114 年 國立成功大學電機工程學系碩士班戊組《電儀表學》

本題主要考察數位儲存示波器 (DSO) 的擷取模式以及函數產生器 (Function Generator) 的觸發模式。

(a) 數位儲存示波器 (DSO) 的擷取模式

數位儲存示波器有三種主要的擷取（或稱掃描）模式，分別是：

1. 掃描模式 (Sweep Mode)：這是最基本的模式，示波器會以一個固定的時間基底（Time Base）掃描螢幕。當訊號到達觸發點後，示波器會開始記錄訊號。

   • 運作方式：訊號被擷取後，會以固定速率顯示在螢幕上。如果訊號是週期性的，示波器會以相同的觸發條件重複擷取和顯示，形成穩定的波形。
   • 應用：適用於觀察穩定、重複出現的訊號，如正弦波、方波等。
   • 符號：通常沒有特別的符號，操作上就是設定好觸發條件和時間基底。

2. 單次模式 (Single Shot / Single Sequence Mode)：在此模式下，示波器只會擷取一次觸發事件。一旦觸發發生，示波器會擷取觸發點前後的波形，並將其儲存在記憶體中，直到使用者手動清除或重新啟動擷取。

   • 運作方式：示波器等待觸發訊號，一旦觸發，就擷取一段時間的波形並停止。這段波形會被保留在螢幕上，直到使用者手動操作。
   • 應用：適用於觀察非週期性、偶發性或單次發生的訊號，例如故障偵測、瞬態現象的記錄。
   • 符號：通常會標示為 "Single" 或 "Single Shot"。
     🖼️【此處有附圖，請對照原卷】（此模式通常在示波器面板上有一個獨立的按鈕或選項）

3. 滾動模式 (Roll Mode / Roll-over Mode)：在此模式下，當時間基底設定得非常慢時（例如 $> 1$ 秒/div），訊號會像紙張一樣從右邊向左邊滾動顯示。示波器會持續不斷地擷取數據，並在螢幕上從右向左更新波形。

   • 運作方式：訊號數據像河流一樣由右向左流動，最新的數據出現在最右邊。
   • 應用：適用於觀察長時間的低頻訊號變化，例如監控系統的訊號變化，或是緩慢的電壓漂移。
   • 符號：通常在時間基底設定選項中，當時間基底非常慢時，會自動啟用或可選擇此模式。

核心觀念

齊納二極體的動態電阻，是工作點附近電壓變化量與電流變化量的比值：

$$r_z=\frac{\Delta V_z}{\Delta I_z}$$

此穩壓電路利用運算放大器的負回授，使反相端電壓等於同相端的齊納參考電壓。$R_2$、$R_3$ 將輸出電壓分壓後送至反相端，因此可由分壓關係求輸出電壓。

解題方法

(a) 齊納二極體動態電阻

電流從 $10\,\text{mA}$ 增加至 $20\,\text{mA}$ 時，齊納電壓從 $4.00\,\text{V}$ 增加至 $4.05\,\text{V}$：

$$r_z=\frac{4.05-4.00}{(20-10)\times 10^{-3}} =\frac{0.05}{0.01} =5\,\Omega$$

(b) 齊納電流為 $10\,\text{mA}$ 時的輸出電壓

此時齊納電壓為 $V_z=4\,\text{V}$。理想運算放大器在負回授下，反相端與同相端電壓相等，因此 $R_2$、$R_3$ 的分壓點為 $4\,\text{V}$：

$$V_z=V_o\frac{R_3}{R_2+R_3}$$

本題考查數位電壓表中常用的積分式（Integrator-based）類比數位轉換器（ADC）中的雙斜率積分（Dual-Slope Integration）原理。

核心觀念：雙斜率積分 ADC 是一種高精度的 ADC，它通過對輸入電壓進行兩次不同斜率的積分，然後測量第二次積分所需的時間來確定輸入電壓的大小。其優點是精度高，且不易受時脈抖動和類比電路參數變化的影響。

