112 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電力工程（含電機機械、電力電子、電力系統）》

本題主要考驗學生對於三相電路中 $\Delta$ 接與 Y 接負載並聯時的總阻抗計算、電源端電流、負載端線電壓以及功率三角形的繪製。

首先，我們需要將 $\Delta$ 接負載和 Y 接負載的阻抗轉換到便於計算的單位。
$\Delta$ 接負載的每相電阻為 $R_\Delta = 15 \, \Omega$。
Y 接負載的每相阻抗為 $Z_Y = 8 + j6 \, \Omega$。
連接線的每相阻抗為 $Z_{line} = 2 + j5 \, \Omega$。
電源電壓為三相線電壓 $V_{LL} = 110 \, V$。

(a) 計算電源端電流：
為了計算總電流，我們需要將 $\Delta$ 接負載轉換為其等效的 Y 接阻抗。
$\Delta$ 接負載的等效 Y 接相阻抗 $Z_{\Delta\_eq}$ 為：
$Z_{\Delta\_eq} = \frac{R_\Delta}{3} = \frac{15}{3} = 5 \, \Omega$。

現在，我們有三相負載為：

1. $\Delta$ 接負載的等效 Y 接阻抗 $Z_{\Delta\_eq} = 5 \, \Omega$。
2. Y 接負載的相阻抗 $Z_Y = 8 + j6 \, \Omega$。
3. 線路阻抗 $Z_{line} = 2 + j5 \, \Omega$。

這三者是串聯的，所以總的每相等效阻抗 $Z_{eq\_phase}$ 為：
$Z_{eq\_phase} = Z_{\Delta\_eq} + Z_Y + Z_{line}$
$Z_{eq\_phase} = 5 + (8 + j6) + (2 + j5)$
$Z_{eq\_phase} = (5 + 8 + 2) + j(6 + 5)$
$Z_{eq\_phase} = 15 + j11 \, \Omega$。

此為每相的總等效阻抗。電源端為三相 Y 接電源，其線電壓為 $110 \, V$。
電源端的相電壓 $V_{ph}$ 為：
$V_{ph} = \frac{V_{LL}}{\sqrt{3}} = \frac{110}{\sqrt{3}} \, V$。

電源端每相電流 $I_{ph}$ 為：
$I_{ph} = \frac{V_{ph}}{Z_{eq\_phase}} = \frac{110/\sqrt{3}}{15 + j11}$
$I_{ph} = \frac{110}{\sqrt{3}(15 + j11)} \, A$。

計算 $15 + j11$ 的極座標形式：
$|15 + j11| = \sqrt{15^2 + 11^2} = \sqrt{225 + 121} = \sqrt{346} \approx 18.60 \, \Omega$
$\angle (15 + j11) = \arctan\left(\frac{11}{15}\right) \approx 36.03^\circ$。

$I_{ph} = \frac{110/\sqrt{3}}{18.60 \angle 36.03^\circ} \approx \frac{63.51}{18.60 \angle 36.03^\circ} \approx 3.415 \angle -36.03^\circ \, A$。

電源端的線電流 $I_L$ (即為電源端抽取的電流) 為：
$I_L = |I_{ph}| \approx 3.415 \, A$。
（注意：題目問的是「Current drawn from the supply」，這通常指線電流）。

(b) 計算線電壓 at the combined loads：
題目問的是 combined loads 的線電壓。由於負載是直接連接到 110-V 三相電源，並且線路阻抗是在負載之前，所以 combined loads 的線電壓就是電源線電壓。
Combined loads 的線電壓 $V_{LL\_load} = 110 \, V$。

(c) 繪製 combined load 的功率三角形：
我們需要計算 combined load 的總視在功率 $S_{total}$、總平均功率 $P_{total}$ 和總無效功率 $Q_{total}$。
我們計算的是每相的功率，然後乘以 3 得到總功率。

核心觀念

短線路可用串聯阻抗模型表示，忽略並聯電容與漏電導。相量關係為

$$\underline V_S=\underline V_R+\underline I Z_{\text{line}}$$

其中負載功率因數為滯後，表示電流相位落後負載端電壓。輸入阻抗定義為送端電壓除以線路電流：

$$Z_{\text{in}}=\frac{\underline V_S}{\underline I}$$

題目未註明單相或三相，也未說明線路阻抗是否為每相值；以下依單相等效電路計算。

解題方法

以負載端電壓為相位基準，令 $\underline V_R=2400\angle 0^\circ\ \text{V}$。功率因數 $0.866\approx\cos 30^\circ$，且為滯後，因此電流角度為 $-30^\circ$。

