115 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電路學》

此題主要考驗對週期訊號的定義、平均值和有效值的計算。對於週期訊號的組合，其週期由各分量週期的最小公倍數決定；平均值是直流分量；有效值則是直流分量平方與各交流分量 RMS 值平方和的平方根。

解題步驟如下：

1. 找出週期 (Period)：
   訊號 $v(t)$ 由一個直流分量 (-2) 和幾個不同頻率的正弦和餘弦函數組成。
   $v(t) = -2 + 10\cos(4t) + 8\cos(6t) + 6\cos(8t) – 5\sin(4t) - 3\sin(6t) – \sin(8t)$
   我們可以將其改寫成標準形式：
   $v(t) = -2 + (10\cos(4t) - 5\sin(4t)) + (8\cos(6t) - 3\sin(6t)) + (6\cos(8t) - \sin(8t))$
   各項的角頻率分別為 $\omega_1 = 4$, $\omega_2 = 6$, $\omega_3 = 8$ (rad/s)。
   對應的週期為 $T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$，
   $T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$，
   $T_3 = \frac{2\pi}{\omega_3} = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$。
   整個訊號的週期 $T$ 是這三個週期的最小公倍數 (LCM)。
   $T = \text{LCM}(T_1, T_2, T_3) = \text{LCM}(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4})$
   為了計算 LCM，我們可以將週期寫成 $\pi \times \frac{1}{2}, \pi \times \frac{1}{3}, \pi \times \frac{1}{4}$。
   LCM of fractions $\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f}$ is $\frac{\text{LCM}(a,c,e)}{\text{GCD}(b,d,f)}$.
   在此，我們有 $\pi \times \frac{1}{2}, \pi \times \frac{1}{3}, \pi \times \frac{1}{4}$。
   LCM of $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ is $\frac{\text{LCM}(1,1,1)}{\text{GCD}(2,3,4)} = \frac{1}{1} = 1$.
   所以，總週期 $T = \pi \times 1 = \pi$。

2. 計算平均值 (Average Value)：
   訊號的平均值 $V_{avg}$ 是訊號在一個週期內的積分除以週期。對於由直流分量和週期性交流分量組成的訊號，其平均值就是直流分量。
   $v(t) = -2 + (\text{交流分量})$
   因此，平均值 $V_{avg} = -2 \text{ V}$。

核心觀念

本題結合三個觀念：

1. 理想運算放大器輸入端不取電流。
2. 負回授下，運算放大器兩輸入端電壓相等，即 $v_+=v_-$。
3. 左側兩組電阻先產生上下兩個運算放大器的非反相輸入電壓；中間兩個運算放大器形成差動放大器，右側再以差動放大器放大兩者的電壓差。

依圖示，$v_i$ 為左側節點相對於接地的輸入電壓，右側 $R_T$、$R_y$ 的中點接地。

解題方法

1. 求上下兩個非反相輸入電壓

上方節點由 $R_s$ 與 $R_T$ 分壓：

$$v_{+1} =\frac{R_T}{R_s+R_T}v_i =\frac{30}{20+30}v_i =\frac{3}{5}v_i$$

下方節點由 $R_u$ 與 $R_y$ 分壓：

$$v_{+2} =\frac{R_y}{R_u+R_y}v_i =\frac{80}{40+80}v_i =\frac{2}{3}v_i$$

因此兩個輸入電壓之差為

$$v_{+1}-v_{+2} = \left(\frac{3}{5}-\frac{2}{3}\right)v_i = -\frac{1}{15}v_i$$

2. 求前級兩個運算放大器的輸出差

設上方與下方運算放大器輸出分別為 $v_1$、$v_2$。

由理想運算放大器的虛短路：

$$v_{-1}=v_{+1},\qquad v_{-2}=v_{+2}$$

對上方反相輸入節點套用 KCL：

$$\frac{v_{+1}-v_1}{R_2} + \frac{v_{+1}-v_{+2}}{R_3}=0$$

所以

$$v_1 = v_{+1} +\frac{R_2}{R_3}(v_{+1}-v_{+2})$$

同理，下方運算放大器輸出為

$$v_2 = v_{+2} +\frac{R_2}{R_3}(v_{+2}-v_{+1})$$

兩式相減得

核心觀念

本題考查二埠網路的 $z$ 參數（開路阻抗參數）：

$$\begin{aligned} V_1&=z_{11}I_1+z_{12}I_2,\\ V_2&=z_{21}I_1+z_{22}I_2. \end{aligned}$$

各參數定義為：

$$\begin{aligned} z_{11}&=\left.\frac{V_1}{I_1}\right|_{I_2=0},& z_{21}&=\left.\frac{V_2}{I_1}\right|_{I_2=0},\\ z_{12}&=\left.\frac{V_1}{I_2}\right|_{I_1=0},& z_{22}&=\left.\frac{V_2}{I_2}\right|_{I_1=0}. \end{aligned}$$

其中 $I_1=0$ 或 $I_2=0$ 代表相對應的輸入或輸出端開路。

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解題方法

圖 3 是電阻梯形網路：

• 左側串聯電阻：$R_a$
• 中間串聯電阻：$R_b$
• 第一個並聯電阻：$R_c$
• 第二個並聯電阻：$R_d$

已知

$$R_a=2\ \Omega,\qquad R_b=8\ \Omega,\qquad R_c=12\ \Omega,\qquad R_d=4\ \Omega.$$