圖示分析：圖 2 展示了雙斜率 ADC 的簡化方塊圖。主要組件包括：

• 積分器 (Integrator)：由一個運算放大器、一個電阻 R 和一個電容 C 組成。其輸出電壓 $V_o$ 與輸入電壓和時間的關係為 $V_o(t) = -\frac{1}{RC} \int V_{in}(t) dt$。
• 時脈 (Clock)：提供計數脈衝。
• 零交叉偵測器 (Zero-crossing detector)：偵測積分器的輸出電壓 $V_o$ 是否通過零電壓點。
• AND 閘：用於控制計數器的啟動和停止。
• 未知電壓 (Unknown voltage) $V_i$：待測的類比電壓。
• 穩定參考電壓 (Stable reference voltage) $V_k$：一個精確且穩定的正電壓，用於第二次積分。

工作原理：雙斜率 ADC 的工作過程分為兩個階段：

第一階段：對未知電壓 $V_i$ 積分

1. 啟動：當 ADC 開始轉換時，開關 S1 (未在圖中明確標示，但為積分器輸入選擇) 會連接到未知電壓 $V_i$。同時，積分器中的電容 C 被放電，使其初始電壓為零。
2. 積分：一個固定的時間 $T_1$ (通常由內部計時器或固定數量的時脈脈衝決定)，積分器對輸入電壓 $V_i$ 進行積分。運算放大器的輸出電壓 $V_o(t)$ 隨時間線性變化。
   $V_o(t) = -\frac{1}{RC} \int_0^{T_1} V_i dt = -\frac{V_i}{RC} T_1$
   由於 $V_i$ 是恆定的（在 $T_1$ 期間），所以 $V_o$ 在 $T_1$ 結束時達到一個負的最大值 (假設 $V_i$ 為正)。我們稱這個電壓為 $V_{peak}$。
   $V_{peak} = -\frac{V_i \cdot T_1}{RC}$

第二階段：對參考電壓 $V_k$ 反向積分

1. 切換：在時間 $T_1$ 結束時，開關 S1 會切換到連接到穩定的參考電壓 $V_k$。同時，計數器被啟動，零交叉偵測器開始監測積分器的輸出。
2. 反向積分：積分器現在對參考電壓 $V_k$ 進行反向積分（通常是負的參考電壓，或者通過運算放大器的反向輸入端接入正的參考電壓，使得輸出電壓朝向零增加）。假設我們使用一個負的參考電壓 $-V_k$ 或接入一個正的 $V_k$ 使得積分方向相反。

本題主要考查功率和電壓的 dBm 單位轉換，以及 dBm 數據集的調和平均數計算。

核心觀念：

• dBm 是一種功率單位，表示相對於 1 毫瓦 (mW) 的分貝數。
• dBm 與電壓的關係取決於參考阻抗。在 RF 和音訊領域，通常假設參考阻抗為 50 $\Omega$ 或 600 $\Omega$。題目中未明確指定，通常在電機資訊領域，會採用 50 $\Omega$ 作為標準。
• 調和平均數 (Harmonic Mean) 是一種平均數的計算方式，適用於計算速率或比率的平均值。

單位轉換公式：
功率 P (mW) 與電壓 $V_{rms}$ (V) 在參考阻抗 $R$ ( $\Omega$ ) 下的關係為：
$P = \frac{V_{rms}^2}{R}$
dBm 的定義是：
$P_{dBm} = 10 \log_{10} \left( \frac{P}{1 \text{ mW}} \right)$
若以電壓表示，並假設參考阻抗為 $R$ ( $\Omega$ )，則：
$P_{dBm} = 10 \log_{10} \left( \frac{V_{rms}^2 / R}{1 \text{ mW}} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{V_{rms}^2}{R \cdot 1 \text{ mW}} \right)$
$P_{dBm} = 20 \log_{10} (V_{rms}) - 10 \log_{10} (R) - 10 \log_{10} (1 \text{ mW})$
假設 $R = 50 \text{ } \Omega$:
$P_{dBm} = 20 \log_{10} (V_{rms}) - 10 \log_{10} (50) - 10 \log_{10} (0.001)$
$P_{dBm} = 20 \log_{10} (V_{rms}) - 10 \cdot 1.699 - 10 \cdot (-3)$
$P_{dBm} = 20 \log_{10} (V_{rms}) - 16.99 + 30$
$P_{dBm} = 20 \log_{10} (V_{rms}) + 13.01$
若以 $V_{rms}$ 為單位，則 $V_{rms}$ 的單位是 V。
通常，當我們說 "Signal level of X Vrms in dBm" 時，它隱含了一個參考阻抗。若無特別說明，通常使用 50 $\Omega$。