由視在功率 $S=VI$，負載電流為

$$\underline I =\frac{200\,000}{2400}\angle(-30^\circ) =83.33\angle(-30^\circ)\ \text{A}$$

轉為直角座標：

$$\underline I=72.17-j41.67\ \text{A}$$

(a) 送端電壓：

$$\begin{aligned} \underline V_S &=\underline V_R+\underline I Z_{\text{line}}\\ &=2400+(72.17-j41.67)(2.07+j0.661)\\ &=2576.93-j38.55\ \text{V}\\ &=2577.22\angle(-0.857^\circ)\ \text{V} \end{aligned}$$

(b) 短線路模型中沒有並聯支路，送端與受端電流相同：

本題考驗學生對脈寬調變 (PWM) 技術的理解，特別是雙極性 (bipolar) 和單極性 (unipolar) PWM 的波形產生方式。題目要求繪製 PWM 訊號，但未提供具體的三角載波訊號和弦波訊號的參數（如頻率、振幅），因此我們將以概念性的方式繪製。

PWM 的基本原理是將一個低頻的訊號（例如弦波，稱為調變訊號）與一個高頻的訊號（稱為載波訊號，通常是三角波或鋸齒波）進行比較，根據比較結果來控制開關元件的導通時間，從而產生一個寬度可變的脈衝訊號。

(a) 雙極性電壓切換 (Bipolar Voltage Switching) PWM：
在雙極性 PWM 中，逆變器的輸出電壓可以取三個值：+Vd (例如，連接到 Vd 的直流電源)，-Vd (例如，連接到 -Vd 的直流電源，或接地)，以及 0V (有時也可能出現，取決於具體的 PWM 策略)。
對於三相逆變器，雙極性 PWM 通常是指每相獨立地與三角載波進行比較，產生獨立的 PWM 訊號。
假設我們的調變訊號是 $v_m(t)$ (例如，弦波) 和載波訊號是 $v_c(t)$ (例如，三角波)。

• 當 $v_m(t) > v_c(t)$ 時，該相輸出為 +Vd。
• 當 $v_m(t) < v_c(t)$ 時，該相輸出為 -Vd。
• 這種方法直接產生線電壓，並且線電壓的平均值是調變訊號。

繪製示意圖：
假設調變訊號為一個正弦波，載波訊號為一個三角波。
在圖上，橫軸為時間 t，縱軸為電壓。
繪製一個三角波（高頻），以及一個低頻的正弦波。
比較這兩個波形：

• 當正弦波在三角波之上時，PWM 輸出為高電位 (例如 +Vd)。
• 當正弦波在三角波之下時，PWM 輸出為低電位 (例如 -Vd)。
  這樣產生的 PWM 訊號的脈衝寬度會隨著正弦波的幅度變化而變化。

例如，在正弦波的峰值附近，其幅度變化緩慢，與三角波的交點會導致脈衝寬度較窄。在正弦波的零交叉點附近，其幅度變化快速，與三角波的交點會導致脈衝寬度較寬。

雙極性 PWM 的一個例子是 SPWM (Sinusoidal PWM)。在 SPWM 中，通常比較的是調變訊號與三角載波。
如果我們考慮三相，通常會使用三個調變訊號（例如，對應 A, B, C 相的正弦波，相位差 120 度）分別與各自的三角載波（通常是同一頻率和幅度，但可能需要偏移以避免重疊）進行比較。

(b) 單極性電壓切換 (Unipolar Voltage Switching) PWM：
單極性 PWM 是指每相輸出電壓只能取兩個值：+Vd 或 0V (或者 -Vd 或 0V)。這種方式通常用於提高輸出電壓的利用率，減少諧波。
單極性 PWM 的產生方式有多種，常見的一種是利用兩個載波訊號。
一種常見的單極性 PWM 方法是：

• 產生一個調變訊號 $v_m(t)$ (例如，弦波)。
• 產生一個三角載波 $v_c(t)$。
• 產生一個反向的三角載波 $-v_c(t)$。
• 比較：
  • 當 $v_m(t) > v_c(t)$ 時，輸出為 +Vd。
  • 當 $v_m(t) < -v_c(t)$ 時，輸出為 -Vd (或者 0V，取決於具體策略)。
  • 當 $-v_c(t) < v_m(t) < v_c(t)$ 時，輸出為 0V。

