113 年 國立成功大學電機工程學系碩士班戊組《電儀表學》

核心觀念

本題考查電子式電表的分壓倍率與電流指示關係。

• 10 V 檔位時，輸入電壓經分壓器縮小為原來的 $\frac{1}{10}$。
• 電子式電表在滿刻度輸入 $10\text{ V}$ 時，表頭電流為 $I_{m(\mathrm{FSD})}=1\text{ mA}$。
• 表頭兩端電壓由總串聯電阻 $R_s+R_m$ 決定：

$$V=I_m(R_s+R_m)$$

其中 $V$ 即為 $Q_1$、$Q_2$ 兩個發射極之間的電壓。

解題方法

10 V 檔位所選取的分壓點，其下方電阻為

$$100\text{ k}\Omega$$

總分壓電阻為

$$800+100+60+40=1000\text{ k}\Omega$$

因此分壓後的電壓為

$$V_{\text{in,eq}} =E\frac{100}{1000} =7.5\times\frac{1}{10} =0.75\text{ V}$$

電子式電表在 10 V 檔位的滿刻度電流為 $1\text{ mA}$，所以實際表頭電流為

核心觀念

頻率計與週期計的量測結果，主要受到兩種固有誤差影響：

1. 量化誤差（quantization error）
   計數器只能以完整週期或完整時脈脈波計數，因此起始與終止時刻通常無法恰好對齊脈波邊緣，會產生約 $\pm 1$ 個計數的誤差。

2. 時間基準誤差（time-base error）
   頻率計的閘門時間或週期計的參考時間，來自石英振盪器等時間基準。若時間基準的頻率具有誤差，量測出的頻率或週期也會產生相對誤差。

對頻率計而言，基本關係式為

$$N=fT_g$$

其中：

• $N$：閘門時間內所計得的輸入信號週期數
• $f$：輸入信號頻率
• $T_g$：閘門時間，也就是本題所求的 time base

解題方法

題目給定：

$$f=2.38\ \text{MHz}=2.38\times 10^6\ \text{Hz}$$

五位數 DCA 的讀值為

$$N=23800$$

由

核心觀念

此題考查齊納二極體並聯穩壓器的小訊號模型：

• 齊納二極體的端電壓：

  $V_{out}=V_{Z0}+r_z I_Z$

• 串聯電阻電流：

  $I_R=\frac{V_{in}-V_{out}}{R}$

• KCL：

  $I_R=I_L+I_Z,\qquad I_L=\frac{V_{out}}{R_L}$

因此：

$$\frac{V_{in}-V_{out}}{R} =\frac{V_{out}}{R_L}+I_Z$$

---

解題方法

已知：

$V_{in}=8\text{ V},\quad R=50\ \Omega,\quad V_{Z0}=5\text{ V},\quad r_z=2\ \Omega$

（a）$R_L=100\ \Omega$

由 KCL：

$I_Z=\frac{8-V_{out}}{50}-\frac{V_{out}}{100}$

整理得：

$I_Z=0.16-0.03V_{out}$

代入齊納二極體模型：

$V_{out}=5+2I_Z$

$V_{out}=5+2(0.16-0.03V_{out})$

$1.06V_{out}=5.32$

因此：

$\boxed{V_{out}=5.019\text{ V}}$

此時：

$I_Z=0.16-0.03(5.019)=9.43\text{ mA}>0$

齊納二極體確實工作於崩潰區，假設成立。

---

（b）$R_L=1\text{ k}\Omega$

此時：

$I_Z=\frac{8-V_{out}}{50}-\frac{V_{out}}{1000}$

整理得：

$I_Z=0.16-0.021V_{out}$

代入齊納模型：

$V_{out}=5+2(0.16-0.021V_{out})$

$1.042V_{out}=5.32$

因此：

核心觀念

相位檢測器（phase detector）的功能，是比較兩個週期訊號的相位差，並將相位差轉換成直流或低頻輸出電壓，供後級控制電路使用。設輸入訊號為

$$v_1(t)=V_1\cos(\omega t+\theta_1)$$ $$v_2(t)=V_2\cos(\omega t+\theta_2)$$

兩者的相位差為

$$\Delta\theta=\theta_1-\theta_2$$

相位檢測器的輸出電壓即反映 $\Delta\theta$ 的大小與正負。

解題方法

由於題目所附掃描圖是第 8、9 題頁面，未包含第 4 題所引用的 Figure 3，因此無法依實際電路逐一說明元件作用。以下採用最常見的乘法型相位檢測器說明其工作原理。