若使用 1 Vrms 作為參考電壓，則 dBm 的計算會簡化。但 dBm 是功率單位，所以必須與功率轉換。
更常見的轉換公式是：
對於 50 $\Omega$ 系統：
$P_{dBm} = 20 \log_{10} \left( \frac{V_{rms}}{0.2236} \right)$
其中 0.2236 Vrms 是產生 1 mW 功率的電壓，因為 $P = \frac{V^2}{R} \implies 1 \text{ mW} = \frac{V^2}{50 \text{ } \Omega} \implies V^2 = 0.05 \text{ V}^2 \implies V = \sqrt{0.05} \approx 0.2236$ V。
所以，$P_{dBm} = 20 \log_{10} (V_{rms}) - 20 \log_{10} (0.2236) = 20 \log_{10} (V_{rms}) - (-13.01) = 20 \log_{10} (V_{rms}) + 13.01$。

若題目沒有指定參考阻抗，我們假設是 50 $\Omega$。

(a) Express a signal level of 0.8 mV rms in dBm

給定 $V_{rms} = 0.8$ mV = $0.8 \times 10^{-3}$ V。
假設參考阻抗 $R = 50 \text{ } \Omega$。
首先計算功率 P：
$P = \frac{V_{rms}^2}{R} = \frac{(0.8 \times 10^{-3} \text{ V})^2}{50 \text{ } \Omega} = \frac{0.64 \times 10^{-6} \text{ V}^2}{50 \text{ } \Omega} = 0.0128 \times 10^{-6} \text{ W} = 12.8 \times 10^{-9} \text{ W}$
將功率轉換為 mW：
$P = 12.8 \times 10^{-9} \text{ W} = 12.8 \times 10^{-6} \text{ mW}$
現在轉換為 dBm：
$P_{dBm} = 10 \log_{10} \left( \frac{P}{1 \text{ mW}} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{12.8 \times 10^{-6} \text{ mW}}{1 \text{ mW}} \right) = 10 \log_{10} (12.8 \times 10^{-6})$
$P_{dBm} = 10 (\log_{10} (12.8) + \log_{10} (10^{-6})) = 10 (1.107 + (-6)) = 10 (-4.893) = -48.93 \text{ dBm}$

或者使用公式：
$P_{dBm} = 20 \log_{10} (V_{rms}) + 13.01$
$P_{dBm} = 20 \log_{10} (0.8 \times 10^{-3}) + 13.01$
$P_{dBm} = 20 (\log_{10} (0.8) + \log_{10} (10^{-3})) + 13.01$
$P_{dBm} = 20 (-0.0969 + (-3)) + 13.01$
$P_{dBm} = 20 (-3.0969) + 13.01$
$P_{dBm} = -61.938 + 13.01 = -48.928 \text{ dBm}$
結果非常接近。

【答案】約 -48.9 dBm (假設參考阻抗為 50 $\Omega$)

(b) Find an equivalent signal level of 43 dBm in Vrms

本題考查如何將電流表改裝成電壓表，涉及分流器和倍增器的原理。

核心觀念：

• 電流表 (Ammeter)：內部有一個線圈電阻 $R_m$，其滿刻度電流為 $I_{fs}$。
• 改裝成電壓表 (Voltmeter)：需要在電流表（表頭）的 串聯 位置接入一個較大的電阻，稱為 倍增器電阻 (Multiplier Resistor)，記為 $R_s$。這個串聯電阻會限制流過表頭的電流，使得在較大的電壓範圍內，流過表頭的電流不超過其滿刻度電流，從而測量電壓。
• 改裝成電流表 (Ammeter)：需要在電流表（表頭）的 並聯 位置接入一個較小的電阻，稱為 分流器電阻 (Shunt Resistor)，記為 $R_{sh}$。這個並聯電阻會分流大部分電流，使得只有一小部分電流流入表頭，從而擴大電流表的測量範圍。

