{3}} =199.19\ \mathrm{kV}$$

核心觀念

本題考查同步發電機暫態穩定度的：

1. 等面積準則（Equal-Area Criterion）
2. 同步機擺動方程式（Swing Equation）
3. 三相端點短路時，電氣輸出功率降為 $P_e=0$，因此機組產生加速功率。

故：

• 故障前：$P_e=P_{\max}\sin\delta$，且與機械輸入功率平衡。
• 故障中：三相端點短路，$P_e=0$。
• 故障切除後：由圖可知恢復為 $P_e=P_{\max}\sin\delta$。
• $\delta_0$：故障前初始功角。
• $\delta_{cr}$：臨界清除角。
• $\delta_3$：故障切除後的最大允許功角，亦為減速面積的終點。

故障前的平衡條件為

$$P_m=P_{\max}\sin\delta_0$$

解題方法

（a）臨界清除角 $\delta_{cr}$

故障期間：

$$P_e=0$$

因此加速功率為

$$P_a=P_m-P_e=P_m$$

由圖中陰影面積，臨界穩定時必須滿足等面積準則：

$$A_1=A_2$$

其中加速面積為

$$A_1=\int_{\delta_0}^{\delta_{cr}}P_m\,d\delta =P_m(\delta_{cr}-\delta_0)$$

故障切除後，減速功率為

$$P_e-P_m=P_{\max}\sin\delta-P_m$$

因此減速面積為

$$A_2=\int_{\delta_{cr}}^{\delta_3} \left(P_{\max}\sin\delta-P_m\right)d\delta$$

計算得

$$A_2 = P_{\max}\left(\cos\delta_{cr}-\cos\delta_3\right) -P_m(\delta_3-\delta_{cr})$$

令 $A_1=A_2$：

$$P_m(\delta_{cr}-\delta_0) = P_{\max}\left(\cos\delta_{cr}-\cos\delta_3\right) -P_m(\delta_3-\delta_{cr})$$

整理後，$\delta_{cr}$ 的項目相消，得到

$$P_m(\delta_3-\delta_0) = P_{\max}\left(\cos\delta_{cr}-\cos\delta_3\right)$$

因此

本題考驗 Buck 轉換器的穩態分析，特別是證明輸出電壓受輸入電壓、負載電流和寄生參數影響。

核心觀念：

1. Buck 轉換器的工作原理（開關導通與關斷兩個階段）。
2. 穩態平均值分析。
3. 包含寄生電阻的電壓損失計算。

證明過程：

Buck 轉換器在穩態下有兩個工作模式：

1. 開關導通模式 (Switch ON): 在這個階段，MOSFET 開關導通（例如，N-MOS 導通，P-MOS 關斷）。電感 $L_o$ 兩端連接到輸入電壓 $V_{in}$，同時也包含電感直流電阻 $DCR$ 和開關的導通電阻（例如 $R_{MN}$）。電流從 $V_{in}$ 流經開關、電感，然後到負載。

2. 開關關斷模式 (Switch OFF): 在這個階段，MOSFET 開關關斷。電感中的電流通過續流二極體（或 P-MOS 關斷，N-MOS 導通，這裡電路圖顯示 N-MOS 導通，P-MOS 關斷，所以開關導通時是 N-MOS，關斷時是 P-MOS 導通。假設開關是 SPDT，由一個 SPDT 模擬。圖中是兩個獨立的 MOSFET，當一個導通時，另一個關斷。通常 Buck 轉換器是 N-MOSFET 作為主開關，並聯一個續流二極體。此圖的表示方式是，當上面 P-MOS 導通時，下方 N-MOS 關斷；當下方 N-MOS 導通時，上方 P-MOS 關斷。假設 $V_{in}$ 是正的，則要讓電流流向負載，需要 P-MOS 導通，N-MOS 關斷。或者，如果 $V_{in}$ 是正的，用 N-MOSFET 作為主開關，並聯續流二極體。此圖的表示方式較為特殊，兩個 MOSFET 串聯，中間接電感。這更像是 SEPIC 或 Ćuk 轉換器的部分結構，但題目明確說是 Buck 轉換器。我們假設圖示的開關結構是等效的，例如，當上面的 P-MOS 導通時，等效於開關閉合，電流從 $V_{in}$ 流經 P-MOS、電感到負載。當下面的 N-MOS 導通時，等效於開關閉合，電流從 $V_{in}$ 流經 N-MOS、電感到負載。這與標準 Buck 轉換器不同。

