112 年 國立成功大學電機工程學系碩士班戊組《電儀表學》

此題主要考驗對函數產生器輸出訊號參數（High level, Low level, Vpp, DC offset）的理解，以及如何計算訊號的 RMS 值。

首先，我們分析題目給定的函數產生器參數：
(A) High level = 2V, Low level = 1V
(B) Vpp = 2V
(C) DC offset = 0.5V

從 (A) 和 (B) 可以發現一些資訊，但我們需要仔細釐清這些參數之間的關係。
一般來說，一個訊號的峰對峰值 (Vpp) 是其最高值與最低值之差。
$V_{pp} = V_{high} - V_{low}$
根據 (A)， $V_{high} = 2V$ 且 $V_{low} = 1V$。
所以，$V_{pp} = 2V - 1V = 1V$。
然而，題目 (B) 給定 $V_{pp} = 2V$。這表示題目給定的參數 (A) 和 (B) 是互相衝突的，或者 (A) 的 High level 和 Low level 指的是加上 DC offset 後的瞬時最大值和最小值。

我們從 DC offset 和 Vpp 來推導訊號的真實振幅和平均值。
DC offset 代表訊號的平均值 (Average value) 或中間值。
$V_{average} = V_{DC\_offset} = 0.5V$

峰對峰值 (Vpp) 是訊號的最大變化範圍。
$V_{pp} = 2V$

對於一個正弦波訊號，其振幅 (Amplitude, $V_A$) 與峰對峰值 (Vpp) 的關係是：
$V_{pp} = 2 \times V_A$
所以，訊號的振幅為：
$V_A = \frac{V_{pp}}{2} = \frac{2V}{2} = 1V$

一個標準的正弦波訊號可以表示為 $v(t) = V_A \sin(\omega t + \phi)$。
加上 DC offset 後，訊號為 $v(t) = V_{DC\_offset} + V_A \sin(\omega t + \phi)$。
在這個例子中，訊號為 $v(t) = 0.5V + 1V \sin(\omega t + \phi)$。

現在我們來驗證 (A) 的 High level 和 Low level。
訊號的最大值 (High level) 發生在 $\sin(\omega t + \phi) = 1$ 時：
$V_{high} = V_{DC\_offset} + V_A = 0.5V + 1V = 1.5V$
訊號的最小值 (Low level) 發生在 $\sin(\omega t + \phi) = -1$ 時：
$V_{low} = V_{DC\_offset} - V_A = 0.5V - 1V = -0.5V$
這與題目 (A) 給定的 High level = 2V 和 Low level = 1V 不符。

重新解讀題目參數：
通常函數產生器的設定方式有幾種。

1. 直接設定 Amplitude, Frequency, DC Offset。
2. 設定 High Level, Low Level, Frequency。
3. 設定 Vpp, Frequency, DC Offset。

題目給了三種設定方式的組合，其中 (A) 和 (B) 似乎是獨立的設定，或者 (A) 是對 (B) 的一種描述。
假設題目是想表達：

• 訊號是正弦波。
• 訊號的峰對峰值 $V_{pp} = 2V$。
• 訊號的 DC offset $V_{DC\_offset} = 0.5V$。
• 另外，它也提到 High level = 2V 和 Low level = 1V。這兩個值加起來的平均是 $(2V+1V)/2 = 1.5V$，這與 DC offset $0.5V$ 不符。這兩個值相減是 $2V-1V = 1V$，這與 Vpp $2V$ 不符。
  因此，我們應該以 Vpp 和 DC offset 為準，因為這是描述一個完整訊號最直接的方式。High level 和 Low level 的描述可能有些誤導，或者是指在某個特定基準下的值。

以 $V_{pp}=2V$ 和 $V_{DC\_offset}=0.5V$ 為準來計算 $V_{rms}$。
訊號的形式為 $v(t) = V_{DC\_offset} + V_A \sin(\omega t)$。
其中 $V_A = V_{pp}/2 = 2V/2 = 1V$。
所以，$v(t) = 0.5V + 1V \sin(\omega t)$。

RMS (Root Mean Square) 值的計算公式為：
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} [v(t)]^2 dt}$

對於 $v(t) = V_{DC\_offset} + V_A \sin(\omega t)$：
$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (V_{DC\_offset} + V_A \sin(\omega t))^2 dt$

