108 年 國立成功大學電機工程學系碩士班戊組《電儀表學》

本題主要考驗統計學中基本數據分析的能力，包含計算平均值與中位數。

計算平均值 (Average Value)
平均值是所有數據的總和除以數據的個數。
數據個數 $N = 15$。
數據總和 = 28.05 + 27.10 + 24.65 + 23.85 + 24.34 + 25.78 + 25.5 + 26.01 + 24.85 + 24.50 + 24.15 + 23.95 + 23.25 + 24.05 + 24.35
數據總和 = 360.43

平均值 $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N} = \frac{360.43}{15}$
$\bar{x} \approx 24.0287$ °C

本題考查熱線式交流電流計的工作原理。

核心觀念：
熱線式交流電流計利用電流通過導體時產生的焦耳熱效應來測量電流。其原理是測量導體因發熱而產生的伸長量，並將其與電流建立關聯。

工作原理：

1. 電流加熱： 當交流電流通過熱線 (Hot-wire) 時，會產生焦耳熱 $P = I^2R_{hot-wire}$。由於交流電流的大小隨時間變化，其 RMS (均方根) 值決定了產生的平均熱功率。
2. 熱膨脹： 產生的熱量會使熱線的溫度升高。根據熱脹冷縮的原理，金屬導體在溫度升高時會發生熱膨脹，即長度會增加。
3. 指示機構： 熱線的一端固定，另一端通過張力彈簧 (Tension Spring) 連接到指示針 (Pointer) 的樞軸 (Pivot) 上。當熱線因發熱而伸長時，它會通過張力彈簧拉動指示針，使指示針在刻度盤上移動。
4. 刻度： 指示針的移動量與熱線的溫度升高量有關，而溫度升高量又與通過熱線的電流的平方成正比。因此，雖然電流是交流的，但其 RMS 值對應的熱功率是恆定的，指示針的偏轉與 RMS 電流的平方成正比。這意味著儀表的刻度是非線性的，通常是平方律的。
5. 交流特性： 熱線本身具有一定的電阻，但其電阻值對溫度的變化非常敏感，而且這個效應與電流方向無關。

核心觀念

PMMC 表頭滿刻度電流為

$$I_{FSD}=50\,\mu\text{A}$$

表頭內阻為

$$R_m=100\,\Omega$$

多量程電流表是利用低電阻分流器與表頭並聯，使表頭始終只流過滿刻度電流。當被測總電流為 $I$ 時，分流器電阻為

$$R_s=\frac{I_{FSD}R_m}{I-I_{FSD}}$$

其中 $I-I_{FSD}$ 為流經分流器的電流。

(a) 10 mA 量程的開關位置

圖中：

• 開關接在 A：分流器為 $R_1$。
• 開關接在 B：分流器為 $R_1+R_2$。

10 mA 量程大於 1 mA 量程，需要分流更多電流，因此需要較小的分流電阻。由於

$$R_1<R_1+R_2$$

所以 10 mA 量程時，開關應接在 A 位置。

(b) 求 $R_1$ 與 $R_2$

10 mA 量程

此時分流器為 $R_1$：

$$R_1=\frac{(50\times10^{-6})(100)} {10\times10^{-3}-50\times10^{-6}}$$ $$R_1=\frac{0.005}{0.00995} =0.0005025\,\Omega$$

因此

核心觀念

本題考查傳輸線的終端匹配。當訊號沿著特性阻抗為 $Z_0$ 的傳輸線傳播，並遇到阻抗不匹配的負載 $Z_L$ 時，部分訊號會反射。負載端的反射係數為

$$\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$$

當 $Z_L=Z_0$，反射係數為 $0$，訊號能量由負載吸收，不產生負載端反射。並聯終端與串聯終端分別在接收端及驅動端配置電阻，以降低反射。

解題方法

判斷兩種終端方式，可看電阻接在哪裡，以及它如何讓傳輸線看到匹配阻抗。

• 並聯終端（parallel termination）：在傳輸線的接收端，將終端電阻 $R_T$ 並聯於負載。常見的接法是讓 $R_T=Z_0$，使傳輸線末端看到的阻抗接近 $Z_0$，因此 $\Gamma_L\approx 0$，入射訊號大多被終端電阻吸收，反射減少。若接收端需要特定直流偏壓，終端也可接到偏壓電源；設計時仍須讓交流訊號所見的等效阻抗匹配 $Z_0$。此法會有直流電流與功率消耗。

