113 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電力工程（含電機機械、電力電子、電力系統）》

本題考查交換式電源供應器 (Switching-Mode Power Supply, SMPS) 的基本架構與功能。

核心觀念：
SMPS 是一種透過高頻開關元件（如 MOSFET 或 IGBT）來調節電壓的電源供應器，其效率遠高於傳統的線性電源供應器。其基本原理是透過開關的導通與截止，將輸入的交流或直流電壓轉換成所需直流電壓。

典型 SMPS 的方塊圖與功能說明：

一個典型的交換式電源供應器 (SMPS) 包含以下幾個主要區塊：

1. 輸入濾波器 (Input Filter)：

   • 功能：濾除輸入電源中的雜訊，並可能包含 EMI (電磁干擾) 濾波器，以符合相關的電磁相容性標準。對於交流輸入，此區塊也可能包含整流器。

2. 整流與濾波 (Rectifier and Filter)：

   • 功能：若輸入為交流電 (AC)，則此區塊將 AC 轉換為較粗糙的直流電 (DC)。通常包含一個橋式整流器 (Bridge Rectifier) 和一個輸入電容 (Input Capacitor)，用來平滑整流後的脈動直流。

3. 功率開關 (Power Switch)：

   • 功能：這是 SMPS 的核心元件，通常是 MOSFET 或 IGBT。它以高頻率（數十 kHz 到數 MHz）進行開關動作，將來自整流濾波器的直流電進行「斬波」(chopping)。開關的導通時間（Duty Cycle）由控制電路決定，是調節輸出電壓的關鍵。

4. 儲能元件 (Energy Storage Element)：

   • 功能：通常是電感 (Inductor) 或變壓器 (Transformer)。它與功率開關協同工作，儲存能量並將其傳遞到輸出端。變壓器除了儲能，還可以提供隔離和電壓轉換的功能。

5. 輸出整流與濾波 (Output Rectifier and Filter)：

   • 功能：
     • 輸出整流器：如果儲能元件的輸出是交流或脈動直流，則需要一個快速的二極體 (Fast Diode) 或同步整流 MOSFET (Synchronous Rectifier MOSFET) 來將其轉換為單向電流。
     • 輸出濾波器：通常由一個電感和一個電容組成 (LC Filter)，用來平滑輸出電流和電壓，濾除開關動作產生的漣波 (ripple)，提供穩定且乾淨的直流輸出。

6. 控制電路 (Control Circuit)：

   • 功能：這是 SMPS 的「大腦」。它監測輸出電壓或電流，並根據預設值與實際值之間的誤差，透過 PWM (脈衝寬度調變) 信號來調整功率開關的導通時間 (Duty Cycle)。常見的控制方式有電壓模式控制 (Voltage Mode Control) 和電流模式控制 (Current Mode Control)。

本題考查全波橋式整流器在純電阻負載下的電流計算。

核心觀念：
全波橋式整流器將輸入的交流電轉換為單向脈動直流電。對於純電阻負載，輸出電壓和電流的波形與輸入電壓的絕對值相同。

已知條件：

• 輸入交流電壓有效值 $V_{rms} = 120 \, \text{Vrms}$
• 頻率 $f = 60 \, \text{Hz}$
• 負載電阻 $R = 22 \, \Omega$
• 整流器為理想單相全波橋式整流器

解題步驟：

首先，我們需要知道輸入交流電壓的峰值 (maximum value)。
輸入交流電壓的峰值 $V_p$ 與有效值 $V_{rms}$ 的關係為 $V_p = V_{rms} \times \sqrt{2}$。
$V_p = 120 \, \text{V} \times \sqrt{2} \approx 120 \times 1.414 = 169.68 \, \text{V}$。

由於是理想的橋式整流器，輸出端的電壓波形是輸入電壓的絕對值，因此輸出電壓的峰值 $V_{out,p}$ 等於輸入電壓的峰值 $V_p$。
$V_{out,p} = V_p = 169.68 \, \text{V}$。

對於純電阻負載，輸出電壓 $v_{out}(t)$ 和輸出電流 $i_{out}(t)$ 的波形與輸入電壓的絕對值波形相同，只是比例不同（由電阻決定）。
$v_{out}(t) = |v_{in}(t)|$
$i_{out}(t) = \frac{v_{out}(t)}{R} = \frac{|v_{in}(t)|}{R}$

