111 年 國立成功大學電機工程學系碩士班戊組《電儀表學》

核心觀念

此題考查並聯型直流歐姆表的分流原理。未知電阻 $R_x$ 接上後，會與電表內阻 $R_m$ 並聯，使總電流在兩者間分流。

令電表未接 $R_x$ 時的指示電流為 $I_{m,O.C}$，接上 $R_x$ 後的指示電流為 $I_{m,Rx}$。

在簡化假設下，串聯電阻 $R_1+R_2$ 很大，因此接上 $R_x$ 前後，並聯支路的總電流可近似視為不變。

解題方法

未接上 $R_x$ 時，全部電流流過電表：

$$I_{m,O.C}=I_{\text{total}}$$

接上 $R_x$ 後，$R_m$ 與 $R_x$ 並聯。由分流公式，流過電表的電流為

$$I_{m,Rx} = I_{\text{total}}\frac{R_x}{R_m+R_x}$$

代入 $I_{\text{total}}=I_{m,O.C}$：

$$I_{m,Rx} = I_{m,O.C}\frac{R_x}{R_m+R_x}$$

整理：

本題考驗包含多個變數乘除與加減的複合運算，以及誤差傳播的計算。需要估計最終結果的近似值及其絕對誤差。

核心觀念：

1. 複合運算近似值：對於包含乘除和加減的運算，先計算各變數的近似值，然後進行運算。
2. 絕對誤差傳播：
   • 加減法：誤差是各項誤差的絕對值之和。若 $Z = X \pm Y$，則 $|\Delta Z| = |\Delta X| + |\Delta Y|$。
   • 乘除法：相對誤差是各項相對誤差之和。若 $Z = X \cdot Y$ 或 $Z = X / Y$，則 $|\frac{\Delta Z}{Z}| = |\frac{\Delta X}{X}| + |\frac{\Delta Y}{Y}|$。
   • 複合運算：先計算各部分的誤差，再傳播到最終結果。

解題步驟：

1. 計算各變數的近似值與絕對誤差：

   • $A = 6 \pm 0.2$

     • 近似值 $A_0 = 6$
     • 絕對誤差 $|\Delta A| = 0.2$
     • 相對誤差 $|\frac{\Delta A}{A_0}| = \frac{0.2}{6} = \frac{1}{30} \approx 0.0333$

   • $B = 3 \pm 0.3$

     • 近似值 $B_0 = 3$
     • 絕對誤差 $|\Delta B| = 0.3$
     • 相對誤差 $|\frac{\Delta B}{B_0}| = \frac{0.3}{3} = 0.1$

   • $C = 1 \pm 10\%$

     • 近似值 $C_0 = 1$
     • 相對誤差 $|\frac{\Delta C}{C_0}| = 10\% = 0.1$
     • 絕對誤差 $|\Delta C| = C_0 \cdot |\frac{\Delta C}{C_0}| = 1 \cdot 0.1 = 0.1$

   • $D = 3 \pm 5\%$

     • 近似值 $D_0 = 3$
     • 相對誤差 $|\frac{\Delta D}{D_0}| = 5\% = 0.05$
     • 絕對誤差 $|\Delta D| = D_0 \cdot |\frac{\Delta D}{D_0}| = 3 \cdot 0.05 = 0.15$

2. 計算運算式中的加法部分 $C+D$ 的近似值與絕對誤差：

   • 近似值 $(C+D)_0 = C_0 + D_0 = 1 + 3 = 4$。
   • 由於是加法，誤差相加：
     $|\Delta (C+D)| = |\Delta C| + |\Delta D| = 0.1 + 0.15 = 0.25$。
   • 所以，$C+D = 4 \pm 0.25$。
   • 相對誤差 $|\frac{\Delta (C+D)}{(C+D)_0}| = \frac{0.25}{4} = \frac{1}{16} = 0.0625$。

