109 年 國立成功大學電機工程學系碩士班戊組《電儀表學》

核心觀念

本題結合：

1. 全波整流平均值與峰值的關係
   $I_{\text{avg}}=\frac{2}{\pi}I_{\text{pk}}$

2. PMMC 表頭的滿刻度電流為整流後平均電流：
   $I_{\text{avg}}=100\,\mu\text{A}$

3. 整流橋每次導通有兩顆二極體串聯，因此總導通壓降為：
   $2V_F=2(0.6)=1.2\text{ V}$

4. 理想電流互感器的電流比：
   $\frac{I_p}{I_s}=\frac{N_s}{N_p}=\frac{400}{5}=80$

其中 $I_s$ 為變壓器二次側總電流。

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解題方法

表頭支路包含 $R_s$、$R_m$ 與整流橋，因此其總串聯電阻為

$$R=R_s+R_m=160\,\text{k}\Omega+0.5\,\text{k}\Omega =160.5\,\text{k}\Omega$$

表頭滿刻度時，整流電流的峰值為

$$I_{m,\text{pk}} =\frac{\pi}{2}I_{\text{avg}} =\frac{\pi}{2}(100\,\mu\text{A}) =157.1\,\mu\text{A}$$

因此，變壓器二次側電壓峰值為

$$V_{s,\text{pk}} =2V_F+I_{m,\text{pk}}(R_s+R_m)$$ $$V_{s,\text{pk}} =1.2+(157.1\,\mu\text{A})(160.5\,\text{k}\Omega) \approx26.41\text{ V}$$

其有效值為

$$V_{s,\text{rms}} =\frac{V_{s,\text{pk}}}{\sqrt{2}} =\frac{26.41}{\sqrt{2}} \approx18.68\text{ V}$$

表頭支路電流的有效值為

$$I_{m,\text{rms}} =\frac{I_{m,\text{pk}}}{\sqrt{2}} =\frac{157.1}{\sqrt{2}}\,\mu\text{A} \approx111.1\,\mu\text{A}$$

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(a) 計算使表頭滿刻度時的變壓器一次側電流

已知

$$R_L=80\,\text{k}\Omega$$

流過 $R_L$ 的二次側電流有效值為

$$I_{L,\text{rms}} =\frac{V_{s,\text{rms}}}{R_L} =\frac{18.68}{80\,000} \approx233.5\,\mu\text{A}$$

此題考驗對電測量中基本術語的理解與區分。

(a) Null measurement (零點測量)
零點測量是一種測量方法，其原理是通過調整儀器或電路中的某個參數，使得被測量系統的輸出為零。例如，在電橋測量中，當電橋達到平衡狀態時，輸出端（通常是檢流計）的指示為零。這種方法的優點是，它不直接依賴於指示儀表的刻度準確性，而是依賴於零點的判斷，因此通常能獲得較高的準確度。

(b) Accuracy (準確度) vs. Precision (精確度)

• 準確度 (Accuracy)：衡量測量值與真實值之間的接近程度。一個測量結果的準確度高，表示它的平均值非常接近被測量的真實值。
  例如：真實值是 10.00 V。測量值為 10.05 V, 9.98 V, 10.02 V。這些測量值的平均值接近 10.00 V，因此準確度較高。
• 精確度 (Precision)：衡量多次測量結果之間的一致性或分散程度。一個測量結果的精確度高，表示多次重複測量得到的結果彼此非常接近，即使它們可能偏離真實值。
  例如：真實值是 10.00 V。測量值為 10.50 V, 10.51 V, 10.49 V。這些測量值彼此非常接近，顯示出高精確度，但由於它們都偏離 10.00 V，因此準確度較低。
  簡單來說，準確度關心的是「測得的結果是否接近真實值」，而精確度關心的是「測量結果是否一致」。高準確度通常意味著高精確度，但高精確度不一定意味著高準確度。

(c) Theoretical errors (理論誤差)
理論誤差是指在建立測量模型的過程中，由於對物理現象的簡化、理想化假設，或由於使用的理論本身不夠完善而引入的誤差。這些誤差是事先可以預知或計算的，並且通常與測量儀器本身無關。
例如：

• 在計算電路參數時，忽略了導線的電阻。

核心觀念

本題利用 Wheatstone bridge 作為歐姆計，主要考查：

• Wheatstone bridge 平衡條件
• Thevenin 等效電路
• 電橋輸出電壓與未知電阻變化的關係
• 電阻誤差傳遞
• 歐姆計靈敏度與檢流計最小可測電流的限制

