114 年 國立成功大學電機工程學系碩士班乙組《控制系統（含控制工程、線性系統）》

此題主要考查牛頓第二運動定律在垂直發射火箭上的應用，以及線性化與傳遞函數的建立。

核心觀念：牛頓第二運動定律、重力加速度模型、線性化、傳遞函數。

解題步驟：
首先，我們需要建立火箭的運動方程式。火箭的運動受到向上的推力 $T$ 和向下的重力 $mg$ 的影響。根據牛頓第二運動定律，合力等於質量乘以加速度。在這裡，加速度是高度 $h$ 對時間的二階導數，即 $\ddot{h}$。

$m\ddot{h} = T - mg$

其中，$g$ 是隨高度變化的重力加速度。題目給出了 $g = g_0 \frac{R}{R+h}$。

(a). 建立描述推力 $T$ 與高度 $h$ 之間關係的微分方程式。

將 $g$ 的表達式代入運動方程式：
$m\ddot{h} = T - mg_0 \frac{R}{R+h}$
$m\ddot{h}(R+h) = T(R+h) - mg_0 R$
$mR\ddot{h} + mh\ddot{h} = TR + Th - mg_0 R$

這是一個非線性微分方程式，因為它包含了 $h\ddot{h}$ 和 $h$ 的項。為了得到一個線性微分方程式，我們通常會對其進行線性化。

(b). 在 $h=0$ 處進行線性近似，並確定傳遞函數。

當火箭處於近地軌道時，高度 $h$ 相對於地球半徑 $R$ 非常小，即 $h \ll R$。我們可以在 $h=0$ 附近進行線性化。
首先，考慮重力加速度 $g$ 在 $h=0$ 附近的線性近似。
$g(h) = g_0 \frac{R}{R+h} = g_0 R (R+h)^{-1}$
使用泰勒展開，在 $h=0$ 附近：
$g(h) \approx g(0) + g'(0)h$
$g(0) = g_0 \frac{R}{R+0} = g_0$
$g'(h) = g_0 R (-1)(R+h)^{-2} = -g_0 R (R+h)^{-2}$
$g'(0) = -g_0 R (R+0)^{-2} = -g_0 R R^{-2} = -\frac{g_0}{R}$
所以，線性近似的重力加速度為：
$g(h) \approx g_0 - \frac{g_0}{R}h$

將此近似代入運動方程式：
$m\ddot{h} = T - m(g_0 - \frac{g_0}{R}h)$
$m\ddot{h} = T - mg_0 + \frac{mg_0}{R}h$
$m\ddot{h} - \frac{mg_0}{R}h = T - mg_0$

這是線性化的微分方程式。我們通常感興趣的是推力 $T$ 的變化對高度 $h$ 的影響，因此我們將零輸入響應（$T=0$ 時的響應）的部分移到右邊，或者將其視為一個常數偏移。
令 $T_{eq} = mg_0$ 為在 $h=0$ 時的重力，則 $m\ddot{h} = T - mg_0 + \frac{mg_0}{R}h$。

核心觀念

本題考查三個重點：

1. 單位負回授系統的閉迴路特徵方程式。
2. 二階系統的穩定條件。
3. 由開迴路頻率響應計算相位裕度（Phase Margin, PM）。

單位負回授下，開迴路傳遞函數為

$$L(s)=K(s)G(s) =\left(k_p+k_ds\right)\frac{1}{s^2} =\frac{k_p+k_ds}{s^2}.$$

閉迴路特徵方程式由

$$1+L(s)=0$$

決定。

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解題方法

一、求閉迴路穩定條件

由

$$1+\frac{k_p+k_ds}{s^2}=0$$

得

$$s^2+k_ds+k_p=0.$$

其特徵方程式為

$$s^2+k_ds+k_p=0.$$

對一般二階多項式

$$s^2+a_1s+a_0=0,$$

要使系統漸近穩定，必須滿足

$$a_1>0,\qquad a_0>0.$$

因此本題的穩定條件為

$$\boxed{k_d>0,\qquad k_p>0}.$$

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二、求增益交越頻率

相位裕度是在增益交越頻率 $\omega_{gc}$ 下計算，其中 $\omega_{gc}$ 滿足

$$|L(j\omega_{gc})|=1.$$

將 $s=j\omega$ 代入開迴路函數：

$$L(j\omega)=\frac{k_p+jk_d\omega}{(j\omega)^2} =-\frac{k_p+jk_d\omega}{\omega^2}.$$