   讓我們按照標準 Buck 轉換器結構來理解，並假設圖示是等效的。
   標準 Buck 轉換器：一個主開關（例如 N-MOSFET）與電感串聯，接到 $V_{in}$。開關的另一端接地。電感另一端接到輸出電容 $C_o$ 和負載 $R_{Load}$。
   圖示結構：
   Vin -- P-MOS -- (RMP) -- Lo -- (DCR) -- Vo -- Load
   | |
   N-MOS -- (RMN) --+

   這看起來更像是使用一個 P-MOSFET 和一個 N-MOSFET 組成的 SPDT 開關。
   假設 P-MOSFET 作為主開關，N-MOSFET 作為續流開關。

   • 開關導通階段 (Duty ratio D): P-MOSFET 導通。電流從 $V_{in}$ 流經 $R_{MP}$，然後是 $L_o$ 和 $DCR$，最後到負載 $R_{Load}$。電感兩端電壓為 $v_L = V_{in} - V_{R_{MP}} - V_{R_{DCR}} - V_o$。
   • 開關關斷階段 (Duty ratio 1-D): N-MOSFET 導通。電感中的電流續流，從 $L_o$ 和 $DCR$ 流經 $R_{MN}$ 到地。此時，電感兩端電壓為 $v_L = -V_{R_{DCR}} - V_{R_{MN}} - V_o$。

   我們將使用平均值分析。
   在穩態下，電感兩端的平均電壓為零。
   $V_{L,avg} = 0$
   $V_{L,avg} = D \cdot V_{L,ON} + (1-D) \cdot V_{L,OFF} = 0$

   模式 1：開關導通 (Duty D)
   電感電壓 $V_{L,ON} = V_{in} - V_{R_{MP}} - V_{R_{DCR}} - V_o$。
   在穩態下，電感的平均電壓為零。
   $V_{L,avg} = D \cdot (V_{in} - V_{R_{MP}} - V_{R_{DCR}} - V_o) + (1-D) \cdot (-V_{R_{DCR}} - V_{R_{MN}} - V_o) = 0$

   考慮到負載電流 $I_{Load}$。
   在穩態下，電感電流的平均值等於負載電流 $I_{Load}$。
   $I_{L,avg} = I_{Load}$。
   電感電流在導通期間從 $I_{Load} - \Delta I_L/2$ 到 $I_{Load} + \Delta I_L/2$（或者從 $I_{min}$ 到 $I_{max}$），其中 $\Delta I_L = I_{max} - I_{min}$ 是電流紋波。
   在導通期間，電感兩端的電壓降是：
   $V_{L,ON} = V_{in} - I_{L,ON} R_{MP} - I_{L,ON} DCR - V_o$
   其中 $I_{L,ON}$ 是導通期間的電感電流。
   在關斷期間，電感兩端的電壓降是：
   $V_{L,OFF} = -I_{L,OFF} DCR - V_o$
   其中 $I_{L,OFF}$ 是關斷期間的電感電流。

   更簡潔的分析方法是考慮平均電壓。
   在穩態下，電感上的平均電壓為零。
   $V_{L,avg} = D \cdot V_{L,ON} + (1-D) \cdot V_{L,OFF} = 0$

   導通期間 (Switch ON, duration D):
   電感兩端的電壓為：$V_{in} - V_{R_{MP}} - V_{R_{DCR}} - V_o$。
   此時的電流是電感電流 $i_L(t)$。
   $V_{L,ON} = V_{in} - i_L(t) R_{MP} - i_L(t) DCR - V_o$

