114 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電路學》

核心觀念

本題考理想自耦變壓器的電壓比、阻抗反映，以及戴維寧等效電路的最大平均功率傳輸定理。

最大平均功率傳輸時，負載阻抗須等於戴維寧阻抗的共軛：

$$\mathbf{Z}_L=\mathbf{Z}_{\mathrm{th}}^{*}$$

若戴維寧電壓以有效值表示，最大平均功率為：

$$P_{\max}=\frac{|\mathbf{V}_{\mathrm{th}}|^2}{4R_{\mathrm{th}}}$$

解題方法

依圖中點標記，$N_1$ 與 $N_2$ 串接為加成電壓。電源接在 $N_1$ 兩端，負載接在 $N_1+N_2$ 的總端點，因此輸出對輸入的電壓比為：

$$a=\frac{N_1+N_2}{N_1} =\frac{600+200}{600} =\frac{4}{3}$$

先求負載端的戴維寧電壓。負載開路時，電源阻抗中沒有電流，因此 $N_1$ 兩端電壓為 $\mathbf{V}_s$；輸出電壓則按匝數比放大：

$$\mathbf{V}_{\mathrm{th}}=a\mathbf{V}_s =\frac{4}{3}(120\angle 0^\circ) =160\angle 0^\circ\ \text{V}_{\mathrm{rms}}$$

核心觀念

電路為串聯電路，電流相同。$V_a$ 僅跨在電阻 $R_a$ 上，因此與電流同相；$V_b$ 跨在串聯的 $R_b$ 與電感 $L_b$ 上，會超前電流一個角度 $\phi$。總電壓是相量和 $\mathbf V_s=\mathbf V_a+\mathbf V_b$，不能直接把三個電壓的有效值作純量相加。

解題方法

先用三個電壓有效值的相量關係，求出 $\mathbf V_b$ 與電流的相位角：

$$|\mathbf V_s|^2 = |\mathbf V_a|^2+|\mathbf V_b|^2 +2|\mathbf V_a||\mathbf V_b|\cos\phi$$ $$\cos\phi = \frac{145^2-50^2-110^2}{2(50)(110)} = \frac{257}{440} \approx 0.5841$$

因 $V_a$ 與電流同相，$V_b$ 的同相分量就是電阻 $R_b$ 上的電壓：

$$V_{R_b}=|V_b|\cos\phi =110\left(\frac{257}{440}\right) =64.25\ \text{V}$$

而 $V_b$ 的正交分量就是電感上的電壓：

核心觀念

• 串聯 $RLC$ 電路的二階系統可寫成標準二階微分方程
  $L\,\frac{d^{2}i(t)}{dt^{2}}+R\,\frac{di(t)}{dt}+ \frac{i(t)}{C}=0$
• 系統的特徵方程為
  $L s^{2}+R s+\frac{1}{C}=0$
• 若特徵根為兩個實根 $s_{1},s_{2}$（過阻尼），則時間常數 $\tau_{1},\tau_{2}$ 為
  $\tau_{1}=-\frac{1}{s_{1}},\qquad \tau_{2}=-\frac{1}{s_{2}}$
• 兩根的乘積與和分別對應
  $s_{1}s_{2}= \frac{1}{LC},\qquad s_{1}+s_{2}= -\frac{R}{L}$

解題方法

1. 先把題目給的時間常數換算成特徵根

$$\tau_{1}=0.1\;\text{ms}=1.0\times10^{-4}\ \text{s},\qquad \tau_{2}=0.5\;\text{ms}=5.0\times10^{-4}\ \text{s}$$ $$s_{1}=-\frac{1}{\tau_{1}}=-10^{4}\ \text{s}^{-1},\qquad s_{2}=-\frac{1}{\tau_{2}}=-2\times10^{3}\ \text{s}^{-1}$$

2. 用根的乘積求 $LC$

$$s_{1}s_{2}= \frac{1}{LC}\;\Longrightarrow\; (-10^{4})(-2\times10^{3})=\frac{1}{LC}$$

$\Rightarrow\;2\times10^{7}= \frac{1}{LC}$

核心觀念

• 傅立葉級數：週期訊號可寫成 DC 分量加上各頻率的正弦/餘弦項。
• 幅相表示：$A\sin\omega t + B\cos\omega t = C\sin(\omega t+\varphi)$，其中

$$C=\sqrt{A^{2}+B^{2}},\qquad \varphi=\tan^{-1}\!\left(\frac{B}{A}\right)$$

• 均方根 (RMS)：正弦波的 RMS 為振幅除以 $\sqrt{2}$。直流分量的 RMS 與本身相同。
• 電阻上平均功率：$P_{\text{avg}} = I_{\text{rms}}^{2}R = R\big(I_{\text{DC}}^{2}+\sum \frac{I_{\text{amp}}^{2}}{2}\big)$。

---

(1) 幅相形式

原式

$i(t)=4+6\sin(100\pi t)+8\cos(100\pi t)-3\sin(200\pi t)-4\cos(200\pi t)$

50 Hz 項（$\omega_{1}=100\pi$）

$$A_{1}=6,\;B_{1}=8\quad\Rightarrow\quad C_{1}= \sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$$

$\varphi_{1}= \tan^{-1}\!\left(\frac{8}{6}\right)=\tan^{-1}\!\left(\frac{4}{3}\right)\approx0.927\;\text{rad}=53.13^{\circ}$

$6\sin(100\pi t)+8\cos(100\pi t)=10\sin\!\big(100\pi t+0.927\big)$

100 Hz 項（$\omega_{2}=200\pi$）

$$A_{2}=-3,\;B_{2}=-4\quad\Rightarrow\quad C_{2}= \sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=5$$

$\varphi_{2}= \tan^{-1}\!\left(\frac{-4}{-3}\right)=\tan^{-1}\!\left(\frac{4}{3}\right)-\pi\approx-2.214\;\text{rad}$

$-3\sin(200\pi t)-4\cos(200\pi t)=5\sin\!\big(200\pi t-2.214\big)$

最終幅相式

$$\boxed{ i(t)=4\;+\;10\sin\!\big(100\pi t+0.927\big)\;+\;5\sin\!\big(200\pi t-2.214\big) }$$

---

(2) 200 Ω 電阻上平均功率

1. 各分量的 RMS

$I_{\text{DC}} =4\ \text{A}$