輸入交流電壓可以表示為 $v_{in}(t) = V_p \sin(\omega t)$，其中 $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 60 = 120\pi \, \text{rad/s}$。
所以，輸出電壓的瞬時值為 $v_{out}(t) = |V_p \sin(\omega t)|$。
輸出電流的瞬時值為 $i_{out}(t) = \frac{|V_p \sin(\omega t)|}{R}$。

(a) 求負載電流的平均值 (Average value of the load current)：

對於全波整流，輸出電壓（或電流）在一個週期內的平均值為：
$I_{avg} = \frac{1}{T} \int_0^T |i_{out}(t)| dt$
其中 $T$ 是週期。
對於全波整流，其平均值也可以簡化為 $I_{avg} = \frac{2}{\pi} I_p$，其中 $I_p$ 是輸出電流的峰值。

本題考查多個三相馬達連接至匯流排時的總功率、總電流及總功率因數計算。

核心觀念：

1. 功率計算：對於三相系統，視在功率 $S = \sqrt{3} V_{LL} I_L = 3 V_{ph} I_{ph}$，實功率 $P = S \cos\theta = \sqrt{3} V_{LL} I_L \cos\theta$，虛功率 $Q = S \sin\theta = \sqrt{3} V_{LL} I_L \sin\theta$。
2. 功率因數：功率因數 $PF = \cos\theta = \frac{P}{S}$。
3. 向量功率相加：多個負載連接在一起時，總視在功率 $S_{total} = S_1 + S_2 + S_3 + \dots$ (向量和)。
4. 總電流計算：總視在功率 $S_{total} = \sqrt{3} V_{LL} I_{L,total}$，因此總線電流 $I_{L,total} = \frac{S_{total}}{\sqrt{3} V_{LL}}$。
5. 總功率因數：總功率因數 $PF_{total} = \frac{P_{total}}{S_{total}}$。

已知條件：

• 匯流排電壓 $V_{LL} = 69 \, \text{kV} = 69000 \, \text{V}$ (線電壓)
• 頻率 $f = 60 \, \text{Hz}$
• 負載 1 (SCRIM1)：實功率 $P_1 = 100 \, \text{MW}$，功率因數 $PF_1 = 0.707$ 滯後 (lagging)
• 負載 2 (SCRIM2)：實功率 $P_2 = 200 \, \text{MW}$，功率因數 $PF_2 = 0.8$ 滯後 (lagging)
• 負載 3 (SM)：實功率 $P_3 = 150 \, \text{MW}$，功率因數 $PF_3 = 0.8$ 超前 (leading)

解題步驟：

首先，計算每個負載的虛功率 (Q) 和視在功率 (S)。

負載 1 (SCRIM1)：

• $P_1 = 100 \, \text{MW}$
• $PF_1 = 0.707$ 滯後。由於是滯後功率因數，意味著電流滯後於電壓，虛功率為正。
• $\theta_1 = \arccos(0.707) \approx 45^\circ$。
• $Q_1 = P_1 \tan(\theta_1) = 100 \, \text{MW} \times \tan(45^\circ) = 100 \, \text{MW} \times 1 = 100 \, \text{MVAr}$ (滯後)。
• $S_1 = \sqrt{P_1^2 + Q_1^2} = \sqrt{(100 \, \text{MW})^2 + (100 \, \text{MVAr})^2} = \sqrt{10000 + 10000} \, \text{MVA} = \sqrt{20000} \, \text{MVA} = 100\sqrt{2} \, \text{MVA} \approx 141.4 \, \text{MVA}$。
  或者 $S_1 = \frac{P_1}{PF_1} = \frac{100 \, \text{MW}}{0.707} \approx 141.44 \, \text{MVA}$。

負載 2 (SCRIM2)：

• $P_2 = 200 \, \text{MW}$
• $PF_2 = 0.8$ 滯後。虛功率為正。
• $\theta_2 = \arccos(0.8) \approx 36.87^\circ$。
• $Q_2 = P_2 \tan(\theta_2) = 200 \, \text{MW} \times \tan(36.87^\circ) \approx 200 \, \text{MW} \times 0.75 = 150 \, \text{MVAr}$ (滯後)。