   關斷期間 (Switch OFF, duration 1-D):
   電感兩端的電壓為：$-V_{R_{DCR}} - V_o$。
   此時的電流是電感電流 $i_L(t)$。
   $V_{L,OFF} = -i_L(t) DCR - V_o$

   對電感電壓求平均值：
   $V_{L,avg} = \frac{1}{T} \int_0^{DT} (V_{in} - i_L(t) R_{MP} - i_L(t) DCR - V_o) dt + \frac{1}{T} \int_{DT}^{T} (-i_L(t) DCR - V_o) dt = 0$
   其中 $T$ 是開關週期。

   考慮電感電流的平均值。
   在 CCM (Continuous Conduction Mode) 下，電感電流平均值為負載電流 $I_{Load}$。
   $I_{L,avg} = I_{Load}$。
   我們可以將 $i_L(t)$ 近似為其平均值 $I_{Load}$，忽略電流紋波 $\Delta I_L$ 的影響，這在 $L_o$ 很大或 $I_{Load}$ 很大時是合理的。

核心觀念

此題考查理想升壓型轉換器（boost converter）的：

• 電感伏秒平衡
• 連續導通模式（CCM）的電壓增益
• 電感電流臨界條件與不連續導通模式（DCM）的判定

令開關 $Q$ 的導通占空比為 $d$，週期為 $T_s=1/f_s$。

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(a) 電壓增益推導

$Q$ 導通期間

當 $Q$ 導通時，二極體截止，電感兩端電壓為

$$v_L=V_i$$

導通時間為 $dT_s$，因此電感電流上升量為

$$\Delta i_{L,\text{on}} =\frac{V_i}{L}dT_s$$

$Q$ 截止期間

當 $Q$ 截止時，二極體導通，電感將能量送至輸出端。此時電感兩端電壓為

$$v_L=V_i-V_o$$

截止時間為 $(1-d)T_s$，電感電流下降量為

$$\Delta i_{L,\text{off}} =\frac{V_i-V_o}{L}(1-d)T_s$$

在穩態下，電感必須滿足伏秒平衡：

$$V_i dT_s+(V_i-V_o)(1-d)T_s=0$$

約去 $T_s$ 並整理：

$$V_i d+V_i(1-d)-V_o(1-d)=0$$ $$V_i=V_o(1-d)$$

因此電壓增益為

$$\boxed{\frac{V_o}{V_i}=\frac{1}{1-d}}$$

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(b) 進入不連續導通模式的負載電阻

在 CCM 與 DCM 的臨界點，電感電流剛好在每個週期結束時降為零，因此電感電流呈現完整三角波。

1. 電感峰值電流

導通期間電感電流由零上升至峰值：

$$I_{L,\text{pk}} =\frac{V_i}{L}dT_s$$

臨界時電感平均電流為三角波平均值：

$$I_{L,\text{avg}} =\frac{1}{2}I_{L,\text{pk}} =\frac{V_i dT_s}{2L}$$

2. 輸出電流

理想轉換器中，輸出電流等於電感平均電流乘上二極體導通比例：

$$I_o=(1-d)I_{L,\text{avg}}$$

因此

本題考驗同步發電機的電壓調整率計算，涉及同步發電機的相量模型和額定條件下的功率因數影響。

核心觀念：

1. 同步發電機的相量模型（相量圖）。
2. 電壓調整率 (Voltage Regulation, VR) 的定義。
3. 功率因數對發電機端電壓和內部電壓的影響。

基本參數計算：
額定容量 $S_{rated} = 100$ MVA $= 100 \times 10^6$ VA。
額定線電壓 $V_{LL,rated} = 20$ kV $= 20 \times 10^3$ V。
系統為三相 Y 接。
每相額定電壓 $V_{ph,rated} = \frac{V_{LL,rated}}{\sqrt{3}} = \frac{20 \text{ kV}}{\sqrt{3}} \approx 11.55$ kV $= 11.55 \times 10^3$ V。
每相額定電流 $I_{ph,rated} = \frac{S_{rated}/3}{V_{ph,rated}} = \frac{(100 \times 10^6)/3 \text{ VA}}{11.55 \times 10^3 \text{ V}} \approx \frac{33.33 \times 10^6}{11.55 \times 10^3} \approx 2885$ A。