因此其幅值為

$$|L(j\omega)| =\frac{\sqrt{k_p^2+k_d^2\omega^2}}{\omega^2}.$$

令其等於 $1$：

$$\frac{\sqrt{k_p^2+k_d^2\omega_{gc}^2}} {\omega_{gc}^2}=1.$$

平方後得

$$k_p^2+k_d^2\omega_{gc}^2 =\omega_{gc}^4.$$

令

$$x=\omega_{gc}^2,$$

則

$$x^2-k_d^2x-k_p^2=0.$$

正根為

$$\omega_{gc}^2 =\frac{k_d^2+\sqrt{k_d^4+4k_p^2}}{2}.$$

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三、求相位裕度條件

當 $k_p>0$、$k_d>0$ 時，

$$\angle(k_p+jk_d\omega) =\tan^{-1}\left(\frac{k_d\omega}{k_p}\right).$$

由於 $1/s^2$ 在正頻率下提供 $-180^\circ$ 相位，因此

$$\angle L(j\omega) =-180^\circ+ \tan^{-1}\left(\frac{k_d\omega}{k_p}\right).$$

相位裕度定義為

$$PM=180^\circ+\angle L(j\omega_{gc}),$$

所以

此題考查了穩態誤差的計算，特別是對於不同輸入信號和系統參數下的情況。

核心觀念：穩態誤差、系統類型、前向通路傳遞函數、最終值定理 (Final Value Theorem)。

解題步驟：
首先，我們需要確定系統的類型以及前向通路傳遞函數 (Forward Path Transfer Function, FPTF)。
從圖中可以看出，前向通路傳遞函數為：
$G_{OL}(s) = C(s)P(s)$
其中 $C(s)$ 是控制器，$P(s)$ 是被控對象。
在這裡，$C(s)$ 是比例控制器，所以 $C(s) = k_p$ (題目沒有明確給出控制器形式，但從圖中 C(s) 符號及其連接方式，以及參數 $a$ 的出現，可以推斷控制器形式)。
被控對象 $P(s)$ 的傳遞函數為 $\frac{12(s+5)}{s(s+a)(s+1)}$。
題目中的控制器 $C(s)$ 似乎是比例增益，但圖示中 $C(s)$ 旁邊有個加號 "+"，暗示它可能是一個更複雜的控制器，或者 $a$ 是控制器的一部分。
然而，根據穩態誤差的計算，我們通常關注的是系統的「極零點抵消」以及開環傳遞函數的特性。
仔細觀察題目圖示，控制器 $C(s)$ 旁邊是 "+"，表示它是一個加法節點。
真正的控制器是 $K(s) = \frac{12(s+5)}{s(s+a)(s+1)}$。
而輸入 $R(s)$ 經過加法節點後，與回授信號相減，然後進入控制器。
所以，這是一個單元負回授系統，其開環傳遞函數為：
$L(s) = K(s) = \frac{12(s+5)}{s(s+a)(s+1)}$

系統的穩態誤差 $e_{ss}$ 可以通過最終值定理來計算：
$e_{ss} = \lim_{t \to \infty} e(t) = \lim_{s \to 0} sE(s)$
其中 $E(s)$ 是誤差信號的拉普拉斯轉換。
對於單元負回授系統，$E(s) = R(s) - Y(s) = R(s) - T(s)R(s) = R(s)(1-T(s))$。
$T(s) = \frac{L(s)}{1+L(s)}$
$E(s) = R(s) \left( 1 - \frac{L(s)}{1+L(s)} \right) = R(s) \frac{1+L(s)-L(s)}{1+L(s)} = \frac{R(s)}{1+L(s)}$
$e_{ss} = \lim_{s \to 0} s \frac{R(s)}{1+L(s)}$

我們需要根據不同的輸入 $R(s)$ 和參數 $a$ 來計算。

系統類型：
系統的類型由開環傳遞函數 $L(s)$ 在 $s=0$ 處的零點數量決定。
$L(s) = \frac{12(s+5)}{s(s+a)(s+1)}$
在 $s=0$ 時，分母有一個 $s$ 項，分子是 $12(0+5) = 60$。
因此，$L(s)$ 在 $s=0$ 時，形式為 $\frac{\text{常數}}{s^{\text{類型}} \times \text{其他項}}$。
$L(s) \approx \frac{60}{s \cdot a \cdot 1}$ (當 $s \to 0$)。
這表示該系統是 1 型系統 (Type 1 system)，因為分母有一個 $s$。