相位檢測器可視為一個乘法器，輸出為

$$v_o(t)=K v_1(t)v_2(t)$$

其中 $K$ 為乘法器比例常數。代入兩個輸入訊號：

$$v_o(t) = K V_1V_2 \cos(\omega t+\theta_1) \cos(\omega t+\theta_2)$$

利用三角恆等式

$$\cos A\cos B = \frac{1}{2}\left[\cos(A-B)+\cos(A+B)\right]$$

可得

$$v_o(t) = \frac{KV_1V_2}{2} \left[ \cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(2\omega t+\theta_1+\theta_2) \right]$$

經過低通濾波器後，高頻項被濾除，只留下平均輸出：

$$V_{\mathrm{dc}} = \frac{KV_1V_2}{2}\cos(\Delta\theta)$$

核心觀念

本題考查兩個重點：

1. 頻率計的基本方塊架構：以精確時基產生主閘門，在固定時間內計數待測訊號脈波，再由十進位計數器與顯示器讀出頻率。
2. 倒數計數法（reciprocal counting）：低頻訊號直接計數時，固定閘門時間內的脈波數太少，量化誤差很大；因此改為量測待測訊號的週期，再利用
   $f=\frac{1}{T}$
   求得頻率。

若時基週期為 $T_b$，在一個待測週期內計得 $N$ 個時基脈波，則

$$T=NT_b$$

因此

$$f=\frac{1}{NT_b}$$

若計數誤差約為 $\pm 1$ count，倒數計數法的相對誤差約為

$$\frac{|\Delta f|}{f}\approx \frac{|\Delta N|}{N} \approx \pm\frac{1}{N}$$

計數數目越大，相對誤差越小。

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（a）頻率計的功能方塊

基本頻率計可畫成如下架構：

                    ┌──────────────┐
                    │ 精密振盪器   │
                    │ Time Base    │
                    └──────┬───────┘
                           │
                    ┌──────▼───────┐
                    │ 分頻器       │
                    │ Time-base    │
                    │ divider      │
                    └──────┬───────┘
                           │
                    ┌──────▼───────┐
                    │ 閘門控制器   │
                    │ Gate control  │
                    └──────┬───────┘
                           │ 主閘門控制
                           ▼
待測訊號 ─→ 波形整形 ─→ 主閘門 ─→ 十進位計數器組
Input        Schmitt       Main       DCA
signal       trigger       gate        │
                                        ▼
                              鎖存器／解碼器
                                        │
                                        ▼
                                  顯示器 Display

各方塊功能

• 精密振盪器（time base）：產生穩定且已知頻率的時脈，例如 $1\,\text{kHz}$，其週期為 $1\,\text{ms}$。
• 分頻器（divider）：將高頻時脈分頻成適合的閘門時間，例如 $1\,\text{s}$、$0.1\,\text{s}$ 等。
• 波形整形電路：將心跳感測器輸出的類比或不規則波形轉成乾淨的邏輯脈波，每一次心跳對應一個脈波。
• 主閘門（main gate）：閘門開啟時，允許待測訊號進入計數器；閘門關閉時，停止計數。
• 十進位計數器組（DCA, decade counter assembly）：由多級十進位計數器串接而成，每級代表一位十進位數字。
• 鎖存器與顯示器：在一次量測結束後鎖住計數結果，經解碼後顯示數值。

一般頻率計與倒數頻率計的差別

一般頻率計是：

$$N_f=f_xT_g$$

其中 $f_x$ 是待測頻率，$T_g$ 是主閘門時間。

倒數頻率計則以待測訊號週期控制閘門：

$$N_T=\frac{T_x}{T_b}$$

再由

$$f_x=\frac{1}{N_TT_b}$$

求得頻率。對低頻訊號而言，倒數計數法可讓計數數目大幅增加，因此準確度較高。

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（b）心跳與呼吸速率的倒數計數

題目給定時基為

$$T_b=1\,\text{ms}=10^{-3}\,\text{s}$$

假設感測器每偵測到一次心跳或呼吸，就產生一個完整脈波。

1. 心跳速率 $68\,\text{bpm}$

心跳頻率為

$$f_h=\frac{68}{60} =1.133333\,\text{Hz}$$

其週期為

$$T_h=\frac{1}{f_h} =\frac{60}{68} =0.8823529\,\text{s}$$

本題考驗對超外差接收機 (Superheterodyne Receiver) 架構的理解，包含其功能方塊圖、混頻器 (Mixer) 的原理，以及如何根據輸入訊號頻率範圍、中頻 (IF) 和本地振盪器 (LO) 頻率計算 LO 的頻率範圍。