每相電樞電阻 $R_a = 0.16 \Omega$。
同步電抗 $X_s = 1.6 \Omega$。
同步阻抗 $Z_s = R_a + jX_s = 0.16 + j1.6 \Omega$。
同步阻抗的模 $|Z_s| = \sqrt{0.16^2 + 1.6^2} = \sqrt{0.0256 + 2.56} = \sqrt{2.5856} \approx 1.608 \Omega$。

電壓調整率 (Voltage Regulation, VR) 的定義：

$$VR = \frac{|E_f| - |V_t|}{|V_t|} \times 100\%$$

其中：

• $|V_t|$ 是額定負載下的端電壓 (Terminal voltage)。
• $|E_f|$ 是空載時的感應電動勢 (Open-circuit generated voltage)，其數值等於額定負載時的內部電壓。

在額定條件下，端電壓 $|V_t|$ 應該是額定線電壓的一半，即 $|V_t| = 20 \text{ kV} / \sqrt{3} \times 1 \text{ (相電壓)} = 11.55$ kV。
所以，在額定負載條件下，每相端電壓 $|V_t| = 11.55$ kV。

同步發電機的相量模型：
$E_f = V_t + I_a Z_s = V_t + I_a (R_a + jX_s)$
其中 $E_f$ 是內部感應電動勢 (相量)，$V_t$ 是端電壓相量，$I_a$ 是電樞電流相量。

(a) 功率因數 0.9 lagging

額定負載條件下，端電壓 $|V_t| = 11.55$ kV。
功率因數 $PF = 0.9$ lagging。
相角 $\theta = \arccos(0.9) \approx 25.84^\circ$。
由於是 lagging，電流相角落後於電壓相角。
我們將端電壓 $V_t$ 作為參考相量，即 $V_t = 11.55 \angle 0^\circ$ kV。
則電樞電流 $I_a$ 的相角為 $-\theta$。
每相額定電流 $|I_a| = 2885$ A。
$I_a = 2885 \angle -25.84^\circ$ A。

計算內部電壓 $E_f$ (額定負載時的內部電壓，其模值即為空載電動勢)：
$E_f = V_t + I_a Z_s$
$V_t = 11.55 \times 10^3 \angle 0^\circ$ V
$I_a = 2885 \angle -25.84^\circ$ A
$Z_s = 0.16 + j1.6 \Omega \approx 1.608 \angle 84.29^\circ \Omega$

$I_a Z_s = (2885 \angle -25.84^\circ) \times (1.608 \angle 84.29^\circ)$ V
$I_a Z_s = (2885 \times 1.608) \angle (-25.84^\circ + 84.29^\circ)$ V
$I_a Z_s \approx 4639 \angle 58.45^\circ$ V
$I_a Z_s \approx 4.639 \angle 58.45^\circ$ kV

將 $I_a Z_s$ 轉換為直角座標形式：
$I_a Z_s \approx 4.639 (\cos 58.45^\circ + j\sin 58.45^\circ)$ kV
$I_a Z_s \approx 4.639 (0.5235 + j0.8520)$ kV
$I_a Z_s \approx 2.428 + j3.953$ kV

計算 $E_f$:
$E_f = V_t + I_a Z_s$
$E_f = (11.55 \angle 0^\circ \text{ kV}) + (2.428 + j3.953 \text{ kV})$
$E_f = (11.55 + j0) + (2.428 + j3.953)$ kV
$E_f = (11.55 + 2.428) + j3.953$ kV
$E_f = 13.978 + j3.953$ kV

計算 $|E_f|$：
$|E_f| = \sqrt{13.978^2 + 3.953^2}$ kV
$|E_f| = \sqrt{195.38 + 15.63}$ kV
$|E_f| = \sqrt{211.01}$ kV
$|E_f| \approx 14.53$ kV

