112 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電路學》

核心觀念

戴維寧等效電路由開路電壓 $V_{\mathrm{th}}$ 與等效電阻 $R_{\mathrm{th}}$ 組成。開路時求端電壓；求等效電阻時，將獨立電壓源短路、獨立電流源開路，並保留受控源，再從端點施加測試電壓。

圖中 $u_{\Delta}=V_a-V_c$，受控電流源大小為 $0.5u_{\Delta}$，方向由端點 $b$ 向下。以下以 $V_{ab}=V_a-V_b$ 定義端電壓。

解題方法

(a) 求戴維寧電壓

移除負載 $R_o$，令底部導線為參考地。兩個獨立電壓源設定 $V_a=40\text{ V}$，以及 $3\,\Omega$ 電阻下端的電位為 $220\text{ V}$。設 $2\,\Omega$ 與 $1\,\Omega$ 電阻交會處的電位為 $V_c$。

在節點 $c$ 寫 KCL：

$$\frac{V_c-40}{2}+(V_c-V_b)+\frac{V_c-220}{3}=0$$

整理得：

$$11V_c-6V_b=560$$

在節點 $b$ 寫 KCL，包含 $7\,\Omega$ 電阻、$1\,\Omega$ 電阻及受控電流源：

$$\frac{V_b-40}{7}+(V_b-V_c)+0.5(40-V_c)=0$$

整理得：

$$16V_b-21V_c=-200$$

聯立解得：

$$V_c=155.2\text{ V},\qquad V_b=191.2\text{ V}$$

因此：

$$V_{\mathrm{th}}=V_{ab}=V_a-V_b=40-191.2=-151.2\text{ V}$$

負號表示開路時 $b$ 端電位比 $a$ 端高 $151.2\text{ V}$。

(b) 求戴維寧電阻

將 $40\text{ V}$ 與 $220\text{ V}$ 獨立電壓源短路，保留受控源。在 $a,b$ 端施加測試電壓 $V_{ab}=1\text{ V}$。因為短路後 $a$ 接地，取 $V_a=0$、$V_b=-1\text{ V}$。

節點 $c$ 的 KCL 為：

核心觀念

1. 換路瞬間的連續性：開關切換瞬間，電容電壓與電感電流不能突變：

$$v_C(0^+)=v_C(0^-),\qquad i_L(0^+)=i_L(0^-)$$

2. 含相依電源的電阻網路要用外加測試求等效電阻：不能把電阻直接串並聯，必須寫出端點電壓與電流的比值。
3. 並聯 RLC 自然響應：$R$、$L$、$C$ 三者並聯、共用同一個電壓 $v$ 時，

$$\alpha=\frac{1}{2RC},\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}$$

$\alpha<\omega_0$ 為欠阻尼，通解為 $v(t)=e^{-\alpha t}\left(B_1\cos\omega_d t+B_2\sin\omega_d t\right)$。

---

解題方法

圖 Fig. 2：左側為 $50\text{ V}$ 電源串 $2\text{ k}\Omega$，再並接 $3\text{ k}\Omega$；開關的活動端接 $0.25\ \mu\text{F}$ 電容。開關在 $a$ 時電容並在 $3\text{ k}\Omega$ 兩端；切到 $b$ 後電容改接到右側，與 $40\text{ H}$ 電感並聯，$v_o$ 為電感（也就是電容）兩端電壓。電感上端再經相依電壓源 $2\times10^4 i_\phi$（左 $-$ 右 $+$）接到 $80\text{ k}\Omega$ 與 $20\text{ k}\Omega$ 的並聯，$i_\phi$ 為 $80\text{ k}\Omega$ 中向上的電流。