1. 求 $z_{11}$ 與 $z_{21}$：令 $I_2=0$

輸出端開路時，輸出端沒有外部電流，但 $R_d$ 仍然接在輸出節點與下方公共節點之間。因此，從 $R_b$ 所在節點往地端看，有兩條並聯路徑：

$$R_c$$

以及

$$R_b+R_d.$$

所以輸入端看到的等效阻抗為

$$Z_{\text{in}} =R_a+\left[R_c\parallel(R_b+R_d)\right].$$

代入數值：

$$R_b+R_d=8+4=12\ \Omega,$$ $$R_c\parallel(R_b+R_d) =12\parallel12 =\frac{12\times12}{12+12} =6\ \Omega.$$

因此

$$z_{11}=R_a+6=2+6=8\ \Omega.$$

在 $I_2=0$ 時，電流 $I_1$ 分成兩條阻值相同的支路：

$$R_c=12\ \Omega,\qquad R_b+R_d=12\ \Omega.$$

流經 $R_b+R_d$ 支路的電流為 $I_1/2$，故輸出端電壓等於 $R_d$ 上的電壓：

$$V_2=\frac{I_1}{2}R_d =\frac{I_1}{2}(4) =2I_1.$$

所以

核心觀念

本題考查二階 RLC 電路的暫態響應（二階常微分方程初值問題），核心要點包含：

1. 直流穩態性質：
   • 電容視為開路（$i_C = 0$）。
   • 電感視為短路（$v_L = 0$）。
2. 狀態變數連續性：
   • 電感電流不能突變：$i_L(0^+) = i_L(0^-)$。
   • 電容電壓不能突變：$v_C(0^+) = v_C(0^-)$。
3. 電路等效化簡（戴維寧等效定理）：
   開關動作後，被旁路或獨立的電路部分可簡化，將激勵源與電阻化為等效電壓源與等效電阻，建立標準二階微分方程求解。

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解題方法

步驟一：求解開關閉合前的初始條件（$t = 0^-$ 直流穩態）

開關在 $t < 0$ 處於開啟狀態已久，電路達到直流穩態：

• 電容 $C$ 視為開路，因此與其串聯的電感支路無電流：
  $i_L(0^-) = 0\text{ A}$
• 電感 $L$ 視為短路，電感兩端電壓為零，故電感左端節點電壓等於電容電壓 $v(0^-)$。

定義節點電壓（以電路底部共用端為接地參考點 $0\text{ V}$）：

• 設開關上方節點為 $v_A$。
• 設電感左側節點為 $v_B$。

分析各節點的 KCL：

1. 節點 B 的 KCL：
   流向電感的電流為 $i_L(0^-) = 0$。流經 $R_{s2}$ 進入節點 B 的電流必須等於由節點 B 經 $I_{s2}$ 流向節點 A 的電流：
   $\frac{v_A(0^-) - v_B(0^-)}{R_{s2}} = I_{s2}$
   代入 $R_{s2} = 6\ \Omega$、$I_{s2} = 2\text{ A}$：
   $\frac{v_A(0^-) - v_B(0^-)}{6} = 2 \implies v_A(0^-) - v_B(0^-) = 12\text{ V}$

2. 節點 A 的 KCL：
   流入節點 A 的電流總和等於流出節點 A 的電流總和：
   $I_{s1} + I_{s2} = \frac{v_A(0^-)}{R_{s1}} + \frac{v_A(0^-) - v_B(0^-)}{R_{s2}}$
   代入已知數值：
   $4 + 2 = \frac{v_A(0^-)}{1} + 2 \implies v_A(0^-) = 4\text{ V}$

   由此可得節點 B 電壓：
   $v_B(0^-) = v_A(0^-) - 12 = 4 - 12 = -8\text{ V}$

因穩態時電感短路，電容電壓即為節點 B 的電壓：
$v(0^-) = v_B(0^-) = -8\text{ V}$

利用狀態變數的連續性，求得 $t = 0^+$ 瞬間的初始值：
$v(0^+) = v(0^-) = -8\text{ V}$
$i_L(0^+) = i_L(0^-) = 0\text{ A}$

又因電容電流 $i_C(t) = C \frac{dv(t)}{dt} = i_L(t)$，故電壓一階微分的初始值為：
$\left.\frac{dv}{dt}\right|_{t=0^+} = \frac{i_L(0^+)}{C} = \frac{0}{0.04} = 0\text{ V/s}$

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步驟二：建立 $t > 0$ 時的動態方程式

當 $t = 0$ 開關閉合後：

• 開關將節點 A 直接接地（$v_A(t) = 0\text{ V}$）。
• 左側的電源 $I_{s1}$ 與電阻 $R_{s1}$ 被開關完全短路旁路，對右側電路無任何動態影響。

對節點 B 左側的電源網路進行戴維寧等效（以接地為參考）：

• 開路等效電壓 $V_{th}$：
  電流源 $I_{s2} = 2\text{ A}$ 流向接地的節點 A，在 $R_{s2} = 6\ \Omega$ 上產生由接地指向節點 B 的壓降：
  $V_{th} = 0 - I_{s2} R_{s2} = -(2)(6) = -12\text{ V}$
• 等效電阻 $R_{th}$：
  將電流源開路後，自節點 B 往左看入的電阻為：
  $R_{th} = R_{s2} = 6\ \Omega$

因此，$t > 0$ 的電路簡化為一個串聯 RLC 電路，受獨立直流源 $V_{th} = -12\text{ V}$ 驅動。