圖 2 中，待測電阻為 $R$，可調電阻為 $S$。電橋平衡時，檢流計電流為零，即 $V_R=V_S$。

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(a) 求 $I_G$

將檢流計兩端的電橋視為 Thevenin 等效電路。

Thevenin 電壓為兩個分壓點的電壓差：

$$V_{RS} = E\left(\frac{R}{P+R}-\frac{S}{Q+S}\right)$$

將電壓源 $E$ 短路後，從檢流計兩端看入的等效電阻為

$$r=(P\parallel R)+(Q\parallel S)$$

因此

$$r=\frac{PR}{P+R}+\frac{QS}{Q+S}$$

檢流計內阻為 $R_m$，故檢流計電流為

$$I_G=\frac{V_{RS}}{R_m+r}$$

代入 $r$：

$$\boxed{ I_G= \frac{V_{RS}} {R_m+\dfrac{PR}{P+R}+\dfrac{QS}{Q+S}} }$$

若只求電流大小，取 $|V_{RS}|$ 即可。

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(b) 歐姆計的相對誤差

電橋平衡時：

$$\frac{R}{P+R}=\frac{S}{Q+S}$$

交叉相乘：

$$RQ+RS=PS+RS$$

因此

$$R=\frac{PS}{Q}$$

對此式取相對誤差：

$$\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta P}{P} + \frac{\Delta S}{S} - \frac{\Delta Q}{Q}$$

若採用最大可能誤差，誤差量取絕對值後相加：

$$\left|\frac{\Delta R}{R}\right| = \left|\frac{\Delta P}{P}\right| + \left|\frac{\Delta Q}{Q}\right| + \left|\frac{\Delta S}{S}\right|$$

代入題目數值：

$$\left|\frac{\Delta R}{R}\right| = 1\%+0.5\%+1.25\%$$ $$\boxed{ \left|\frac{\Delta R}{R}\right|=2.75\% }$$

因此，此歐姆計由 $P$、$Q$、$S$ 所造成的最大相對誤差為 $2.75\%$。

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(c) 由 $S$ 的最小可調量所造成的靈敏度

由平衡條件：

$$R=\frac{P}{Q}S$$

若 $S$ 的最小可調電阻為 $\Delta S$，則待測電阻的最小可分辨變化量為

$$\Delta R_L=\frac{P}{Q}\Delta S$$

所以由可調電阻 $S$ 所限制的靈敏度為

$$\boxed{ \Delta R_L=\frac{P}{Q}\Delta S }$$

相對靈敏度則為

$$\boxed{ \frac{\Delta R_L}{R} = \frac{\Delta S}{S} }$$

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(d) 證明檢流計最小電流造成的 $\Delta R_2$