另一種更常見的單極性 PWM 是將兩個三角波（一個正，一個反）與調變訊號進行比較。
例如，對於 A 相：

• 產生調變訊號 $v_{mA}(t)$。
• 產生三角載波 $v_c(t)$。
• 產生反向三角載波 $-v_c(t)$。
• 比較：
  • 如果 $v_{mA}(t) > v_c(t)$，則 A 相輸出 +Vd。
  • 如果 $v_{mA}(t) < -v_c(t)$，則 A 相輸出 0V。
  • 如果 $-v_c(t) < v_{mA}(t) < v_c(t)$，則 A 相輸出 0V。

本題考驗學生對三相電壓源逆變器 (VSI) 的結構、工作原理以及如何應用 PWM 技術產生正弦輸出電壓的理解。

1. 三相電壓源逆變器 (VSI) 的結構：
一個標準的三相 VSI 由六個功率開關元件 (通常是 MOSFET 或 IGBT) 組成，這些開關元件以橋式結構連接。每個橋臂有兩個串聯的開關，分別連接到直流電源的正極和負極 (或接地)。直流電源的兩端是直流電壓源 $V_{dc}$。

• 橋臂結構： 共三個橋臂，分別控制三相 (A, B, C)。
• 功率開關： 每個橋臂有兩個開關，例如 $Q_{A1}$ 和 $Q_{A2}$ 串聯。$Q_{A1}$ 連接到 $V_{dc}$ 正極，$Q_{A2}$ 連接到 $V_{dc}$ 負極 (接地)。中間節點連接到三相負載的 A 相。
• 反並聯二極體： 每個功率開關通常都帶有一個反並聯的二極體，用於在開關關斷時提供感性負載的續流路徑。
• 控制： 每個開關都有一個控制端，通過 PWM 信號來控制其導通和關斷。

繪製 VSI 結構圖：

• 繪製直流電源 $V_{dc}$。
• 繪製兩個橋臂，每個橋臂由兩個串聯的開關組成，開關之間的中點引出作為相輸出。
• 例如，A 相橋臂由 $Q_{A1}$ (上開關) 和 $Q_{A2}$ (下開關) 組成，中間連接到 A 相。
• 同樣連接 B 相和 C 相的橋臂。
• 在每個開關元件旁標示反並聯二極體。
• 將三相輸出點連接到一個三相 RL 負載。
• 標示出控制端，表明需要 PWM 信號進行控制。

2. PWM 的應用產生正弦輸出電壓：
PWM 技術用於控制 VSI 的開關元件，使其輸出端產生一系列寬度可變的脈衝。通過適當的 PWM 調變策略，可以使輸出的線電壓或相電壓的基波分量近似為正弦波。

基本原理：

• 調變訊號： 通常使用低頻的正弦波作為調變訊號，例如，對於 A 相，使用 $v_{mA}(t) = A_m \sin(\omega_m t)$。對於三相系統，通常使用三個相位差 120 度的正弦波。
• 載波訊號： 使用高頻的三角波或鋸齒波作為載波訊號，例如 $v_c(t)$。載波頻率遠高於調變訊號頻率。
• 比較： 將調變訊號與載波訊號進行比較，根據比較結果來控制功率開關的導通。

具體的 PWM 策略 (以 SPWM 為例)：
考慮三相 VSI 的 SPWM (Sinusoidal PWM)。

• 調變方式： 通常採用中心對齊的 PWM 方式。
• 控制邏輯：
  • 對於 A 相：
    • 當 $v_{mA}(t) > v_c(t)$ 時，控制上開關 $Q_{A1}$ 導通，下開關 $Q_{A2}$ 關斷，A 相輸出為 +$V_{dc}$。
    • 當 $v_{mA}(t) < -v_c(t)$ 時 (如果採用雙極性)，控制上開關 $Q_{A1}$ 關斷，下開關 $Q_{A2}$ 導通，A 相輸出為 -$V_{dc}$。
    • 當 $-v_c(t) < v_m(t) < v_c(t)$ 時，A 相輸出為 0V (例如，通過控制 $Q_{A1}$ 和 $Q_{A2}$ 的組合，或者採用死區時間處理)。
  • 簡化起見，我們也可以採用單極性 PWM 的概念，即輸出 +$V_{dc}$ 或 0V。
    • 當 $v_{mA}(t) > v_c(t)$ 時，輸出 +$V_{dc}$。
    • 當 $v_{mA}(t) < v_c(t)$ 時，輸出 0V。
  • 這裡題目提到 "Assume that the carrier signal waveform is triangular."，並且要求 Vab (線電壓) 為正弦。這暗示我們需要考慮三相系統的輸出。

