115 年 國立成功大學電機工程學系碩士班戊組《電儀表學》

核心觀念

本題考查 PMMC 電流表的準確度表示法，以及利用串聯式歐姆表測量未知電阻時，電流誤差如何傳遞至電阻測量結果。

已知：

• 滿刻度電流：$I_{\mathrm{FSD}}=400\,\mu\text{A}$
• 指針在 $200\,\mu\text{A}$ 時，準確度為 $\pm 2\%$
• 測量時：$I_m=0.75I_{\mathrm{FSD}}=300\,\mu\text{A}$

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解題方法

1. 滿刻度時的準確度

題目給出的 $\pm2\%$ 是以指針讀值 $200\,\mu\text{A}$ 為基準，因此絕對誤差為

$$\Delta I= \pm(2\%\times 200\,\mu\text{A}) =\pm4\,\mu\text{A}$$

在滿刻度 $I_{\mathrm{FSD}}=400\,\mu\text{A}$ 時，換算成滿刻度百分比：

$$\text{Accuracy at FSD} =\frac{4}{400}\times100\% =\pm1\%$$

因此，滿刻度時的準確度為 $\pm1\%$。

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2. 測量未知電阻時的相對誤差

由圖一，PMMC 表頭、內部電阻及未知電阻 $R_x$ 串聯，因此

$$I_m=\frac{E}{R_0+R_x}$$

其中 $R_0$ 代表表頭及其串聯校正電阻的總和。

當 $R_x=0$ 且調整為滿刻度時，

$$I_{\mathrm{FSD}}=\frac{E}{R_0} \quad\Rightarrow\quad R_0=\frac{E}{I_{\mathrm{FSD}}}$$

所以測量未知電阻時：

$$R_x=\frac{E}{I_m}-\frac{E}{I_{\mathrm{FSD}}}$$

整理為

$$R_x=E\left(\frac{1}{I_m}-\frac{1}{I_{\mathrm{FSD}}}\right)$$

在

核心觀念

半波平均值型電壓表利用二極體只讓正半週電流通過，PMMC 表頭的指示值與線圈電流平均值成正比。

正弦波全波峰值為

$$V_m=\sqrt{2}V_{\mathrm{rms}}$$

半波整流後的平均值為

$$V_{\mathrm{avg}}=\frac{V_m}{\pi} =\frac{\sqrt{2}}{\pi}V_{\mathrm{rms}} \approx 0.45V_{\mathrm{rms}}$$

本題將二極體順向壓降 $V_D=0.7\text{ V}$ 視為固定值，因此電阻上的有效平均電壓為

$$V_{\mathrm{avg,res}}=0.45V_{\mathrm{rms}}-V_D$$

解題方法

滿刻度時，表頭電流必須達到

$$I_{\mathrm{FSD}}=150\,\mu\text{A}$$

已知

$$V_{\mathrm{rms}}=3.3\text{ V},\qquad R_m=330\,\Omega$$

半波整流電壓的平均值為

核心觀念

本題考查惠斯登電橋的平衡條件與解析度。

圖中左支路為 $P$、$R$，右支路為 $Q$、$S$。電橋平衡時，檢流計兩端電位相同，因此：

$$\frac{P}{R}=\frac{Q}{S}$$

整理得未知電阻：

$$R=\frac{PS}{Q}$$

電橋的解析度則受到兩項因素限制：

1. 可調電阻 $S$ 的最小調整量。
2. 檢流計的最小可辨識電流 $I_c(\min)$。

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解題方法

1. 求平衡時的未知電阻

已知：

$$P=2\,\text{k}\Omega,\qquad Q=3\,\text{k}\Omega,\qquad S=1.5\,\text{k}\Omega$$

因此：

$$R=\frac{PS}{Q} =\frac{(2)(1.5)}{3}\,\text{k}\Omega =1\,\text{k}\Omega$$

平衡時各中點電壓為：

$$V_R=V_S =E\frac{R}{P+R} =10\frac{1}{2+1} =3.333\,\text{V}$$

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2. 由可調電阻的最小調整量決定的解析度

由

$$R=\frac{P}{Q}S$$

可得：

$$\Delta R=\frac{P}{Q}\Delta S$$

代入 $\Delta S=0.3\,\Omega$：

$$\Delta R_S =\frac{2}{3}(0.3) =0.2\,\Omega$$

因此，單由 $S$ 的調整能力所造成的解析度為：

$$\Delta R_S=0.2\,\Omega$$

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3. 由檢流計靈敏度決定的解析度

將電壓源短路後，檢流計兩端所見的戴維寧等效電阻為：

$$R_{\text{th}} =(P\parallel R)+(Q\parallel S)$$

其中：

$$P\parallel R =\frac{(2\,\text{k}\Omega)(1\,\text{k}\Omega)} {2\,\text{k}\Omega+1\,\text{k}\Omega} =0.667\,\text{k}\Omega$$ $$Q\parallel S =\frac{(3\,\text{k}\Omega)(1.5\,\text{k}\Omega)} {3\,\text{k}\Omega+1.5\,\text{k}\Omega} =1\,\text{k}\Omega$$