設左側分壓支路的電阻 $R$ 變化 $\Delta R_2$。該支路中點電壓為

$$V_R=\frac{ER}{P+R}$$

當 $R$ 增加 $\Delta R_2$ 後，中點電壓變為

$$V_R'=\frac{E(R+\Delta R_2)} {P+R+\Delta R_2}$$

核心觀念

本題考查串並聯式歐姆計的等效電路與分壓原理。電壓表由串聯電阻 $R_1$ 與表頭內阻 $R_m$ 組成，因此電壓表總內阻為

$$R_v=R_1+R_m$$

未知電阻 $R_x$ 與電壓表並聯，其等效負載為

$$R_L=R_x\parallel R_v =\frac{R_xR_v}{R_x+R_v}$$

再與電池內部串聯電阻 $R_2$ 形成分壓電路。

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解題方法與推導

設電壓表兩端的電壓為 $V$。由 $R_2$ 與並聯負載 $R_L$ 分壓，

$$V=E\frac{R_L}{R_2+R_L}$$

因此

$$\frac{V}{E}=\frac{R_L}{R_2+R_L}$$

整理得

$$R_L=\frac{R_2V}{E-V}$$

另一方面，

$$R_L=\frac{R_xR_v}{R_x+R_v}$$

解出未知電阻 $R_x$：

$$R_x=\frac{R_LR_v}{R_v-R_L}$$

代入 $R_L=\dfrac{R_2V}{E-V}$，得

$$R_x = \frac{R_2VR_v} {E R_v-V(R_v+R_2)}$$

這是以電壓表兩端電壓 $V$ 表示的完整公式。

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以表頭讀值表示

若電壓表實際讀值為表頭兩端電壓 $V_m$，則因為 $R_1$ 與 $R_m$ 串聯，

$$V_m=I_mR_m$$

而電壓表總端電壓為

$$V=I_m(R_1+R_m) =V_m\frac{R_1+R_m}{R_m} =V_m\frac{R_v}{R_m}$$

代入前式可得

核心觀念

本題考查兩個觀念：

1. 齊納二極體的動態電阻：
   $r_z=\frac{\Delta V_z}{\Delta I_z}$

2. 運算放大器負回授穩壓電路。理想運算放大器工作在線性區時，兩輸入端電壓近似相等，因此分壓器中點電壓會被控制為齊納參考電壓 $V_z$。

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(a) 齊納二極體的動態電阻

已知：

$$V_z=4\text{ V},\quad I_z=10\text{ mA}$$ $$V_z=4.05\text{ V},\quad I_z=20\text{ mA}$$

因此：

$$\Delta V_z=4.05-4=0.05\text{ V}$$ $$\Delta I_z=20-10=10\text{ mA}=0.01\text{ A}$$

動態電阻為：

$$r_z=\frac{\Delta V_z}{\Delta I_z} =\frac{0.05}{0.01} =5\ \Omega$$

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(b) 齊納電流為 $10\text{ mA}$ 時的輸出電壓

此時齊納電壓為：

$$V_z=4\text{ V}$$

由圖可知，$R_2$ 與 $R_3$ 構成輸出電壓分壓器，且運算放大器負回授會使分壓器中點電壓等於齊納參考電壓：

$$V_z=V_o\frac{R_3}{R_2+R_3}$$

因此：

$$V_o=V_z\frac{R_2+R_3}{R_3}$$

此題考驗對數位計數單元 (DCU) 和數位計數組件 (DCA) 的理解，以及數位儀表位元數與最大顯示數之間的關係。

題目分析：

• DCU (Decimal Counting Unit) 是十進制計數單元。
• DCA (Decimal Counting Assembly) 由三個 DCU 組成。
• 一個 3-bit DCA 最大能顯示 999。
• 求一個 3½ bit 的數位儀表能顯示的最大數字。

解析：

1. DCU (十進制計數單元): 顧名思義，DCU 是一個能夠計數 0 到 9 的單元。它通常由 4 個位元 (bits) 的二進制計數器和一個解碼器組成，用於將二進制計數結果轉換為十進制顯示。例如，一個 DCU 可以顯示 0, 1, 2, ..., 9。

2. DCA (十進制計數組件): DCA 由多個 DCU 級聯而成，用於顯示多位數字。

   • 題目提到 "a basic Decimal Counting Assembly (DCA) consists of three DCU elements." 這意味著一個 DCA 由三個十進制計數單元組成。
   • 每個 DCU 可以顯示一位十進制數字 (0-9)。
   • 因此，三個 DCU 組成的 DCA 可以顯示三位十進制數字。

3. 3-bit DCA 的最大顯示數：

   • 題目說 "a DCA is 3-bit, and the maximal number that a 3-bit DCA can show is 999."
   • 這裡的 "3-bit" 是一個術語，它指的是一個十進制計數組件 (DCA) 可以顯示的位數。
   • 一個 3-digit (三位數) 的十進制顯示，其最大值是 999。
   • 這與 DCU 的概念一致：每個 DCU 代表一位數。所以，三個 DCU 組成的 DCA 就是三位數。
   • 最大數是 $10^3 - 1 = 1000 - 1 = 999$。

4. 3½ bit 的數位儀表：

   • 數位儀表的位元數 (bit) 通常指的是其能夠表示的最大數字的範圍。

此題考驗對電子電壓計電路的理解，以及如何通過修改電路來擴大測量範圍或將其改裝為歐姆計。

(a) 擴大輸入電壓範圍至 0-10 V

圖 7 顯示了一個電子電壓計的電路。輸入電壓範圍是 0-5 V。
該電壓計的核心部分似乎是一個電壓比較器或類似電路，用於將輸入電壓與某個參考值比較，然後通過後續的解碼、計數、讀出設備顯示結果。
電壓計的輸入範圍由分壓電路和後續的處理電路決定。