產生正弦線電壓 $V_{ab}$ 的解釋：

• 線電壓 $V_{ab}$： $V_{ab} = V_a - V_b$。
• 相電壓： $V_a, V_b, V_c$ 是 VSI 輸出到三相負載的 A, B, C 相電壓。
• PWM 的作用： 通過 PWM 控制，我們可以讓 $V_a, V_b, V_c$ 的波形近似為正弦波。
• SPWM 的目標： SPWM 的目標是使輸出的相電壓 $V_a, V_b, V_c$ 具有與調變訊號 $v_{mA}, v_{mB}, v_{mC}$ 相同的基波分量。
• 線電壓的產生： 如果 $V_a$ 和 $V_b$ 是正弦波，並且它們之間有 120 度的相位差，那麼它們的差值 $V_{ab} = V_a - V_b$ 也將是一個正弦波，其幅度是 $V_a$ 和 $V_b$ 的 $\sqrt{3}$ 倍，相位超前 $V_a$ 30 度。
• 舉例 $V_{ab}$：
  • 假設 $V_a(t) = V_p \sin(\omega_m t)$。
  • 假設 $V_b(t) = V_p \sin(\omega_m t - 120^\circ)$。
  • 則 $V_{ab}(t) = V_a(t) - V_b(t) = V_p [\sin(\omega_m t) - \sin(\omega_m t - 120^\circ)]$
  • 使用三角恆等式 $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$：
  • $A = \omega_m t$, $B = \omega_m t - 120^\circ$
  • $\frac{A+B}{2} = \frac{2\omega_m t - 120^\circ}{2} = \omega_m t - 60^\circ$
  • $\frac{A-B}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$
  • $V_{ab}(t) = V_p [2 \cos(\omega_m t - 60^\circ) \sin(60^\circ)]$
  • $V_{ab}(t) = V_p [2 \times (\cos(\omega_m t) \cos(60^\circ) + \sin(\omega_m t) \sin(60^\circ)) \times \frac{\sqrt{3}}{2}]$
  • $V_{ab}(t) = V_p [\sqrt{3} (\cos(\omega_m t) \frac{1}{2} + \sin(\omega_m t) \frac{\sqrt{3}}{2})]$
  • $V_{ab}(t) = \frac{\sqrt{3} V_p}{2} [\cos(\omega_m t) + \sqrt{3} \sin(\omega_m t)]$
  • 這看起來有點複雜。換個角度：
  • $V_{ab}(t) = V_a(t) - V_b(t)$
  • $V_a(t) = V_p \sin(\omega_m t)$
  • $V_b(t) = V_p \sin(\omega_m t - 120^\circ) = V_p (\sin(\omega_m t)\cos(120^\circ) - \cos(\omega_m t)\sin(120^\circ))$

核心觀念

本題利用同步發電機的三項基本測試資料，求得額定條件下每相等效電路參數：

1. 開路試驗：在額定場電流 $I_F=5\ \text{A}$ 時，量得端電壓，用以取得內部感應電勢。
2. 短路試驗：在相同場電流下量得短路電流，用以求同步阻抗。
3. 直流電阻試驗：由兩端子間的直流電壓與電流，求定子每相電阻。

同步發電機每相模型為內部感應電勢 $E_A$、電樞電阻 $R_A$ 與同步電抗 $X_S$ 串聯：

$$E_A=V_\phi+I_A(R_A+jX_S)$$

其中同步阻抗為

$$Z_S=R_A+jX_S$$

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（a）電樞電阻與同步電抗

1. 求每相電樞電阻 $R_A$

發電機為 Y 接，因此兩個端子間的直流電流會流經兩相定子繞組，等效為兩個每相電阻串聯。

因此兩端子間量得的電阻為

$$R_{\text{line-line}}=2R_A$$

由直流試驗資料：

$$R_{\text{line-line}}=\frac{V_{\text{dc}}}{I_{\text{dc}}} =\frac{20}{40}=0.5\ \Omega$$

所以

$$2R_A=0.5$$ $$\boxed{R_A=0.25\ \Omega/\text{phase}}$$

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2. 由開路試驗求每相感應電勢

題目所稱的端電壓通常指三相系統的線電壓，因此開路時：

$$V_{LL,\text{oc}}=520\ \text{V}$$

Y 接發電機的每相電壓為

$$E_{A,\phi}=\frac{V_{LL,\text{oc}}}{\sqrt{3}} =\frac{520}{\sqrt{3}} =300.2\ \text{V}$$