題目中提到 "multiplier resistor"，這表示我們要將電流表改裝成電壓表。因此，該電阻應該與電流表 串聯。

已知條件：

• 電流表滿刻度電流 (Full Scale Current)：$I_{fs} = 100 \text{ } \mu A = 100 \times 10^{-6} \text{ A} = 0.1 \text{ mA}$。
• 電流表內部電阻 (Internal Resistance)：$R_m = 1200 \text{ } \Omega$。
• 目標電壓表量程：0 到 10 V。這意味著當測量電壓為 10 V 時，流過表頭的電流應為其滿刻度電流 $I_{fs}$。

問題：

1. 需要多大的倍增器電阻 $R_s$？
2. 這個電阻應該串聯還是並聯？

解題步驟：

1. 確定電阻連接方式
由於我們是要將電流表改裝成電壓表，需要測量電壓，所以倍增器電阻 $R_s$ 必須與電流表的內阻 $R_m$ 串聯。

2. 計算所需的倍增器電阻 $R_s$
當電壓表的讀數達到最大值 10 V 時，流過整個串聯電路的電流應等於電流表的滿刻度電流 $I_{fs}$。
根據歐姆定律，串聯電路中的總電壓等於總電流乘以總電阻：
$V_{max} = I_{fs} \cdot (R_m + R_s)$
其中：

核心觀念

峰值反向電壓（PIV）是二極體截止時，兩端承受的最大反向電壓。圖 3 是橋式整流器；每半週有兩顆二極體導通，另外兩顆截止。

解題方法

圖中標示的 $120\ \mathrm{V_{ac}}$ 在變壓器一次側，未標示變壓器匝數比，因此次級電壓無法由圖面直接確定。以下依合理假設，採用一次、二次側電壓相同，亦即次級為 $120\ \mathrm{V_{rms}}$。

次級正弦電壓的峰值為

$$V_m = 120\sqrt{2} \approx 169.7\ \mathrm{V}$$

核心觀念

本題考查 Maxwell 電橋的平衡條件。圖中左下臂為 $R_3$ 與 $C_3$ 並聯，右上臂為待測線圈：

$$Z_s=R_s+j\omega L_s$$

平衡時，檢流計兩端電位相等。設四個橋臂依序為：

• 左上臂：$R_1$
• 左下臂：$R_3\parallel C_3$
• 右上臂：$R_s+j\omega L_s$
• 右下臂：$R_4$

其平衡條件為：

$$R_1R_4=Z_3Z_s$$

其中

$$Z_3=R_3\parallel \frac{1}{j\omega C_3} =\frac{R_3}{1+j\omega R_3C_3}$$

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解題方法與推導

由平衡條件：

$$Z_s=\frac{R_1R_4}{Z_3}$$

代入 $Z_3$：

$$Z_s =\frac{R_1R_4}{R_3} \left(1+j\omega R_3C_3\right)$$

整理得：

$$Z_s=\frac{R_1R_4}{R_3} +j\omega R_1R_4C_3$$

再與待測線圈阻抗

$$Z_s=R_s+j\omega L_s$$

比較實部與虛部：

$$R_s=\frac{R_1R_4}{R_3}$$ $$L_s=R_1R_4C_3$$

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(a) 電路是否與頻率有關？

雖然橋臂阻抗 $Z_3$ 與頻率 $\omega$ 有關，但平衡後所得到的 $L_s$ 與 $R_s$ 分別為：

$$L_s=R_1R_4C_3$$ $$R_s=\frac{R_1R_4}{R_3}$$