108 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電路學》

核心觀念

線性電路的戴維寧等效為：

$$V_{\text{Th}}=V_{ab}\big|_{\text{開路}},\qquad R_{\text{Th}}=\frac{V_{\text{test}}}{I_{\text{test}}}$$

本題含受控源，不能直接將受控源關閉，必須在端點 $a-b$ 加入測試電壓源或測試電流源求等效電阻。

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1. 求戴維寧電壓 $V_{\text{Th}}$

電路中沒有獨立電壓源或獨立電流源，只有受控源。端點 $a-b$ 開路時，電路唯一的自然解為所有電壓與電流皆為零，因此：

$$V_{\text{Th}}=V_{ab}=0$$

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2. 求戴維寧電阻 $R_{\text{Th}}$

在 $a-b$ 端加一個測試電壓源，令：

$$V_{ab}=V$$

取端點 $b$ 為參考地，設中央節點電壓為 $v$。圖中：

$$v_o=V-v$$

而 $20\Omega$ 電阻中的控制電流為：

$$i_o=\frac{v}{20}$$

受控電流源大小為：

$$0.1i_o=0.1\left(\frac{v}{20}\right)=\frac{v}{200}$$

方向由中央節點流向節點 $a$。

底部受控電壓源的左端電壓為：

$$v_d=2v_o=2(V-v)$$

中央節點套用 KCL

中央節點流出的電流代數和為零：

$$\frac{v-V}{10} +\frac{v}{20} +\frac{v-v_d}{40} +\frac{v}{200}=0$$

代入 $v_d=2(V-v)$：

$$\frac{v-V}{10} +\frac{v}{20} +\frac{v-2(V-v)}{40} +\frac{v}{200}=0$$

核心觀念

將負載電阻 $R_L$ 兩端的電阻陣列化為戴維寧等效電路：

$$\text{電阻陣列} \longrightarrow V_{\mathrm{th}} \text{ 串聯 } R_{\mathrm{th}}$$

因此負載電壓為

$$V_o=V_{\mathrm{th}}\frac{R_L}{R_{\mathrm{th}}+R_L}$$

而負載電流為

$$I_L=\frac{V_{\mathrm{th}}}{R_{\mathrm{th}}+R_L}$$

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解題方法

令右下方節點為參考地，左下方電池端電壓為 $9\ \mathrm{V}$。令左下方內部節點電壓為 $x$，中間左、右節點電壓分別為 $v_1,v_2$。

1. 求戴維寧電壓 $V_{\mathrm{th}}$

將 $R_L$ 開路。由於最上方兩個節點開路，左右上方的 $10\ \Omega$ 均無電流通過，因此：

$$V_{\mathrm{th}}=v_1-v_2$$

對中間兩節點寫 KCL：

$$\frac{v_1-x}{8}+\frac{v_1-v_2}{60}=0$$ $$\frac{v_2}{8}+\frac{v_2-v_1}{60}=0$$

整理得：

$$17v_1-2v_2=15x$$ $$-2v_1+17v_2=0$$

解得：

$$v_1=\frac{17}{38}x,\qquad v_2=\frac{2}{19}x$$

再對左下方節點 $x$ 寫 KCL：

$$\frac{x-9}{10}+\frac{x}{40}+\frac{x-v_1}{8}=0$$

代入 $v_1=\dfrac{17}{38}x$：

$$x=\frac{1368}{295}\ \mathrm{V}$$

所以：

$$V_{\mathrm{th}} =v_1-v_2 =\left(\frac{17}{38}-\frac{2}{19}\right)x =\frac{468}{295} \approx 1.586\ \mathrm{V}$$

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2. 求戴維寧電阻 $R_{\mathrm{th}}$

將獨立電壓源 $9\ \mathrm{V}$ 短路，並由 $R_L$ 端看入電阻網路。

施加測試電壓：

$$V_t=1\ \mathrm{V}$$

以節點分析求得測試電流：

$$I_t=\frac{181}{4130}\ \mathrm{A}$$

因此：

核心觀念

本題使用理想運算放大器的兩項特性：

• 非反相端接地，因此反相端為虛地：$v_-=0$。
• 輸入端不吸收電流。

此外，電容電壓不可瞬間改變，並可利用拉氏轉換分析一階、二階電路的暫態響應。

令 $R=R_1=R_2=10\,\text{k}\Omega$、$C=C_1=C_2=100\,\mu\text{F}$，則

$$RC=(10\times10^3)(100\times10^{-6})=1\,\text{s}.$$

(a) $v_o(0)$ 與 $v_o(\infty)$

在 $t<0$ 時，$v_i(t)=0$，電路處於穩態，因此兩個電容電壓皆為零，且輸出為零。

由電容電壓連續性：

$$v_o(0^+)=v_o(0^-)=0.$$

在 $t\to\infty$ 的直流穩態，$C_1$、$C_2$ 視為開路。反相端沒有電流流入，經由 $R_2$ 可得輸出端電流為零，因此

$$v_o(\infty)=0.$$

所以

$$\boxed{v_o(0)=0,\qquad v_o(\infty)=0}.$$

(b) 求 $v_o(t)$

設 $R_1$ 與 $C_2$ 之間的節點電壓為 $v_x$。由虛地條件，$C_2$ 的另一端電壓為 $0$。

在反相端寫 KCL：

$$-C_2\frac{dv_x}{dt}-\frac{v_o}{R_2}=0,$$

因此

$$v_o=-R_2C_2\frac{dv_x}{dt}.$$

在 $v_x$ 節點寫 KCL：

$$\frac{v_x-v_i}{R_1} +C_2\frac{dv_x}{dt} +C_1\frac{d(v_x-v_o)}{dt}=0.$$

取拉氏轉換，初始電容電壓為零：

核心觀念

本題要求二埠網路的導納參數：

$$\begin{bmatrix} I_1\\[2pt] I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_{11}&y_{12}\\ y_{21}&y_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1\\[2pt] V_2 \end{bmatrix}$$