(a) 超外差接收機的功能方塊圖：

超外差接收機是一種廣泛用於無線通訊系統的接收機架構，其核心思想是將接收到的高頻訊號通過混頻器與本地振盪器 (LO) 產生的訊號混合，轉換成一個固定頻率的中頻 (IF) 訊號，然後對這個中頻訊號進行放大、濾波和解調。

以下是超外差接收機的主要功能方塊圖：

graph TD
    A[輸入天線] --> B(射頻前端 RF Front-end);
    B --> C(混頻器 Mixer);
    D[本地振盪器 LO] --> C;
    C --> E(中頻濾波器 IF Filter);
    E --> F(中頻放大器 IF Amplifier);
    F --> G(解調器 Demodulator);
    G --> H(音訊/訊號處理 Audio/Signal Processing);
    H --> I(輸出 Speaker/Data);
    subgraph 超外差接收機
        A
        B
        C
        D
        E
        F
        G
        H
        I
    end

各模組功能說明：

1. 輸入天線 (Antenna)：接收來自空間的無線電波訊號。
2. 射頻前端 (RF Front-end)：
   • 射頻濾波器 (RF Filter)：濾除天線接收到的帶外雜訊和不需要的訊號，只允許感興趣的頻率範圍通過。
   • 射頻放大器 (RF Amplifier)：對接收到的微弱射頻訊號進行初步放大，提高接收靈敏度。
3. 混頻器 (Mixer)：
   • 功能：將射頻訊號 ($f_{RF}$) 與本地振盪器 (LO) 產生的訊號 ($f_{LO}$) 混合，產生和頻 ($f_{RF} + f_{LO}$) 與差頻 ($|f_{RF} - f_{LO}|$)。
   • 輸出：通常只需要差頻訊號，即中頻訊號 ($f_{IF}$)。
4. 本地振盪器 (Local Oscillator, LO)：
   • 功能：產生一個固定頻率的訊號 ($f_{LO}$)，與射頻訊號混合。LO 的頻率是設計接收機的關鍵參數之一。
5. 中頻濾波器 (IF Filter)：
   • 功能：對混頻器輸出的訊號進行濾波，選擇出目標的中頻訊號 ($f_{IF}$)，並濾除和頻以及其他不需要的頻率成分。IF 濾波器的頻寬決定了接收機的選擇性 (selectivity)。
6. 中頻放大器 (IF Amplifier)：
   • 功能：對中頻訊號進行放大。由於中頻頻率較低，放大器可以設計得更容易獲得高增益和良好的穩定性。
7. 解調器 (Demodulator)：
   • 功能：從中頻訊號中提取原始的基頻資訊（例如音訊、數據）。解調方式取決於調製方式（AM, FM, PSK, QAM 等）。
8. 音訊/訊號處理 (Audio/Signal Processing)：
   • 功能：對解調出的基頻訊號進行後續處理，例如放大音訊、解碼數據等。
9. 輸出 (Output)：
   • Speaker/Data：將處理後的訊號輸出到喇叭或數據接口。

(b) 混頻器 (Mixer) 的輸入與輸出公式：

混頻器的基本功能是將兩個輸入訊號進行乘法運算，產生和頻與差頻。
假設輸入的射頻訊號為 $v_{RF}(t)$，頻率為 $f_{RF}$，幅度為 $A_{RF}$。
$v_{RF}(t) = A_{RF} \cos(2\pi f_{RF} t + \phi_{RF})$
假設本地振盪器訊號為 $v_{LO}(t)$，頻率為 $f_{LO}$，幅度為 $A_{LO}$。
$v_{LO}(t) = A_{LO} \cos(2\pi f_{LO} t + \phi_{LO})$

一個理想的混頻器，其輸出訊號 $v_{out}(t)$ 是兩個輸入訊號的乘積，再加上其他頻率成分（例如 LO 訊號本身、RF 訊號本身，以及它們的和頻與差頻）。
$v_{out}(t) = K \times v_{RF}(t) \times v_{LO}(t) + \text{other terms}$
$v_{out}(t) = K \times A_{RF} \cos(2\pi f_{RF} t + \phi_{RF}) \times A_{LO} \cos(2\pi f_{LO} t + \phi_{LO})$
其中 $K$ 是混頻器的轉換增益或係數。