計算電壓調整率：
$VR = \frac{|E_f| - |V_t|}{|V_t|} \times 100\%$
$VR = \frac{14.53 \text{ kV} - 11.55 \text{ kV}}{11.55 \text{ kV}} \times 100\%$
$VR = \frac{2.98}{11.55} \times 100\%$
$VR \approx 0.258 \times 100\%$
$VR \approx 25.8\%$

【答案】
(a) 電壓調整率 $\approx 25.8\%$

(b) 功率因數 0.9 leading

額定負載條件下，端電壓 $|V_t| = 11.55$ kV。
功率因數 $PF = 0.9$ leading。
相角 $\theta = \arccos(0.9) \approx 25.84^\circ$。

本題考驗三相感應電動機的功率平衡分析，包括從輸入功率、損失計算各功率項和效率。

核心觀念：

1. 感應電動機的功率流程：輸入功率 $\rightarrow$ 氣隙功率 $\rightarrow$ 機械輸出功率。
2. 各項損失：定子銅損、鐵損、轉子銅損、旋轉損失。
3. 滑差 (slip) 的定義及其與轉子銅損的關係。
4. 效率的計算。

已知參數：

• 額定功率 (25 hp) - 此題中作為參考，實際計算依據輸入電流和損失。
• 額定電壓 (220 V), 額定頻率 (60 Hz) - 僅為電動機銘牌參數。
• 輸入線電流 $I_L = 50$ A。
• 輸入功率因數 $PF = 0.85$ lagging。
• 定子銅損 $P_{stator\_copper} = 600$ W。
• 鐵損 $P_{iron} = 300$ W。
• 轉子銅損 $P_{rotor\_copper} = 500$ W。
• 旋轉損失 $P_{rotational} = 400$ W。

功率平衡圖：
輸入功率 ($P_{in}$) $\rightarrow$ 減去 定子銅損 ($P_{stator\_copper}$) 和 鐵損 ($P_{iron}$) $\rightarrow$ 氣隙功率 ($P_{ag}$) $\rightarrow$ 減去 轉子銅損 ($P_{rotor\_copper}$) $\rightarrow$ 轉矩功率 ($P_{conv}$) $\rightarrow$ 減去 旋轉損失 ($P_{rotational}$) $\rightarrow$ 機械輸出功率 ($P_{out}$)

計算步驟：

1. 計算輸入功率 ($P_{in}$)
輸入功率是三相功率，由線電壓、線電流和功率因數計算。
$P_{in} = \sqrt{3} V_L I_L \cos\theta$
這裡 $V_L$ 是線電壓，題目給的是 220V，但實際輸入電流 50A 是從電源取的，通常輸入功率計算用實際的電源電壓、電流和功率因數。但題目沒有給電源電壓，僅給電動機額定電壓。通常假設電動機工作在額定電壓下，若無特別說明，則使用 220V。
$P_{in} = \sqrt{3} \times 220 \text{ V} \times 50 \text{ A} \times 0.85$
$P_{in} = \sqrt{3} \times 11000 \times 0.85$ W
$P_{in} \approx 1.732 \times 11000 \times 0.85$ W
$P_{in} \approx 16180.4$ W

2. 計算氣隙功率 ($P_{ag}$)
氣隙功率是輸入功率減去定子損失 (定子銅損和鐵損)。
$P_{ag} = P_{in} - P_{stator\_copper} - P_{iron}$
$P_{ag} = 16180.4 \text{ W} - 600 \text{ W} - 300 \text{ W}$
$P_{ag} = 16180.4 - 900$ W
$P_{ag} = 15280.4$ W