核心觀念

本題考查半波精密整流器、PMMC 電流表與分流電阻的設計。

• PMMC 儀表的指示值與線圈平均電流成正比。
• 半波正弦電流的平均值為

$$I_{\text{avg}}=\frac{I_{\text{peak}}}{\pi} =0.3183I_{\text{peak}}$$

• $R_{SH}$ 與 PMMC 內阻 $R_m$ 並聯，用來分流，使流過線圈的電流不超過滿刻度電流。
• 正半週導通時，電流路徑包含兩個二極體，因此須計入兩個二極體壓降：

$$2V_F=2(0.8)=1.6\text{ V}$$

(a) 正半週導通分析

當輸入電壓為正半週時：

• $D_{1A}$：ON
• $D_{1B}$：ON
• $D_2$：OFF

此時運算放大器配合 $D_{1A}$、$D_{1B}$ 形成精密半波整流器，使正半週電壓送至 PMMC 與 $R_{SH}$ 的並聯負載。

負半週時：

• $D_{1A}$：OFF
• $D_{1B}$：OFF
• $D_2$：ON

因此負半週不會送入 PMMC，儀表只對正半週電流產生指示。

(b) $R_{SH}$ 與 $D_2$ 的功能

$R_{SH}$ 的功能

$R_{SH}$ 與 PMMC 內阻 $R_m$ 並聯，將大部分電流旁路掉，只有部分電流流過儀表線圈。

由分流關係：

$$\frac{I_m}{I_F} = \frac{R_{SH}}{R_m+R_{SH}}$$

其中：

• $I_F$：整體負載電流
• $I_m$：PMMC 線圈電流
• $R_m$：PMMC 內阻
• $R_{SH}$：分流電阻

因此，$R_{SH}$ 可避免線圈電流過大，並擴大交流電壓表的量測範圍。

$D_2$ 的功能

$D_2$ 在負半週導通，提供電流回路並箝制輸入節點電壓，主要作用為：

1. 限制運算放大器輸入端的反向電壓。
2. 保護運算放大器與 PMMC 儀表。
3. 阻止負半週電流流過 PMMC。

(c) 求 $R_S$ 與 $R_{SH}$

假設題目中的交流電壓為正弦波 RMS 值。

第一步：由 $0.4V_{FSD}$ 求總串聯電阻

滿刻度電壓為

$$V_{FSD}=50\text{ V(rms)}$$

因此

$$V_1=0.4V_{FSD}=20\text{ V(rms)}$$

其峰值為

$$V_{1,\text{peak}}=\sqrt{2}(20)=28.284\text{ V}$$

已知此時整體峰值電流為

$$I_{F1,\text{peak}}=200\ \mu\text{A}$$

正半週電流通過 $R_S$、兩個二極體及並聯負載。令

$$R_L=R_m\parallel R_{SH}$$

則

本題要求設計一個直流電源供應器，從 120V, 60Hz 的交流電輸入，輸出約 12V 的直流電壓，並包含穩壓電路。設計一個完整的電源供應器通常包含以下幾個主要部分：變壓、整流、濾波和穩壓。

電源供應器電路設計：

1. 變壓 (Transformer):

   • 功能： 將輸入的 120V AC 電壓降低到一個適合整流和穩壓的較低 AC 電壓。由於我們需要輸出約 12V DC，並且穩壓器會產生一定的壓降，所以變壓器的次級電壓應略高於 12V。
   • 選擇： 為了得到約 12V DC 的輸出，次級電壓通常選擇 15V AC 到 18V AC。這是因為經過整流和濾波後，DC 電壓會比 AC 電壓的峰值低一些，並且穩壓器也會有壓降。例如，如果選擇 15V AC 的變壓器，經過全波整流和濾波後，滤波後的 DC 電壓峰值約為 $15V \times \sqrt{2} \approx 21.2V$。濾波後的平均 DC 電壓會略低於此值，但仍足夠穩壓器工作。
   • 電路圖表示： 一個降壓變壓器，初級線圈接 120V, 60Hz AC，次級線圈輸出較低的 AC 電壓。

2. 整流 (Rectifier):

