114 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電力工程（含電機機械、電力電子、電力系統）》

核心觀念

變壓器效率為

$$\eta=\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{out}}+P_{\text{loss}}}$$

其中：

• 鐵損 $P_i$：額定電壓固定時近似為定值。
• 銅損 $P_{cu}$：與負載電流平方成正比。若負載率為 $x$，則 $$P_{cu}=x^2P_{cu,\text{FL}}$$
• 最大效率條件為 $$P_{cu}=P_i$$

令變壓器額定容量為 $S$，滿載銅損為 $P_{cu,\text{FL}}$，鐵損為 $P_i$。

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解題方法

已知在負載率 $x=0.7$、功率因數 $0.8$ 落後時效率最大，因此

$$P_i=(0.7)^2P_{cu,\text{FL}}$$

所以

$$P_i=0.49P_{cu,\text{FL}}$$

此時最大效率為 $98\%$。

輸出功率為

$$P_{\text{out},\max}=0.7S\times 0.8=0.56S$$

最大效率時，鐵損與銅損相等，而此時銅損為 $0.49P_{cu,\text{FL}}$，故總損失為

$$P_{\text{loss},\max} =P_i+0.49P_{cu,\text{FL}} =0.98P_{cu,\text{FL}}$$

由效率公式：

$$0.98=\frac{0.56S}{0.56S+0.98P_{cu,\text{FL}}}$$

整理得

$$0.98(0.56S+0.98P_{cu,\text{FL}})=0.56S$$ $$0.9604P_{cu,\text{FL}}=0.0112S$$

核心觀念

本題考查三相平衡負載的複數功率分析，以及兩瓦特計法。

採用負載吸收功率的符號 convention：

• 有功功率：$P>0$
• 感性負載滯後：$Q>0$
• 容性負載超前：$Q<0$
• 複數功率：
  $S=P+jQ$
• 三相平衡電路的總視在功率：
  $|S|=\sqrt{3}V_LI_L$
• 功率因數：
  $\mathrm{pf}=\frac{P}{|S|}=\cos\phi$

其中 $V_L=480\ \mathrm{V}$、$I_L=90\ \mathrm{A}$。

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解題方法

先求三個負載的總複數功率，再以

$S_{\text{total}}=S_A+S_B+S_X$

求出未知負載 $X$ 的複數功率。

總視在功率為

$$|S_{\text{total}}| =\sqrt{3}(480)(90) =74.823\ \mathrm{kVA}$$

總功率因數為 $0.8$ 滯後，因此

$$P_{\text{total}}=|S_{\text{total}}|(0.8) =59.859\ \mathrm{kW}$$ $$Q_{\text{total}} =|S_{\text{total}}|\sin(\cos^{-1}0.8) =|S_{\text{total}}|(0.6) =44.894\ \mathrm{kvar}$$

故

$S_{\text{total}}=59.859+j44.894\ \mathrm{kVA}$

負載 A

負載 A 的視在功率為 $6\ \mathrm{kVA}$，功率因數為 $0.8$ 滯後：

$P_A=6(0.8)=4.8\ \mathrm{kW}$

$$Q_A=6\sqrt{1-0.8^2} =6(0.6)=3.6\ \mathrm{kvar}$$

因此

$S_A=4.8+j3.6\ \mathrm{kVA}$

負載 B

負載 B 的有功功率為 $8\ \mathrm{kW}$，功率因數為 $0.6$ 超前。

其視在功率為

$$|S_B|=\frac{P_B}{\mathrm{pf}} =\frac{8}{0.6} =13.333\ \mathrm{kVA}$$

由於為超前功率因數，無功功率為負：

$Q_B=-P_B\tan(\cos^{-1}0.6)$

$$Q_B=-8\left(\frac{0.8}{0.6}\right) =-10.667\ \mathrm{kvar}$$

因此

$S_B=8-j10.667\ \mathrm{kVA}$

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（1）未知負載的功率

未知負載 $X$ 的複數功率為

$S_X=S_{\text{total}}-S_A-S_B$

有功功率

$P_X=59.859-4.8-8$

$\boxed{P_X=47.059\ \mathrm{kW}}$

無功功率

$Q_X=44.894-3.6-(-10.667)$

$\boxed{Q_X=51.960\ \mathrm{kvar}}$

$Q_X>0$，所以未知負載呈感性，功率因數為滯後。

視在功率

$|S_X|=\sqrt{P_X^2+Q_X^2}$

$$|S_X| =\sqrt{(47.059)^2+(51.960)^2}$$

核心觀念

本題考查高壓斷路器的電壓範圍因數（voltage range factor）及短路遮斷電流隨操作電壓變化的關係。

在電壓範圍內，斷路器的遮斷能力以「短路容量近似固定」表示，因此有：

$$\sqrt{3}VI_{\mathrm{sc}}=\text{常數}$$

故短路電流與操作電壓成反比：

$$V_1I_1=V_2I_2$$

電壓範圍因數定義為：

$$K=\frac{V_{\max}}{V_{\min}}$$

其中：

• $V_{\max}=72.5\ \text{kV}$
• $V_{\min}=60\ \text{kV}$
• $I_{\mathrm{sc,min}}=23\ \text{kA}$

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解題方法與計算

（1）電壓範圍因數

依定義：

$$K=\frac{V_{\max}}{V_{\min}} =\frac{72.5}{60} =1.2083$$

因此：

$$\boxed{K\approx 1.21}$$

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（2）最高額定電壓下的指定短路電流

由短路容量近似固定：

$$V_{\min}I_{\mathrm{sc,min}} = V_{\max}I_{\mathrm{sc,max}}$$

因此：

$$I_{\mathrm{sc,max}} = I_{\mathrm{sc,min}} \frac{V_{\min}}{V_{\max}}$$

代入數值：

$$I_{\mathrm{sc,max}} = 23\left(\frac{60}{72.5}\right) =19.034\ \text{kA}$$

故最高額定電壓 $72.5\ \text{kV}$ 下：

$$\boxed{I_{\mathrm{sc,max}}\approx 19.0\ \text{kA}}$$

也可利用電壓範圍因數直接計算：

本題考驗變壓器、全波橋式整流器以及純電阻負載的相關電路分析。

已知條件：
單相全波橋式整流器後接純電阻負載。
變壓器為降壓變壓器，匝數比 (Turns Ratio, $a$) = 5。
負載端的直流電壓 $V_{dc} = 100$ V。

令：
$V_{p}$ 為變壓器一次側電壓 (Primary voltage)
$V_{s}$ 為變壓器二次側電壓 (Secondary voltage)
$a = \frac{N_p}{N_s} = 5$
$V_p = a V_s = 5 V_s$

對於全波橋式整流器，連接到負載的 AC 電壓的 RMS 值為 $V_{s,rms}$。
負載端的直流電壓 $V_{dc}$ 與二次側 AC 電壓的 RMS 值 $V_{s,rms}$ 的關係為：
$V_{dc} = \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} V_{s,rms}$
其中 $\frac{2 \sqrt{2}}{\pi} \approx 0.9003$。

(1) 求變壓器二次側 AC 電壓的 RMS 值 ($V_{s,rms}$)。
由 $V_{dc} = \frac{2 \sqrt{2}}{\pi} V_{s,rms}$，我們可以得到：
$V_{s,rms} = \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} V_{dc}$