其中 $I_1,I_2$ 均定義為流入二埠網路的電流。電路使用到：

• 電阻：$Y_R=1/R$
• 電感：$Y_L=1/(sL)$
• 電容：$Y_C=sC$
• 理想變壓器匝數比：$N_1:N_2=2:1$

由圖中點標記，理想變壓器滿足

$$v_p=2v_q$$

且若一次側電流 $i_p$ 與二次側電流皆定義為流入點端，則

$$i_q=-2i_p$$

其中 $v_p$ 為一次側點端電壓，$v_q$ 為二次側點端電壓。

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解題方法

以下將圖中兩個端口下端的共接線作為參考地，左、右端口電壓分別為 $V_1,V_2$。

1. 直接連接兩端口的 $2\,\Omega$ 電阻

此電阻電流由左端流向右端為

$$i_R=\frac{V_1-V_2}{2}$$

2. 求含變壓器支路的電流

設一次側串聯電阻後的點端電壓為 $v_p$，二次側點端電壓為 $v_q$，一次側電流為 $i_p$。

一次側 $2\,\Omega$ 電阻滿足

$$V_1-v_p=2i_p$$

由理想變壓器匝數比 $2:1$：

$$v_p=2v_q \quad\Longrightarrow\quad v_q=\frac{v_p}{2}$$

二次側接有 $1\,\mathrm{F}$ 電容。由變壓器電流關係，流經電容、由二次側點端流向 $V_2$ 的電流為 $2i_p$，因此

$$2i_p=s\left(v_q-V_2\right) =s\left(\frac{v_p}{2}-V_2\right)$$

所以

$$v_p=2V_2+\frac{4i_p}{s}$$

代入一次側電阻關係：

$$V_1-\left(2V_2+\frac{4i_p}{s}\right)=2i_p$$

整理得

$$i_p=\frac{s}{2(s+2)}V_1-\frac{s}{s+2}V_2$$

3. 寫出端口電流

左端口電流為直接電阻電流與變壓器支路電流之和：

$$I_1=\frac{V_1-V_2}{2}+i_p$$

代入 $i_p$：

核心觀念

本題考查平衡三相負載的：

• Y 接負載之相電壓與線電壓關係
• 三相功率計算
• 兩瓦特計法（two-wattmeter method）
• 負相序對兩瓦特計讀值排列的影響

已知每相阻抗為

$$Z_\phi=80+j60=100\angle 36.87^\circ\ \Omega$$

因此負載功率因數為

$$\cos\phi=\frac{80}{100}=0.8$$

且

$$\phi=36.87^\circ$$

負載呈感性，電流落後電壓 $36.87^\circ$。

解題方法

1. 求相電壓與線電流

題目所給 $208\text{ V}$ 為三相電源線電壓，因此 Y 接負載的相電壓為

$$V_\phi=\frac{V_L}{\sqrt{3}} =\frac{208}{\sqrt{3}} =120.09\text{ V}$$

每相電流大小為

$$I_L=I_\phi=\frac{V_\phi}{|Z_\phi|} =\frac{120.09}{100} =1.201\text{ A}$$

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2. 兩瓦特計讀值

兩瓦特計法中，平衡負載的兩個讀值大小可寫成

$$W_1=V_LI_L\cos(30^\circ+\phi)$$ $$W_2=V_LI_L\cos(30^\circ-\phi)$$

對於負相序，兩個讀值的排列會與正相序互換；但本題只要求兩瓦特計讀值，因此計算如下：

$$V_LI_L=208(1.201)=249.8$$

第一個讀值：

$$W_1=249.8\cos(30^\circ+36.87^\circ)$$ $$W_1=249.8\cos 66.87^\circ \approx 98.0\text{ W}$$

第二個讀值：

$$W_2=249.8\cos(30^\circ-36.87^\circ)$$ $$W_2=249.8\cos(-6.87^\circ) \approx 248.0\text{ W}$$

因此兩瓦特計讀值為

$$\boxed{98.0\text{ W},\quad 248.0\text{ W}}$$

核心觀念

電流源、$2\,\text{k}\Omega$ 電阻與 $100\,\mu\text{F}$ 電容並聯，因此三者兩端電壓相同。利用線性電路的重疊定理，將直流、$\omega=10\,\text{rad/s}$ 與 $\omega=20\,\text{rad/s}$ 三種頻率分別計算，再將電壓相加。

並聯電路的導納為

$$Y(j\omega)=\frac{1}{R}+j\omega C$$

解題方法

以下求電路的穩態電壓；題目未提供電容初始電壓，因此不納入暫態項。

直流分量下，電容視為開路，$20\,\text{mA}$ 全流經電阻：

$$v_{\text{DC}}=(20\,\text{mA})(2\,\text{k}\Omega)=40\,\text{V}$$

對交流分量，$R=2000\,\Omega$、$C=100\,\mu\text{F}$，所以電導為 $1/R=0.0005\,\text{S}$。

當 $\omega=10\,\text{rad/s}$ 時，

$$Y(j10)=0.0005+j0.001 =0.001118\angle 63.435^\circ\,\text{S}$$

電流相量為 $16\angle45^\circ\,\text{mA}$，故電壓相量為

$$V_{10}=\frac{16\angle45^\circ\,\text{mA}} {0.001118\angle63.435^\circ\,\text{S}} =14.311\angle(-18.435^\circ)\,\text{V}$$