   • 功能： 將變壓器輸出的交流電轉換成脈動的直流電。
   • 選擇： 通常使用全波橋式整流電路，因為它比半波整流效率高，且輸出紋波較小。
   • 元件： 四個二極體 (D1, D2, D3, D4) 構成橋式整流。
   • 電路圖表示： 變壓器次級輸出連接到橋式整流器的兩個 AC 輸入端，DC 輸出端輸出脈動的 DC 電壓。

3. 濾波 (Filter):

   • 功能： 濾除整流後的脈動直流電中的交流成分（紋波），使其盡可能平滑。
   • 選擇： 最常用的是電解電容。電容值越大，濾波效果越好。
   • 元件： 一個較大的電解電容 (C1) 並聯在整流器的 DC 輸出端。
   • 電路圖表示： 在橋式整流器的 DC 輸出端並聯一個電容。

4. 穩壓 (Regulator):

   • 功能： 將濾波後的、可能仍有紋波的直流電，穩定在一個固定的、精確的直流電壓值。
   • 選擇： 最常用的是線性穩壓器 IC，例如 LM7812。LM7812 是一個輸出 12V 的三端子正穩壓器。它需要一個輸入電壓高於輸出電壓一定值（通常是 2-3V）才能正常工作。
   • 元件： LM7812 穩壓器 IC。通常還需要兩個小電容 (C2, C3) 來提高穩定性和濾除高頻噪聲，一個接在輸入端，一個接在輸出端。
   • 電路圖表示： LM7812 的輸入端接濾波電容的輸出，輸出端提供穩定的 12V DC，接地端接地。

詳細電路圖與元件說明：

graph LR
    A[120V, 60Hz AC Input] --> T{Transformer};
    T --> R[Rectifier (Bridge)];
    R --> F[Filter Capacitor C1];
    F --> REG[Voltage Regulator (LM7812)];
    REG -- 12V DC Output --> O[Output];
    REG --> G[Ground];
    F --> G;
    R --> G;
    T -- Secondary Output --> R;

    subgraph Transformer
        T_pri(Primary) --- T_sec(Secondary);
    end

    subgraph Rectifier
        R1(D1) --> R_out_pos;
        R2(D2) --> R_out_neg;
        R3(D3) --> R_out_pos;
        R4(D4) --> R_out_neg;
        R_in1(AC Input 1) --> R1;
        R_in1 --> R4;
        R_in2(AC Input 2) --> R2;
        R_in2 --> R3;
        R_out_pos --> F;
        R_out_neg --> G;
    end

    subgraph Filter
        F_cap(C1);
    end

    subgraph Regulator
        REG_in(Input) --> REG;
        REG_out(Output) --> O;
        REG_gnd(Ground) --> G;
        REG_in --> C2(Input Cap);
        REG_out --> C3(Output Cap);
        C2 --> G;
        C3 --> G;
    end

元件選擇與考量：

• 變壓器 (Transformer):
  • 初級：120V, 60Hz。
  • 次級：約 15V AC (RMS)。如果需要更精確的計算，需要考慮穩壓器的壓降和濾波電容的紋波。LM7812 的輸入電壓至少需要比輸出電壓高 2-3V，即至少需要 $12V + 3V = 15V$ 的 DC 電壓。考慮到濾波電容的紋波，次級 AC 電壓的峰值應大於 15V。$15V_{rms} \times \sqrt{2} \approx 21.2V$ (峰值)。

本題要求詳細解釋圖 2 所示的頻率計工作原理，並說明其中 6 個關鍵模組的功能。

頻率計工作原理概述：
頻率計的基本原理是通過一個固定時間窗口內的計數來測量輸入訊號的頻率。它將輸入的未知頻率訊號通過一個閘門 (Gate) 控制，該閘門由一個精確的時基 (Time Base) 控制開啟和關閉的時間長度。在閘門開啟期間，輸入訊號的脈衝被計數，從而得到在該時間窗口內訊號的總計數。由於計數值與時間成正比，因此可以推算出輸入訊號的頻率。

圖 2 模組功能說明：

模組 1：Input Amplifier (輸入放大器)

• 功能： 接收來自外部的訊號輸入。它首先對輸入訊號進行放大，使其達到足夠的電壓水平，以便後續電路能夠可靠地處理。同時，它也可能包含訊號整形功能，將輸入的各種波形（如正弦波、方波、脈衝等）轉換為標準的方波或脈衝，以便觸發電路。它也可能包含輸入阻抗匹配和隔離功能。