(a) Air-gap power (氣隙功率)
$P_{ag} \approx 15280.4$ W

本題考驗直流分激式自激發電機的等效電路、啟動過程及場電阻對啟動的影響。

核心觀念：

1. 直流分激式發電機的等效電路。
2. 自激發電機的勵磁原理和啟動過程。
3. 場電阻 (Field resistance) 在啟動過程中的作用。

(a) 等效電路繪製與解釋

直流分激式發電機的等效電路包括：

• 電樞電路 (Armature Circuit):
  • 感應電動勢 $E_g$：這是由轉子旋轉切割磁力線產生的，是電樞反應的結果。
  • 電樞電阻 $R_a$：電樞繞組的直流電阻。
  • 電樞電抗 $X_a$ (交流暫態分析時需要，直流穩態時忽略)。
  • 電樞電流 $I_a$。
• 勵磁電路 (Field Circuit):
  • 勵磁繞組：其電阻為 $R_f$。
  • 勵磁電壓：在發電機運行時，勵磁繞組的電壓來源於發電機自身的端電壓 $V_t$。
  • 勵磁電流 $I_f$。
• 負載連接：
  • 分激式發電機的勵磁繞組與電樞電路並聯。
  • 端電壓 $V_t$ 是電樞電路流出後的電壓，也是勵磁電路的電壓。
  • 等效電路中，勵磁繞組的電阻 $R_f$ 可以通過一個可變電阻器 (Rheostat) $R_{adj}$ 來調節，以控制勵磁電流和輸出電壓。

繪製等效電路：

1. 畫一個電壓源 $E_g$ 代表感應電動勢。
2. $E_g$ 後面串聯電阻 $R_a$。
3. $R_a$ 後面連接電樞電流 $I_a$ 的流出點。
4. 從 $R_a$ 的後端（或 $E_g$ 的前端，視為機端）引出兩條線，代表端電壓 $V_t$。
5. 將勵磁繞組（電阻 $R_f$）並聯在 $V_t$ 兩端。
6. 在勵磁電路中，通常會串聯一個可調電阻 $R_{adj}$，用於控制勵磁。這個總的勵磁電路電阻為 $R_{field} = R_f + R_{adj}$。
7. 勵磁電流 $I_f$ 流過勵磁繞組。
8. 電樞電流 $I_a$ 流出後，一部分流向外部負載 (IL)，一部分流向勵磁繞組 ($I_f$)。所以 $I_a = I_L + I_f$。
9. 端電壓 $V_t$ 是發電機的輸出電壓。

解釋：

• $E_g$ 是由轉子旋轉產生的電動勢，其大小與轉速和磁場強度成正比。
• $R_a$ 是電樞繞組的電阻，在電樞電路中會產生壓降 $I_a R_a$。
• $V_t$ 是發電機的端電壓，也是外部電壓。
• $R_f$ 是勵磁繞組的電阻。
• $R_{adj}$ 是外加可調電阻，用於調節勵磁電流。
• $I_f$ 是勵磁電流，它產生主磁場。
• $I_a$ 是電樞電流，它由負載和勵磁電路共同決定。
• $I_L$ 是外部負載電流。

自激發電機的特性：
自激發電機的勵磁磁場是由發電機自身產生的電壓和電流來維持的。這要求：

1. 必須有殘餘磁通 (residual magnetism)。
2. 勵磁電路必須有足夠的磁場強度來維持發電機的電壓。
3. 勵磁電路的總電阻 $R_{field}$ 必須低於某個臨界值，才能產生足夠的磁場。

(b) 啟動過程描述

假設發電機在靜止狀態，但具有殘餘磁通。

1. 殘餘磁通產生初始電動勢： 轉子開始旋轉，殘餘磁通在電樞繞組中感應出一個很小的初始電動勢 $E_{g,initial}$。
2. 勵磁電流產生： 這個初始電動勢 $E_{g,initial}$ 流過勵磁電路（電樞、勵磁繞組、外部電阻），產生一個很小的勵磁電流 $I_{f,initial}$。
3. 磁場增強： 這個勵磁電流 $I_{f,initial}$ 在鐵心中產生一個額外的磁場，與殘餘磁通疊加，使總磁場強度略微增強。
4. 電動勢進一步感應： 增強的磁場使轉子旋轉時產生的感應電動勢 $E_g$ 略微增大。
5. 循環過程： 增大的 $E_g$ 導致更大的勵磁電流 $I_f$，進一步增強磁場，再次感應出更大的 $E_g$。