核心觀念

本題考查：

1. 電子式萬用電表（EMM）與指針式萬用電表（VOM）的靈敏度及輸入阻抗。
2. 多量程電壓表的量程切換與分壓原理。
3. 電表滿刻度電流與串聯電阻的關係：

$$I_m=\frac{V}{R_s+R_m}$$

其中 $R_s$ 為量程電阻，$R_m$ 為電表內阻。

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(a) EMM 相較於 VOM 的優點

1. 靈敏度較高

VOM 通常使用 PMMC 指針式表頭，其靈敏度以 $\Omega/\mathrm{V}$ 表示。當量程為 $V$ 時，VOM 的等效輸入電阻為

$$R_{\mathrm{in,VOM}}=S_VV$$

量程越低時，輸入電阻越小，容易造成被測電路的負載效應，使量測電壓下降而產生誤差。

EMM 通常採用 FET 或運算放大器作為輸入級，只需極小的輸入電流即可量測電壓，因此對微小訊號及高阻抗電路具有較高的量測靈敏度。

2. 輸入阻抗較高

EMM 的輸入阻抗通常可達數 $\mathrm{M\Omega}$ 甚至更高，遠大於一般 VOM。因此量測時由被測電路取出的電流很小，負載效應較小，量測結果更接近原本的電路電壓。

簡言之：

$$R_{\mathrm{in,EMM}}\gg R_{\mathrm{in,VOM}}$$

所以 EMM 特別適合量測高阻抗、低電流或敏感的電子電路。

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(b) $Q_1$ 與 $Q_2$ 發射極的電壓

原題所附掃描頁面僅顯示 Fig. 1 與 Fig. 2，Fig. 3 的電路圖未出現在影像中，因此無法由目前資料確認 $Q_1$、$Q_2$ 的接法及電壓極性。

依題目給定

$$V_P=+5\ \mathrm{V},\qquad V_{GS}=-5\ \mathrm{V}$$

若 Fig. 3 採用常見的 FET 輸入級，且 $V_{GS}$ 定義為

$$V_{GS}=V_G-V_S$$

則

$$V_S=V_G-V_{GS}$$

在輸入閘極電位為 $V_G=0$ 的常見基準條件下，

$$V_S=0-(-5)=+5\ \mathrm{V}$$

核心觀念

晶體諧振器的等效電路為：

• 動態支路：$R_s$、$L_s$、$C_s$ 串聯
• 靜態電容：$C_p$ 與動態支路並聯

其中：

• $f_b$ 為串聯諧振頻率，亦記為 $f_s$ 或 $f_0$
• $f_a$ 為並聯諧振頻率，亦記為 $f_p$

串聯諧振時，$L_s$ 與 $C_s$ 的電抗互相抵消：

$$\omega_s L_s=\frac{1}{\omega_s C_s}$$

因此：

$$f_s=\frac{1}{2\pi\sqrt{L_sC_s}}$$

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(a) $f_b$ 與 $f_a$ 之間的主導元件

在串聯諧振頻率以上、並聯諧振頻率以下：

$$f_b<f<f_a$$

動態支路的電抗為：

$$X_m=\omega L_s-\frac{1}{\omega C_s}>0$$

因此晶體呈現感性，整體阻抗主要由 $L_s$ 所形成的感抗主導。

各選項判斷如下：

• $L_s$：正確。此頻段的動態支路呈感性，$L_s$ 是主要影響元件。
• $C_s$：錯誤。$C_s$ 的容抗已與 $L_s$ 部分抵消，並非整體呈現的主導特性。
• $R_s$：錯誤。$R_s$ 主要決定串聯諧振點附近的最小阻抗與損耗。
• $C_p$：錯誤。$C_p$ 主要造成並聯諧振，並非此頻段晶體呈感性的主要原因。