穩態誤差公式：
對於 1 型系統：

• 輸入為斜坡函數 $R(s) = A/s^2$ (例如 $u(t)=At$)：
  位置誤差係數 $K_p = \lim_{s \to 0} L(s) = \infty$ (因為有 $s$ 在分母)。
  速度誤差係數 $K_v = \lim_{s \to 0} sL(s) = \lim_{s \to 0} s \frac{12(s+5)}{s(s+a)(s+1)} = \frac{12(5)}{a \cdot 1} = \frac{60}{a}$。
  穩態誤差 $e_{ss} = \frac{A}{K_v} = \frac{A}{60/a} = \frac{Aa}{60}$。
• 輸入為階躍函數 $R(s) = A/s$ (例如 $u(t)=A$)：
  位置誤差係數 $K_p = \lim_{s \to 0} L(s) = \lim_{s \to 0} \frac{12(s+5)}{s(s+a)(s+1)} = \infty$ (因為 $s$ 在分母)。

核心觀念

狀態變數線性轉換定義為

$$z(t)=Tx(t),$$

其中 $T$ 必須為非奇異矩陣。對時間微分得

$$\dot z(t)=T\dot x(t) =T[Ax(t)+bu(t)].$$

由於 $x(t)=T^{-1}z(t)$，因此

$$\dot z(t)=TAT^{-1}z(t)+Tbu(t).$$

所以轉換後的系統矩陣與輸入矩陣分別為

$$\widetilde A=TAT^{-1},\qquad \widetilde b=Tb.$$

題目要求轉換後的輸入矩陣仍為原本的 $b$，故必須滿足

$$Tb=b.$$

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解題方法

令

$$T= \begin{bmatrix} t_{11}&t_{12}&t_{13}\\ t_{21}&t_{22}&t_{23}\\ t_{31}&t_{32}&t_{33} \end{bmatrix}, \qquad b= \begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}.$$

則

$$Tb= \begin{bmatrix} t_{13}\\t_{23}\\t_{33} \end{bmatrix}.$$

要求 $Tb=b$，因此

$$t_{13}=0,\qquad t_{23}=0,\qquad t_{33}=1.$$

故所有符合輸入矩陣不變的狀態轉換矩陣皆可寫成

$$T= \begin{bmatrix} t_{11}&t_{12}&0\\ t_{21}&t_{22}&0\\ t_{31}&t_{32}&1 \end{bmatrix},$$

並且必須滿足 $T$ 非奇異，即

$$\det T=t_{11}t_{22}-t_{12}t_{21}\neq 0.$$

在此轉換下，

$$\widetilde A=TAT^{-1},$$

而輸入項為

$$Tbu(t)=bu(t).$$

因此

$$\dot z(t)=\widetilde A z(t)+bu(t).$$

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核心觀念

本題考查「Type I 系統對斜坡輸入的穩態誤差」以及狀態空間模型與傳遞函數之間的轉換。

對單位回授系統而言，速度誤差係數定義為

$$k_v=\lim_{s\to 0}sG(s),$$

且斜坡輸入 $r(t)=at$ 所造成的穩態誤差為

$$e_{\mathrm{ss}}=\frac{a}{k_v}.$$

Type I 系統具有一個積分作用，因此對階梯輸入的穩態誤差為零，亦即其閉迴路追蹤函數必須滿足

$$G(0)=1.$$

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解題方法

由狀態方程

$$\dot{x}(t)=Ax(t)+bu(t),\qquad y(t)=cx(t),$$

在零初始條件下取拉氏轉換：

$$X(s)=(sI-A)^{-1}bU(s).$$

因此輸入至輸出的傳遞函數為

$$G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} =c(sI-A)^{-1}b.$$

因為系統為漸近穩定，$A$ 的特徵值皆位於左半平面，所以 $A^{-1}$ 存在。將 $(sI-A)^{-1}$ 在 $s=0$ 附近展開：

$$(sI-A)^{-1} =-(A-sI)^{-1} =-A^{-1}-sA^{-2}+O(s^2).$$

故

$$G(s) =-cA^{-1}b-scA^{-2}b+O(s^2).$$

Type I 系統對階梯輸入無穩態誤差，因此

$$G(0)=-cA^{-1}b=1.$$

所以低頻附近的傳遞函數可寫成

$$G(s)=1-scA^{-2}b+O(s^2).$$

題目給定斜坡輸入

$$u(t)=5t,$$

其拉氏轉換為

$$U(s)=\frac{5}{s^2}.$$

追蹤誤差 $e(t)=u(t)-y(t)$，因此

$$E(s)=[1-G(s)]U(s).$$