本題考查三相感應電動機的同步轉速、負載轉速、轉子頻率及額定負載下的轉矩計算。

核心觀念：

1. 同步轉速：感應電動機的同步轉速 $N_s$ 取決於電源頻率 $f$ 和電機的極數 $p$ (每極對數)。公式為 $N_s = \frac{120 f}{2p}$ (rpm)，其中 $2p$ 是總極數。
2. 負載轉速：感應電動機的實際轉速 $N_r$ 低於同步轉速，兩者之差由滑差 (slip) $s$ 定義。滑差定義為 $s = \frac{N_s - N_r}{N_s}$。因此，$N_r = N_s (1-s)$。
3. 轉子頻率：轉子中的感應電勢和電流的頻率 $f_r$ 與滑差和電源頻率 $f$ 有關：$f_r = s \cdot f$。
4. 轉矩：在額定條件下，電動機的機械功率輸出 $P_{out}$ (即軸功率) 與轉矩 $\tau$ 和轉速 $N_r$ 的關係為 $P_{out} = \tau \cdot \omega_r = \tau \cdot \frac{2\pi N_r}{60}$。其中 $\omega_r$ 是角速度。因此，轉矩 $\tau = \frac{P_{out}}{\omega_r} = \frac{P_{out}}{\frac{2\pi N_r}{60}} = \frac{60 P_{out}}{2\pi N_r}$。

已知條件：

• 三相感應電動機
• 額定電壓 $V_{rated} = 220 \, \text{V}$
• 額定頻率 $f = 60 \, \text{Hz}$
• 極數 $2p = 8$ (即 $p=4$ 對極)
• 額定功率 (軸功率) $P_{out} = 15 \, \text{hp}$
• 額定負載滑差 $s_{full-load} = 5\% = 0.05$
• 1 hp = 746 W

解題步驟：

(a) 計算同步轉速 (rpm)：
同步轉速 $N_s$ 的公式為 $N_s = \frac{120 f}{2p}$。
代入已知數值：

核心觀念

本題考查兩部互聯同步機之間的相對運動。每部同步機皆滿足擺動方程式：

$$\frac{H_k}{\pi f_0}\frac{d^2\delta_k}{dt^2} =P_{mk}-P_{ek},\qquad k=1,2$$

其中：

• $H_k$：第 $k$ 部同步機的慣性常數
• $\delta_k$：第 $k$ 部同步機的功率角
• $P_{mk}$：機械輸入功率
• $P_{ek}$：電磁輸出功率
• $P_{mk}-P_{ek}$：加速功率

兩機的相對功率角定義為：

$$\delta=\delta_1-\delta_2$$

因此：

$$\frac{d^2\delta}{dt^2} = \frac{d^2\delta_1}{dt^2} - \frac{d^2\delta_2}{dt^2}$$

本題的關鍵，是將兩部機的相對加速運動整理成單一等效同步機的擺動方程式。

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解題方法與推導

先分別寫出兩部同步機的擺動方程式：

$$\frac{H_1}{\pi f_0}\frac{d^2\delta_1}{dt^2} = P_{m1}-P_{e1}$$ $$\frac{H_2}{\pi f_0}\frac{d^2\delta_2}{dt^2} = P_{m2}-P_{e2}$$

整理得：

$$\frac{d^2\delta_1}{dt^2} = \frac{\pi f_0}{H_1}(P_{m1}-P_{e1})$$ $$\frac{d^2\delta_2}{dt^2} = \frac{\pi f_0}{H_2}(P_{m2}-P_{e2})$$

由 $\delta=\delta_1-\delta_2$，可得：

$$\frac{d^2\delta}{dt^2} = \frac{\pi f_0}{H_1}(P_{m1}-P_{e1}) - \frac{\pi f_0}{H_2}(P_{m2}-P_{e2})$$

即：

$$\frac{d^2\delta}{dt^2} = \pi f_0 \left[ \frac{P_{m1}-P_{e1}}{H_1} - \frac{P_{m2}-P_{e2}}{H_2} \right]$$

將右側通分：

$$\frac{d^2\delta}{dt^2} = \frac{\pi f_0}{H_1H_2} \left[ H_2(P_{m1}-P_{e1}) - H_1(P_{m2}-P_{e2}) \right]$$

展開括號：

$$\frac{d^2\delta}{dt^2} = \frac{\pi f_0}{H_1H_2} \left[ H_2P_{m1}-H_1P_{m2} - \left(H_2P_{e1}-H_1P_{e2}\right) \right]$$

希望將其寫成單一同步機形式：

$$\frac{H}{\pi f_0}\frac{d^2\delta}{dt^2} = P_m-P_e$$

因此定義等效慣性常數為：

$$\boxed{ H=\frac{H_1H_2}{H_1+H_2} }$$