模組 2：Main Gate (主閘門)

• 功能： 這是頻率計的核心控制元件之一。它接收來自輸入放大器（經過觸發後）的脈衝訊號，並根據來自控制邏輯的控制訊號（Strobe）來決定是否允許這些脈衝通過。閘門的開啟和關閉時間由時基決定。當閘門開啟時，它允許輸入脈衝進入計數器；當閘門關閉時，則阻止脈衝進入。

模組 3：Main Gate Flip-Flop (主閘門觸發器)

• 功能： 該觸發器（通常是 D 型觸發器）用於產生控制主閘門 (Main Gate) 開啟和關閉的訊號。它接收來自輸入放大器的觸發訊號 (Trig.) 和來自時基的觸發訊號。當接收到觸發訊號時，它會改變其輸出狀態 (Q)，進而控制主閘門的開啟或關閉。通常，時基訊號會控制觸發器在特定的時間點（例如，計數時間的開始和結束）翻轉，從而精確地控制閘門的開啟時間。

模組 4：Decade Counter Assembly (十進位計數器組件)

• 功能： 這是頻率計的計數核心。它接收來自主閘門 (Main Gate) 的已計數脈衝。每當一個脈衝通過閘門時，計數器就會加一。這個組件通常包含多個十進位計數器級聯，以支持較大數量的計數。這些計數器的輸出會連接到顯示器，以便讀取測量到的計數值。

核心觀念

全程平均速度的定義是「總路程除以總時間」，不能直接把兩段速度做算術平均。若兩段路程相等，且速度分別為 $v_1$、$v_2$，每段路程設為 $d$，則

$$\bar v =\frac{2d}{d/v_1+d/v_2} =\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$$

這是等距兩段行程的調和平均。

解題方法

（a）David 是否超速

隧道前、中的測速位置把隧道分成等長兩半。第一半速度為 $55\ \text{km/hr}$，第二半速度為 $90\ \text{km/hr}$。

令每半段距離為 $d$，總時間為

$$t=\frac{d}{55}+\frac{d}{90}$$

因此全隧道平均速度為

$$\bar v =\frac{2d}{t} =\frac{2}{\frac{1}{55}+\frac{1}{90}} =\frac{2(55)(90)}{55+90} =\frac{1980}{29} \approx 68.28\ \text{km/hr}$$

規定以全隧道平均速度判定，且速限為 $70\ \text{km/hr}$。因為 $68.28<70$，David 沒有超速。

（b）測速讀值有相對誤差時的平均速度

題目給定的 $70\ \text{km/hr}$ 與 $90\ \text{km/hr}$，和（a）中第一段的實際速度 $55\ \text{km/hr}$ 不一致。以下依（b）提供的兩個名目測速值 $70$ 與 $90\ \text{km/hr}$ 計算，並假設兩者的測量誤差皆為正 $10\%$。

先用名目值計算等距兩段的平均速度：

核心觀念

本題考查：

1. 分貝值的功率平均。
2. 中心抽頭式全波整流器的二極體反向峰值電壓（PIV）。
3. 串聯型歐姆表的誤差傳遞。
4. 雙斜率積分型 A/D 轉換器的計數與解析度。

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（a）分貝值的平均

題目要求直接對兩個 dBm 數值取平均：

$$X=\frac{-30+0}{2}=-15\ \text{dBm}$$

因此：

$$\boxed{X=-15\ \text{dBm}}$$

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（b）二極體的 PIV

圖中為中心抽頭式全波整流器。若次級繞組兩端的總有效值電壓為 $120\ \text{V}_{\mathrm{rms}}$，則每半組繞組為：

$$V_{\mathrm{half,rms}}=\frac{120}{2}=60\ \text{V}_{\mathrm{rms}}$$

每半組繞組的峰值電壓：

$$V_m=60\sqrt{2}=84.85\ \text{V}$$

當其中一顆二極體導通時，另一顆二極體承受的反向電壓約為：

$$\mathrm{PIV}=2V_m-V_D$$

代入 $V_D=0.7\ \text{V}$：

$$\mathrm{PIV}=2(84.85)-0.7 =168.99\ \text{V}$$

所以：

$$\boxed{\mathrm{PIV}\approx169\ \text{V}}$$

圖中只標示變壓器一次側為 $120\ \text{V}_{\mathrm{ac}}$，未提供變壓器匝數比；上述計算採用「次級總電壓為 $120\ \text{V}_{\mathrm{rms}}$」的標準題目假設。若 $120\ \text{V}_{\mathrm{rms}}$ 指的是每半組繞組電壓，則 PIV 應為：