利用三角函數恆等式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) + \cos(A+B)]$：
$v_{out}(t) = \frac{K A_{RF} A_{LO}}{2} [\cos(2\pi (f_{RF} - f_{LO}) t + (\phi_{RF} - \phi_{LO})) + \cos(2\pi (f_{RF} + f_{LO}) t + (\phi_{RF} + \phi_{LO}))]$

在實際的超外差接收機中，我們關心的是差頻訊號，即中頻訊號 $f_{IF}$。
$f_{IF} = |f_{RF} - f_{LO}|$。
所以，混頻器的輸出訊號主要包含：

• 差頻訊號 (Difference Frequency)：$f_{RF} - f_{LO}$ (或 $f_{LO} - f_{RF}$)，這是中頻訊號 $f_{IF}$。
• 和頻訊號 (Sum Frequency)：$f_{RF} + f_{LO}$。

在接收機的 IF 濾波器會濾除和頻訊號，只保留中頻訊號。
因此，混頻器的輸出（經過 IF 濾波後）可以表示為：
$v_{IF}(t) \approx \frac{K'}{2} [\cos(2\pi f_{IF} t + \phi_{diff})]$
其中 $K'$ 是包含幅度、增益和濾波器特性的係數，$f_{IF} = |f_{RF} - f_{LO}|$，$\phi_{diff}$ 是相位差。

公式總結：
混頻器的輸出訊號包含和頻和差頻成分。
$f_{out} = f_{RF} \pm f_{LO}$
在中頻接收機中，我們關心的是差頻：
$f_{IF} = |f_{RF} - f_{LO}|$

(c) 尋找本地振盪器 (LO) 的頻率範圍。

已知：

• 輸入訊號頻率範圍 $f_{RF}$：$7.2 \text{ GHz} \sim 10.1 \text{ GHz}$。
• 中頻濾波器 IF 頻率 $f_{IF} = 3.6 \text{ GHz}$。

我們需要計算本地振盪器 LO 的頻率範圍 $f_{LO}$。
根據混頻器的原理，$f_{IF} = |f_{RF} - f_{LO}|$。
這意味著 $f_{RF} - f_{LO} = f_{IF}$ 或 $f_{RF} - f_{LO} = -f_{IF}$。
所以，$f_{LO} = f_{RF} - f_{IF}$ 或 $f_{LO} = f_{RF} + f_{IF}$。

我們需要考慮兩種情況：

1. 高 LO 頻率 (High-LO Frequency, HLO)：LO 頻率高於 RF 訊號頻率 ($f_{LO} > f_{RF}$)。
   此時 $f_{IF} = f_{LO} - f_{RF}$。
   所以，$f_{LO} = f_{RF} + f_{IF}$。

核心觀念

將圖 4 的模型 #1 轉換為模型 #2，必須先求出整體輸入阻抗：

$$Z=(R_s+j\omega L_s)+\left(R_p\parallel \frac{1}{j\omega C_p}\right)$$

模型 #2 的阻抗為：

$$Z=R_{s,\mathrm{eq1}}-\frac{j}{\omega C_{s,\mathrm{eq1}}}$$

其中：

• $R_{s,\mathrm{eq1}}$ 為等效串聯電阻
• $C_{s,\mathrm{eq1}}$ 為等效串聯電容
• $\omega=2\pi f$

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解題方法

已知：

$$f=400~\text{kHz},\quad L_s=0.5~\mu\text{H},\quad R_s=0.1~\Omega$$ $$R_p=100~\Omega,\quad C_p=4.7~\mu\text{F}$$

因此：

$$\omega=2\pi(400\times10^3) =2.513\times10^6~\text{rad/s}$$

並令：

$$x=\omega R_pC_p$$ $$x=(2.513\times10^6)(100)(4.7\times10^{-6}) \approx1181.24$$

平行 $R_p$ 與 $C_p$ 的阻抗為：

$$Z_p=\frac{R_p}{1+j\omega R_pC_p}$$

整理為實部與虛部：

$$Z_p= \frac{R_p}{1+x^2} -j\frac{R_px}{1+x^2}$$

代入數值：

$$Z_p\approx 7.17\times10^{-5} -j0.08466~\Omega$$

電感阻抗為：

$$j\omega L_s =j(2.513\times10^6)(0.5\times10^{-6}) =j1.25664~\Omega$$

所以整體阻抗：

$$Z\approx (0.1+0.0000717) +j(1.25664-0.08466)$$ $$Z\approx0.100072+j1.17198~\Omega$$

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