步驟 1：求 $t=0^-$ 的初始條件

開關在 $a$ 很久，電容視為開路，電容電壓等於 $3\text{ k}\Omega$ 的分壓：

$$v_C(0^-)=50\times\frac{3}{2+3}=30\text{ V}$$

右半部（電感與相依電源網路）沒有任何獨立電源，故

$$i_L(0^-)=0$$

步驟 2：化簡 $t>0$ 右側的相依電源網路

設相依電源右端節點電壓為 $v_R$。相依電源 $-$ 端接 $v_o$ 節點、$+$ 端接 $v_R$ 節點：

$$v_R=v_o+2\times10^4\, i_\phi$$

$i_\phi$ 在 $80\text{ k}\Omega$ 中由下往上流，與「由 $v_R$ 往地」的方向相反：

$$i_\phi=-\frac{v_R}{80\times10^3}$$

代入得

$$v_R=v_o-\frac{v_R}{4}\ \Longrightarrow\ v_R=0.8\,v_o$$

由 $v_o$ 節點流進這個網路的電流等於流經兩個電阻的電流和：

$$i=\frac{v_R}{80\text{ k}\Omega}+\frac{v_R}{20\text{ k}\Omega}=\frac{v_R}{16\text{ k}\Omega}=\frac{0.8\,v_o}{16\text{ k}\Omega}=\frac{v_o}{20\text{ k}\Omega}$$

所以從 $v_o$ 往右看，整個網路等效為

$$R_{eq}=20\text{ k}\Omega$$

核心觀念

理想運算放大器在線性工作時，兩個輸入端電壓相等，且輸入端電流為零。圖中反相端的 $R_f$ 與 $R_s=12\,\text{k}\Omega$ 構成非反相放大器，閉迴路增益為

$$A_v=1+\frac{R_f}{R_s}.$$

非反相端則由 $v_a$、$v_b$、$v_c$ 經電阻加權，並透過 $R_g=4\,\text{k}\Omega$ 接地。

解題方法

先在非反相端套用節點電流定律。因運算放大器輸入電流為零，該節點電壓 $v_+$ 為

$$v_+ = \frac{\dfrac{v_a}{R_a}+\dfrac{v_b}{R_b}+\dfrac{v_c}{R_c}} {\dfrac{1}{R_a}+\dfrac{1}{R_b}+\dfrac{1}{R_c}+\dfrac{1}{R_g}}.$$

反相端電壓等於 $v_+$，因此輸出為

$$v_o = \left(1+\frac{R_f}{R_s}\right)v_+.$$

令 $G=1+\dfrac{R_f}{R_s}$，比較 $v_a$、$v_b$、$v_c$ 的係數。題目要求係數比為 $3:2:1$，所以

$$\frac{1}{R_a}:\frac{1}{R_b}:\frac{1}{R_c}=3:2:1.$$

已知 $R_a=2\,\text{k}\Omega$，因此

$$\frac{1}{R_b}=\frac{2}{3}\frac{1}{R_a} =\frac{1}{3\,\text{k}\Omega}, \qquad R_b=3\,\text{k}\Omega,$$

核心觀念

1. 戴維寧／諾頓等效：$\mathbf{V}_{Th}$ 為 $a$-$b$ 開路電壓；$\mathbf{Z}_{Th}$ 為獨立電源歸零後由 $a$-$b$ 看進去的阻抗；諾頓等效 $\mathbf{I}_N=\mathbf{V}_{Th}/\mathbf{Z}_{Th}$，$\mathbf{Z}_N=\mathbf{Z}_{Th}$。
2. 互感的打點規則：電流流入某線圈的打點端時，另一線圈的打點端感應出正的互感電壓 $j\omega M\,\mathbf{I}$；電流由打點端流出時，互感電壓反號。
3. 線圈沒有電流時，自感壓降為零，但仍可能有互感電壓——開路求 $\mathbf{V}_{Th}$ 時最常漏掉這一項。

---

解題方法

圖 Fig. 4：$100\angle30^\circ\text{ V}$ 電源串 $20\ \Omega$ 到節點 $X$；$X$ 到 $b$ 為 $j10\ \Omega$ 線圈（打點在下端，靠 $b$）；$X$ 到 $a$ 為 $j20\ \Omega$ 線圈（打點在右端，靠 $a$）；兩線圈互感 $j\omega M=j5\ \Omega$。

(a) 戴維寧等效

1. 開路電壓 $\mathbf{V}_{Th}$

$a$-$b$ 開路，$j20$ 線圈無電流，迴路電流只流過 $20\ \Omega$ 與 $j10\ \Omega$：

$$\mathbf{I}=\frac{100\angle30^\circ}{20+j10}=\frac{100\angle30^\circ}{22.36\angle26.57^\circ}=4.472\angle3.43^\circ\text{ A}$$