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(b) $f_0$ 的諧振模式

圖中 $f_b$ 處為阻抗最小值，這是串聯諧振的特徵。因此：

$$f_0=f_b=f_s$$

故 $f_0$ 為串聯諧振頻率。

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(c) 計算 $f_b$ 與 $f_a$

已知：

$$C_p=4\ \text{pF}$$ $$L_s=3\ \text{mH}$$ $$C_s=12\ \text{fF}$$

1. 串聯諧振頻率 $f_b=f_s$

$$f_s=\frac{1}{2\pi\sqrt{L_sC_s}}$$

代入：

$$L_sC_s =(3\times10^{-3})(12\times10^{-15}) =36\times10^{-18}$$ $$\sqrt{L_sC_s}=6\times10^{-9}$$

因此：

$$f_b=f_s =\frac{1}{2\pi(6\times10^{-9})} \approx 26.53\ \text{MHz}$$

2. 並聯諧振頻率 $f_a=f_p$

並聯諧振條件為：

$$\omega_p^2 =\frac{1}{L_s} \left(\frac{1}{C_s}+\frac{1}{C_p}\right)$$

整理得：

核心觀念

本題是利用運算放大器與二極體切換負回授路徑的精密全波整流器。分析時採理想運放模型：輸入端電流為零，且在負回授成立時有 $V_-=V_+$。

全波整流要求正、負半週的增益大小相同，使輸出滿足

$$v_o=G|v_i|.$$

圖中的 $D_1、D_2、D_3$ 是缺件位置標號，不代表三者都必須填入二極體。

解題方法

依圖 5，上方運放的一個輸入端直接接 $v_i$，另一端接 $R_1、R_2$ 與 $D_1$ 的共接點；$R_1$ 的另一端接下方運放的反相輸入端，$R_2、R_3$ 的右端皆接 $v_o$，且 $R_3=10\,\mathrm{k}\Omega$。下方運放的同相端接地，$D_4$ 由其反相輸入節點接向運放輸出，$D_5$ 則由下方運放輸出接向 $v_o$。

以下令上、下方運放分別為 $A_1、A_2$，其反相輸入節點分別為 $X、Y$，輸出節點分別為 $U、W$。

（a）補齊元件與完整電路

正確補法如下：

位置	補入元件與方向
$D_1$	二極體：陽極接 $X$，陰極接上方運放輸出 $U$
$D_2$	短路（S.C.）
$D_3$	二極體：陽極接 $U$，陰極接 $v_o$
上方運放上端	反相輸入端 $V_-$，接 $X$
上方運放下端	同相輸入端 $V_+$，接 $v_i$

完整接線如下；同名節點表示直接相連，|>| 的左側為陽極、右側為陰極。

電阻網路：

             R₂
    X o────/\/\/────o vₒ
      │
     R₁
      │
    Y o────/\/\/────o vₒ
             R₃＝10 kΩ

運放接線：

    X ─────（－）│ A₁ │──── U
   vᵢ ─────（＋）│    │

    Y ─────（－）│ A₂ │──── W
  接地 ────（＋）│    │

二極體與短路支路：

    X o───|>|───o U───短路───|>|───o vₒ
          D₁           D₂     D₃

    Y o───|>|───o W──────────|>|───o vₒ
          D₄                  D₅

$D_1、D_4$ 提供各自運放的局部負回授；$D_3、D_5$ 則分別在正、負半週將輸出送至 $v_o$。

（b）負半週的導通狀態與輸出

當 $v_i<0$ 時：

• $D_1$ 導通，使上方運放經局部負回授建立 $V_X=v_i$。
• $D_5$ 導通，使下方運放經 $D_5、R_3$ 建立負回授，因此 $V_Y=0$。
• $D_3、D_4$ 截止。

在節點 $Y$ 寫克希荷夫電流定律：

$$\frac{V_Y-V_X}{R_1}+\frac{V_Y-v_o}{R_3}=0.$$

代入 $V_Y=0$ 與 $V_X=v_i$：