方法一：修改輸入分壓電路
最常見的方法是通過在輸入端增加一個分壓電阻網路，將輸入的 0-10 V 電壓按比例縮小到電壓計能處理的 0-5 V 範圍內。
假設原電壓計的輸入端連接到某個節點 P，該節點的電壓 V_p 被送入電壓計內部電路。
在原設計中，當輸入電壓 $V_{in}$ 為 0-5 V 時，$V_p$ 在某個範圍內（例如 0-5 V）。
為了將輸入範圍擴大到 0-10 V，我們可以在輸入端串聯一個額外的電阻 $R_{ext}$，並在 $R_{ext}$ 和原電壓計輸入端之間連接一個新的節點 P'。
這樣，原電壓計的輸入端接收到的電壓 $V_{p'}$ 就變成了原始 0-10 V 輸入電壓的分壓。
如果原電壓計的輸入電路本身就是一個 0-5 V 的電壓範圍，那麼我們需要將 0-10 V 的輸入電壓通過分壓器降壓到 0-5 V。
假設原電壓計的輸入端 P 內部已經有一個電阻 $R_{in}$。
我們可以在輸入端串聯一個電阻 $R_{ext}$。
當輸入電壓為 $V_{in}$ (0-10 V) 時，通過 $R_{ext}$ 和 $R_{in}$ 分壓，使進入電壓計的電壓 $V'_{in}$ 在 0-5 V 範圍內。
$V'_{in} = V_{in} \times \frac{R_{in}}{R_{ext} + R_{in}}$
我們希望當 $V_{in} = 10 V$ 時，$V'_{in} = 5 V$。
$5 V = 10 V \times \frac{R_{in}}{R_{ext} + R_{in}}$
$\frac{1}{2} = \frac{R_{in}}{R_{ext} + R_{in}}$
$R_{ext} + R_{in} = 2 R_{in}$
$R_{ext} = R_{in}$
所以，我們需要在輸入端串聯一個與原電壓計輸入電阻 $R_{in}$ 相同大小的電阻 $R_{ext}$。
這樣，輸入電壓範圍就擴大了一倍。

方法二：修改內部電路（如果可能）
如果電壓計的內部電路允許修改，可以調整內部參考電壓或增益。
例如，如果電壓計的讀數是基於內部基準電壓和放大器的增益。
如果我們能夠將內部基準電壓加倍，或者將放大器的增益減半，也可以實現。
但通常，修改外部分壓電阻是最簡單且常見的方法。

總結 (a)：
在電壓計的輸入端串聯一個額外的電阻 $R_{ext}$，其值等於電壓計原輸入電阻 $R_{in}$。這樣，輸入電壓範圍就可以從 0-5 V 擴展到 0-10 V。

(b) 改裝為線性歐姆計

歐姆計的原理是測量電阻兩端的電壓或流過電阻的電流，並將其與被測電阻值聯繫起來。
電子電壓計本身是一個測量電壓的儀器。
要將其改裝為歐姆計，需要將被測電阻 $R_x$ 納入電路中，使得電壓計的讀數（電壓）與 $R_x$ 的值呈線性關係。

常見的基於電壓表的歐姆計設計：

1. 串聯式歐姆計：

   • 電池 E。
   • 串聯一個固定電阻 $R_{fixed}$。
   • 然後與被測電阻 $R_x$ 串聯。
   • 電壓表測量 $R_x$ 兩端的電壓。
   • 根據分壓原理，$V_{Rx} = E \times \frac{R_x}{R_{fixed} + R_x}$。
   • 這個關係是非線性的。

2. 更常見的線性歐姆計設計（基於電壓表）：

   • 電池 E。
   • 串聯一個固定電阻 $R_s$ (稱為串聯電阻或限流電阻)。
   • 然後，將被測電阻 $R_x$ 與一個電壓表（或其輸入端）並聯。
   • 電壓表測量 $R_x$ 兩端的電壓。
   • 為了使讀數線性，通常採用以下結構：
     • 電池 E。
     • 串聯電阻 $R_s$。
     • 到達節點 A。
     • 從節點 A，有兩條並聯路徑：
       • 路徑 1：被測電阻 $R_x$。
       • 路徑 2：電壓表（內阻 $R_m$）。
     • 電壓表測量 $R_x$ 和 $R_m$ 並聯組合兩端的電壓。
     • 這個結構與圖 4 的歐姆計非常相似。