$$2(120\sqrt{2})-0.7\approx338.6\ \text{V}$$

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（c）串聯型歐姆表的電阻不確定度

串聯型歐姆表中，滿刻度電流為 $I_{\mathrm{FSD}}$。當指針為 $0.5$ FSD 時：

$$I=0.5I_{\mathrm{FSD}}$$

由於歐姆表準確度為 $\pm1\%$ FSD，電流的絕對不確定度為：

$$\Delta I=0.01I_{\mathrm{FSD}}$$

因此相對於實際讀值 $0.5I_{\mathrm{FSD}}$，電流的相對不確定度為：

本題考驗對 Ayrton shunt (多範圍分流器) 在 PMMC 儀表中應用，以及計算其不同量程的電流值的理解，同時也需要解釋 Ayrton shunt 的優點。

Ayrton Shunt (Multiplying Ammeter) 原理：
Ayrton shunt 是一種特殊的電阻網絡，用於將一個 PMMC 儀表配置成多個不同量程的電流表。它通常包含三個串聯的電阻 ($R_1, R_2, R_3$)，並與 PMMC 儀表 ($R_m$) 並聯。通過選擇不同的組合，可以實現不同的總電流量程。

已知參數：

• PMMC 儀表滿刻度電流 $I_{FSD} = 100 \mu A = 100 \times 10^{-6}$ A。
• PMMC 儀表內阻 $R_m = 1 k\Omega = 1000 \Omega$。
• Ayrton shunt 電阻值：$R_1 = 0.05 \Omega$, $R_2 = 0.45 \Omega$, $R_3 = 4.5 \Omega$。

計算 PMMC 儀表上的最大允許電壓降：
當儀表顯示滿刻度時，儀表上的電壓降為：
$V_m = I_{FSD} \times R_m = (100 \times 10^{-6} \text{ A}) \times (1000 \Omega) = 0.1$ V。

Ayrton Shunt 的量程計算：
Ayrton shunt 的設計是通過選擇不同的組合來改變總電流的量程。通常有三種組合，對應於使用 $R_1$, $R_1+R_2$, $R_1+R_2+R_3$ 作為分流電阻。

• 量程 1： 使用 $R_1$ 作為分流器。
  總電流 $I_{total1}$ 流過 $R_1$ 和 PMMC 儀表。
  儀表上的電壓 $V_m = 0.1$ V。
  流過 $R_1$ 的電流 $I_{R1} = \frac{V_m}{R_1} = \frac{0.1 \text{ V}}{0.05 \Omega} = 2$ A。
  總電流 $I_{total1} = I_{FSD} + I_{R1} = 100 \mu A + 2 \text{ A} = 0.0001 \text{ A} + 2 \text{ A} = 2.0001$ A。
  這個量程是 $2.0001$ A。

• 量程 2： 使用 $R_1$ 和 $R_2$ 串聯作為分流器。
  總電流 $I_{total2}$ 流過 $R_1+R_2$ 和 PMMC 儀表。
  分流器總電阻 $R_{shunt2} = R_1 + R_2 = 0.05 \Omega + 0.45 \Omega = 0.50 \Omega$。
  流過分流器的電流 $I_{R1+R2} = \frac{V_m}{R_{shunt2}} = \frac{0.1 \text{ V}}{0.50 \Omega} = 0.2$ A。
  總電流 $I_{total2} = I_{FSD} + I_{R1+R2} = 100 \mu A + 0.2 \text{ A} = 0.0001 \text{ A} + 0.2 \text{ A} = 0.2001$ A。
  這個量程是 $0.2001$ A。

• 量程 3： 使用 $R_1$, $R_2$, $R_3$ 串聯作為分流器。
  總電流 $I_{total3}$ 流過 $R_1+R_2+R_3$ 和 PMMC 儀表。
  分流器總電阻 $R_{shunt3} = R_1 + R_2 + R_3 = 0.05 \Omega + 0.45 \Omega + 4.5 \Omega = 5.00 \Omega$。