所以：

核心觀念

圖 4 為以 Zener 二極體作為參考電壓，搭配運算放大器與串聯調整電晶體 $Q_1$ 所組成的串聯型穩壓電路。

主要觀念如下：

1. Zener 二極體提供穩定的參考電壓 $V_Z$。
2. $R_2$、$R_3$ 構成輸出電壓取樣分壓器。
3. 運算放大器比較 Zener 參考電壓與回授電壓，控制 $Q_1$ 的導通程度，使輸出電壓保持穩定。
4. Zener 二極體的動態電阻為

$$r_Z=\frac{\Delta V_Z}{\Delta I_Z}$$

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(a) 電路功能

此電路的功能是將輸入電壓 $V_{in}$ 經過穩壓後，產生較穩定的直流輸出電壓 $V_o$。

其中：

• Zener 二極體提供參考電壓。
• 運算放大器負責誤差比較與控制。
• $Q_1$ 為串聯調整元件，負責調節輸出電壓。
• $R_2$、$R_3$ 將輸出電壓分壓後回授至運算放大器。

因此，本電路為串聯型線性穩壓器。

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(b) Zener 二極體的動態電阻

已知：

$$V_Z=4.00\text{ V},\qquad I_Z=10\text{ mA}$$

當電流增加至 $20\text{ mA}$ 時：

$$V_Z=4.05\text{ V}$$

因此：

$$\Delta V_Z=4.05-4.00=0.05\text{ V}$$ $$\Delta I_Z=20-10=10\text{ mA}=0.01\text{ A}$$

故動態電阻為：

$$r_Z=\frac{\Delta V_Z}{\Delta I_Z} =\frac{0.05}{0.01} =5\ \Omega$$

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(c) Zener 電流為 $10\text{ mA}$ 時的輸出電壓

當 Zener 電流為 $10\text{ mA}$ 時：

$$V_Z=4\text{ V}$$

在理想運算放大器與負回授條件下，運算放大器會使反相端與非反相端電壓相等。因此，$R_2$、$R_3$ 分壓器的中點電壓等於 $V_Z$。

分壓器中點電壓為：

核心觀念

本題考查超外差式頻譜分析儀（Superheterodyne Spectrum Analyzer）的工作原理。其核心是利用掃頻式本地振盪器（LO）將不同輸入頻率依序轉換到固定中頻 $f_{\mathrm{IF}}$，再由固定的 IF 濾波器選出，形成輸入訊號的頻譜顯示。

混頻器輸出頻率包含：

$$f_{\mathrm{out}}=|f_{\mathrm{LO}}-f_s|$$

以及

$$f_{\mathrm{out}}=f_{\mathrm{LO}}+f_s$$

其中實際能通過 IF 濾波器的頻率，須滿足：

$$|f_{\mathrm{LO}}-f_s|=f_{\mathrm{IF}}$$

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（a）電路操作說明

1. 輸入訊號 $f_s$ 與掃頻本地振盪器 $f_{\mathrm{LO}}$ 同時輸入混頻器。

2. 混頻器產生和頻與差頻：

   $$f_{\mathrm{LO}}+f_s,\qquad |f_{\mathrm{LO}}-f_s|$$

3. IF 濾波器只允許固定中頻附近的訊號通過，例如本題由圖中頻率標示可判定其中心頻率約為：

   $$f_{\mathrm{IF}}\approx 2\ \text{GHz}$$

4. 當 LO 掃頻時，若某一輸入頻率滿足：

   $$|f_{\mathrm{LO}}-f_s|=f_{\mathrm{IF}}$$

   該輸入訊號便會通過 IF 濾波器。

5. 通過 IF 濾波器的訊號再經過 detector 偵測振幅，轉換成與訊號強度成正比的直流電壓。

6. 掃頻產生器同時控制 LCD 的水平座標，因此 LCD 的水平位置代表掃頻頻率，垂直高度代表輸入訊號強度，最後得到輸入訊號的頻譜。

因此，超外差式頻譜分析儀是將「頻率軸」轉換成「LO 掃頻時間或水平位置」，而 IF 濾波器則決定頻率解析度與頻寬。

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（b）混頻器輸出頻譜

圖中在 $f_{\mathrm{LO}}=4\ \text{GHz}$ 時，輸入訊號為：

$$f_s=2\ \text{GHz}$$

混頻器輸出的正頻率成分為：

差頻

$$f_{\mathrm{LO}}-f_s =4-2 =2\ \text{GHz}$$

和頻

$$f_{\mathrm{LO}}+f_s =4+2 =6\ \text{GHz}$$

所以混頻器輸出頻譜應在：

$$\boxed{2\ \text{GHz}\ \text{與}\ 6\ \text{GHz}}$$

各有一條頻譜線。若考慮雙邊頻率表示，負頻率處也有對稱頻譜線。

示意如下：

輸出振幅
  |
  |        ↑                         ↑
  |        |                         |
  +--------|-------------------------|------> 頻率
           2 GHz                     6 GHz

由於 IF 濾波器中心約在 $2\ \text{GHz}$，因此實際通過 IF 濾波器的是 $2\ \text{GHz}$ 的差頻成分，$6\ \text{GHz}$ 的和頻會被濾除。

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（c）對應的 IF 濾波器

本題輸入訊號為：

核心觀念

圖 6 為線圈與可調電容器的串聯諧振電路。諧振時：

$$X_L=X_C$$

線圈的品質因數定義為

$$Q=\frac{|X_L|}{R}$$

其中 $R$ 為線圈的等效串聯電阻。

諧振時感抗與容抗互相抵消，電路總阻抗只剩電阻 $R$：

$$Z=R$$

因此電路電流為

$$I=\frac{E}{R}$$

解題方法

已知

$$E=100\text{ mV}=0.1\text{ V}$$ $$R=5\ \Omega,\qquad |X_L|=|X_C|=200\ \Omega$$

先計算線圈的品質因數：

$$Q=\frac{|X_L|}{R} =\frac{200}{5} =40$$

再求電容器兩端的電壓。諧振電流為