3. 計算運算式中的乘法部分 $A \cdot B$ 的近似值與相對誤差：

   • 近似值 $(A \cdot B)_0 = A_0 \cdot B_0 = 6 \cdot 3 = 18$。
   • 由於是乘法，相對誤差相加：
     $|\frac{\Delta (A \cdot B)}{(A \cdot B)_0}| = |\frac{\Delta A}{A_0}| + |\frac{\Delta B}{B_0}| = \frac{0.2}{6} + \frac{0.3}{3} = \frac{1}{30} + \frac{1}{10} = \frac{1+3}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$。
   • 相對誤差約為 $0.1333$。

4. 計算最終結果 $Z = \frac{A \cdot B}{C+D}$ 的近似值與相對誤差：

   • 近似值 $Z_0 = \frac{(A \cdot B)_0}{(C+D)_0} = \frac{18}{4} = 4.5$。

   • 計算最終結果的相對誤差。我們需要將 $(A \cdot B)$ 的相對誤差與 $(C+D)$ 的相對誤差相加：
     $|\frac{\Delta Z}{Z_0}| = |\frac{\Delta (A \cdot B)}{(A \cdot B)_0}| + |\frac{\Delta (C+D)}{(C+D)_0}|$
     $|\frac{\Delta Z}{Z_0}| = \frac{2}{15} + \frac{1}{16}$
     $|\frac{\Delta Z}{Z_0}| = \frac{2 \cdot 16 + 1 \cdot 15}{15 \cdot 16} = \frac{32 + 15}{240} = \frac{47}{240}$。

   • 計算最終結果的絕對誤差 $|\Delta Z|$：
     $|\Delta Z| = Z_0 \cdot |\frac{\Delta Z}{Z_0}| = 4.5 \cdot \frac{47}{240}$
     $|\Delta Z| = \frac{9}{2} \cdot \frac{47}{240} = \frac{3 \cdot 47}{2 \cdot 80} = \frac{141}{160}$。

   • 將 $\frac{141}{160}$ 計算成小數：
     $\frac{141}{160} \approx 0.88125$。

5. 將結果表示為近似值 $\pm$ 絕對誤差：

   • $Z \approx Z_0 \pm |\Delta Z|$
   • $Z \approx 4.5 \pm 0.88125$。

   考慮到輸入數據的精度，通常誤差的表示會取較少的有效數字。
   例如，如果我們將誤差四捨五入到小數點後一位，則 $|\Delta Z| \approx 0.9$。
   那麼結果為 $4.5 \pm 0.9$。

本題考查電儀表學中的基本名詞解釋與觀念比較。

核心觀念：

1. dBm 的單位定義。
2. 量測方法中的「零點測量」。
3. 儀表性能指標的「準確度」與「精密度」。
4. 測量誤差的來源。
5. 被測量的定義。

解題：

(a) dBm is a voltage unit (Yes/No)?

• 解釋：dBm (decibel-milliwatts) 是一種表示功率的單位，通常用於通信系統。它表示相對於 1 毫瓦 (mW) 的功率分貝數。
  • $P_{dBm} = 10 \log_{10} \left( \frac{P}{1 \text{ mW}} \right)$
• 判斷：dBm 是功率單位，不是電壓單位。雖然在某些特定情況下（例如，如果阻抗是恆定的），功率與電壓的平方成正比，可以間接推導出電壓關係，但 dBm 本身代表的是功率。
• 答案：No

(b) Null measurement

• 解釋：零點測量 (Null measurement) 是一種測量技術，其目標是使測量儀器上的指示器顯示為零或某個預設的零點。這通常通過調整電路中的某個參數（例如電阻、電容、電壓）來實現，直到測量到的差異（或偏差）為最小（理想情況下為零）。
• 應用：常見於電橋測量（如惠斯通電橋、交流電橋）、電位差計測量等。當電橋平衡時，電流或電壓為零，此時可以根據已知的元件值計算出未知元件的值。
• 優點：這種方法對儀器本身的靈敏度要求較低，因為只要能偵測到零點即可，且不易受儀器非線性或零點漂移的影響。