開路時電樞電流為零，因此端電壓近似等於內部感應電勢：

$$E_A\approx V_\phi=300.2\ \text{V}$$

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3. 求同步阻抗 $|Z_S|$

短路試驗時，三相線電流等於每相電流：

$$I_{A,\text{sc}}=I_{L,\text{sc}}=250\ \text{A}$$

因此同步阻抗大小為

$$|Z_S| =\frac{E_{A,\text{oc}}}{I_{A,\text{sc}}} =\frac{300.2}{250} =1.2008\ \Omega$$

也可直接寫成

$$|Z_S| =\frac{520/\sqrt{3}}{250} =1.2008\ \Omega$$

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4. 求同步電抗 $X_S$

同步阻抗滿足

$$|Z_S|=\sqrt{R_A^2+X_S^2}$$

因此

$$X_S=\sqrt{|Z_S|^2-R_A^2}$$

代入數值：

$$X_S =\sqrt{(1.2008)^2-(0.25)^2}$$ $$X_S =\sqrt{1.442-\;0.0625} =\sqrt{1.3795} =1.1745\ \Omega$$

所以額定條件下的同步電抗約為

$$\boxed{X_S\approx1.17\ \Omega/\text{phase}}$$

同步阻抗也可表示為

$$\boxed{Z_S\approx0.25+j1.17\ \Omega/\text{phase}}$$

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（b）每相等效電路與場電路

定子每相等效電路

核心觀念

本題考查直流分激馬達的：

1. 分激場電流與電樞電流的關係。
2. 反電動勢與轉速的關係。
3. 電磁轉矩與電樞電流的關係。
4. 由計算點繪製轉矩—轉速特性。

由於馬達具有補償繞組，且場電路直接接在固定的 $200\text{ V}$ 電源上，因此可視為磁通 $\phi$ 為常數。直流馬達的基本關係式為

$$V=E_A+I_A R_A$$ $$E_A=k\phi\omega$$ $$T_e=k\phi I_A$$

其中：

• $V$：端電壓
• $E_A$：電樞反電動勢
• $I_A$：電樞電流
• $R_A$：電樞電阻
• $T_e$：電磁轉矩
• $\omega$：角速度

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解題方法

1. 計算場電流

場電路總電阻為 $50\ \Omega$，因此場電流為

$$I_F=\frac{V}{R_F} =\frac{200}{50} =4\text{ A}$$

題目給的是線電流 $I_L$，而分激馬達的線電流為

$$I_L=I_A+I_F$$

因此

$$I_A=I_L-I_F$$

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2. 建立轉速公式

空載時忽略空載電樞電流造成的壓降，因此空載反電動勢近似為端電壓：

$$E_{A0}\approx 200\text{ V}$$

空載轉速為

$$n_0=1000\text{ r/min}$$

因磁通為常數，

$$\frac{n}{n_0}=\frac{E_A}{E_{A0}}$$

所以

$$n=1000\frac{E_A}{200}$$

又因為

$$E_A=V-I_A R_A=200-0.1I_A$$

故

$$n=1000\frac{200-0.1I_A}{200}$$

整理得

$$n=1000-0.5I_A \qquad \text{r/min}$$

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3. 建立轉矩公式

由於磁通固定，

$$T_e=k\phi I_A$$

先利用空載條件求出 $k\phi$：

$$\omega_0=\frac{2\pi n_0}{60} =\frac{2\pi(1000)}{60} =104.72\text{ rad/s}$$

空載時 $E_{A0}\approx 200\text{ V}$，因此

$$k\phi=\frac{E_{A0}}{\omega_0} =\frac{200}{104.72} =1.9099\text{ N}\cdot\text{m/A}$$

所以轉矩為

$$T_e=1.9099 I_A \qquad \text{N}\cdot\text{m}$$

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線電流為 $150\text{ A}$

電樞電流

$$I_A=I_L-I_F =150-4 =146\text{ A}$$

反電動勢

$$E_A=200-(146)(0.1) =185.4\text{ V}$$

轉速

$$n=1000\frac{185.4}{200} =927\text{ r/min}$$

電磁轉矩

$$T_e=(1.9099)(146) =278.85\text{ N}\cdot\text{m}$$

因此第一個計算點為

$$\boxed{(n,T_e)=(927\text{ r/min},\ 278.9\text{ N}\cdot\text{m})}$$

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線電流為 $300\text{ A}$

電樞電流

$$I_A=I_L-I_F =300-4 =296\text{ A}$$

反電動勢

$$E_A=200-(296)(0.1) =170.4\text{ V}$$

轉速