$\mathbf{I}$ 在 $j10$ 線圈中由上往下流，是從非打點端流入，因此在 $j20$ 線圈的打點端（$a$ 側）感應出負的互感電壓：

$$\mathbf{V}_a-\mathbf{V}_X=-j5\,\mathbf{I}$$

而 $\mathbf{V}_X=j10\,\mathbf{I}$，所以

$$\mathbf{V}_{Th}=j10\,\mathbf{I}-j5\,\mathbf{I}=j5\,\mathbf{I}=\frac{j500\angle30^\circ}{20+j10}=22.36\angle93.43^\circ\text{ V}$$

（直角座標約為 $-1.34+j22.32\text{ V}$）

2. 等效阻抗 $\mathbf{Z}_{Th}$

電壓源短路，在 $a$ 端注入測試電流 $\mathbf{I}_t$（流經 $j20$ 線圈由 $a$ 到 $X$，從打點端流入）。設 $j10$ 線圈中由上往下的電流為 $\mathbf{I}_1$，則 $20\ \Omega$ 中由 $X$ 流向地的電流為 $\mathbf{I}_t-\mathbf{I}_1$。

$j10$ 線圈（$\mathbf{I}_t$ 流入 $j20$ 的打點端，使 $j10$ 的打點端——下端——為正）：

$$\mathbf{V}_X=j10\,\mathbf{I}_1-j5\,\mathbf{I}_t$$

$20\ \Omega$ 電阻：

$$\mathbf{V}_X=20(\mathbf{I}_t-\mathbf{I}_1)$$

兩式相等：

核心觀念

單相負載的總複功率可將各負載的複功率相加：

$$\underline{S}=P+jQ$$

電阻性負載只消耗實功率；感性負載消耗正的虛功率；理想電容提供負的虛功率。視在功率、功率因數與功率角的關係為：

$$|S|=\sqrt{P^2+Q^2},\qquad \mathrm{pf}=\frac{P}{|S|},\qquad \phi=\tan^{-1}\left(\frac{Q}{P}\right)$$

單相電源的複功率也滿足 $\underline{S}=\underline{V}\underline{I}^{*}$，其中 $^{*}$ 表示複共軛。

解題方法

先分別計算三種負載的實功率與虛功率，再將功率相加。馬達功率因數為 $0.75$，且為感性，因此其虛功率為正：

$$Q_{\text{馬達}} =P_{\text{馬達}}\tan(\cos^{-1}0.75) =60\times\frac{\sqrt{7}}{3} =20\sqrt{7} \approx52.92\ \text{kVAR}$$

電容器理想，提供 $20\ \text{kVAR}$ 容性虛功率；照明負載為純電阻，消耗 $20\ \text{kW}$，虛功率為零。因此總實功率與總虛功率為：

$$P_{\text{總}}=60+20=80\ \text{kW}$$ $$Q_{\text{總}}=52.92-20=32.92\ \text{kVAR}$$

總虛功率為正，表示工業負載整體仍呈感性。故複功率與視在功率為：

$$\underline{S}_{\text{總}}=80+j32.92\ \text{kVA}$$ $$|S_{\text{總}}| =\sqrt{80^2+32.92^2} \approx86.51\ \text{kVA}$$

整體功率因數與功率角為：

$$\mathrm{pf}=\frac{80}{86.51}\approx0.9248$$

核心觀念

1. 理想運算放大器：輸入端不吸電流、兩輸入端等電位（虛短路）。
2. 電壓隨耦器（Voltage Follower）：輸出直接接回反相端，$v_o=v_+$，增益為 $1$。它的用途是緩衝：前級 RC 網路的輸出不受負載影響，所以轉移函數就是 RC 分壓本身。
3. $s$ 域阻抗：電阻 $R$，電容 $\dfrac{1}{sC}$。

---

解題方法

Fig. 6 兩個電路都是「RC 分壓網路＋電壓隨耦器」，只差 $R$、$C$ 的位置。由於非反相端不吸電流，RC 網路等於開路輸出，可直接用分壓。

(a) $R$ 串聯、$C$ 接地 → 一階低通濾波器

非反相端電壓為 $C$ 上的分壓：

$$V_+(s)=\frac{\dfrac{1}{sC}}{R+\dfrac{1}{sC}}V_i(s)=\frac{1}{1+sRC}V_i(s)$$

電壓隨耦器使 $V_o=V_+$：

$$\mathbf{H}_a(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{1+sRC}=\frac{1/RC}{s+1/RC}$$

低頻（$s\to0$）增益 $1$、高頻增益趨近 $0$，截止角頻率 $\omega_c=\dfrac{1}{RC}$。