(c) Difference between accuracy and precision

• 準確度 (Accuracy)：

  • 定義：指測量結果的真實值（或預期值）的接近程度。它衡量的是測量結果與真實值之間的一致性。
  • 高準確度意味著測量結果非常接近真實值。
  • 例如，如果真實值是 10.00，一個準確的測量結果可能是 10.01 或 9.99。

• 精密度 (Precision)：

  • 定義：指重複測量時，結果之間的一致性或重現性。它衡量的是測量結果的離散程度。
  • 高精密度意味著多次測量得到的結果非常接近彼此，即使它們可能遠離真實值。

核心觀念

本題考查精密全波整流器。理想運算放大器具有：

• 輸入端電流為零；
• 在線性負回授下，$v_+=v_-$；
• 二極體配合運算放大器，可消除二極體導通壓降；
• 全波整流器輸出與輸入的關係為正弦波取絕對值，再乘上電路增益。

由圖中可變電阻分段：

$$R_x=xR,\qquad R_{1-x}=(1-x)R$$

在正半週導通時，電路的電壓增益為

$$A_v=\frac{R_x}{R_{1-x}} =\frac{xR}{(1-x)R} =\frac{x}{1-x}$$

因此輸出為輸入正負半週皆轉為正值的全波整流波形。

解題方法

利用二極體導通狀態分別分析正、負半週。每一個半週均有兩顆二極體導通，使負載端電壓保持正值。

電路增益為

$$A_v=\frac{x}{1-x}$$

故輸出與輸入的關係為

$$v_o=\frac{x}{1-x}|v_i|$$

其中 $0<x<1$。

(a) $x=0.5$ 時的輸出波形

當 $x=0.5$ 時，

$$A_v=\frac{0.5}{1-0.5}=1$$

因此

$$v_o=|v_i|$$

已知

$$v_i=10\sin(2t)$$

所以

$$v_o=10|\sin(2t)|$$

輸出波形為全波整流正弦波：

• 最大值：$10\text{ V}$
• 最小值：$0\text{ V}$
• 輸出週期：$\pi\text{ s}$
• 輸出頻率為輸入頻率的兩倍

分段表示為

$$v_o= \begin{cases} 10\sin(2t), & \sin(2t)\geq 0\\[4pt] -10\sin(2t), & \sin(2t)<0 \end{cases}$$

(b) $v_o$ 與 $v_i$ 的關係

由

$$v_o=\frac{x}{1-x}|v_i|$$

可得輸入輸出轉移特性為

$$v_o= \begin{cases} \dfrac{x}{1-x}v_i, & v_i\geq 0\\[8pt] -\dfrac{x}{1-x}v_i, & v_i<0 \end{cases}$$

因此圖形為以 $v_i=0$ 為頂點的 V 形：

• $v_i>0$ 時，斜率為 $\dfrac{x}{1-x}$；
• $v_i<0$ 時，斜率為 $-\dfrac{x}{1-x}$；
• $v_o$ 永遠不小於零。

當 $x=0.5$ 時，

$$v_o=|v_i|$$

核心觀念

此題考查並聯型直流歐姆表的分流原理。未知電阻 $R_x$ 接上後，會與電表內阻 $R_m$ 並聯，使總電流在兩者間分流。

令電表未接 $R_x$ 時的指示電流為 $I_{m,O.C}$，接上 $R_x$ 後的指示電流為 $I_{m,Rx}$。

在簡化假設下，串聯電阻 $R_1+R_2$ 很大，因此接上 $R_x$ 前後，並聯支路的總電流可近似視為不變。

解題方法

未接上 $R_x$ 時，全部電流流過電表：

$$I_{m,O.C}=I_{\text{total}}$$

接上 $R_x$ 後，$R_m$ 與 $R_x$ 並聯。由分流公式，流過電表的電流為

$$I_{m,Rx} = I_{\text{total}}\frac{R_x}{R_m+R_x}$$

代入 $I_{\text{total}}=I_{m,O.C}$：

$$I_{m,Rx} = I_{m,O.C}\frac{R_x}{R_m+R_x}$$

整理：