115 年 國立成功大學電機工程學系碩士班已組《線性代數》

本題主要考驗對奇異值分解 (SVD)、矩陣性質、特徵值與特徵向量、線性方程組解的存在性、投影定理等基本概念的理解。

a. False.
一個 $m \times n$ 矩陣 $A$ 的奇異值分解 (SVD) 表示為 $A = UDV^T$，其中 $U$ 是 $m \times m$ 的正交矩陣，$V$ 是 $n \times n$ 的正交矩陣，$D$ 是一個 $m \times n$ 的對角矩陣，對角線上的元素是奇異值，且通常是降序排列。
若為「約簡 SVD」(reduced SVD)，則 $D$ 的維度會與 $A$ 的維度相同，但若 $m \ne n$，則 $D$ 的非零對角元素數量等於矩陣的秩。
對於一個 $13 \times 20$ 的矩陣 $A$，其秩為 10。
在約簡 SVD 中，$U$ 的維度是 $m \times r$，$D$ 的維度是 $r \times r$，$V^T$ 的維度是 $r \times n$，其中 $r$ 是矩陣的秩。
因此，對於 $A$ 的秩為 10，$m=13$，$n=20$，約簡 SVD 的形式應為 $A = U_{13 \times 10} D_{10 \times 10} V_{20 \times 10}^T$。
題目中提到 $A = UDV^T$ 是一個「reduced SVD」，且 $D$ 的尺寸是 $13 \times 13$。這表示 $D$ 是一個 $13 \times 13$ 的對角矩陣，其非零對角元素的數量就是矩陣的秩。然而，因為 $A$ 的秩是 10，所以 $D$ 應該只有 10 個非零的奇異值。若 $D$ 是 $13 \times 13$ 的對角矩陣，且 $A$ 的秩是 10，那麼 $D$ 的前 10 個對角元素應為奇異值，後 3 個應為 0。
更嚴謹地來說，對於一個 $m \times n$ 的矩陣 $A$ 且 $\text{rank}(A) = r$，其約簡 SVD 是 $A = U_{r \times r} D_{r \times r} V_{n \times r}^T$ (此處 $U$ 是 $m \times r$，$D$ 是 $r \times r$，$V$ 是 $n \times r$)。
若題目中的 $A = UDV^T$ 是一種將 $D$ 矩陣尺寸定義為 $\min(m,n) \times \min(m,n)$ 的 SVD 表示法，則 $D$ 應該是 $13 \times 13$。然而，約簡 SVD 的重點在於 $D$ 矩陣的尺寸與矩陣的秩相同，即 $10 \times 10$。
根據題目的敘述「reduced SVD」且 $D$ 的尺寸是 $13 \times 13$，這與秩為 10 的情況不符。如果 $D$ 是 $13 \times 13$，且 $A$ 的秩是 10，那麼 $D$ 應有 3 個零。
然而，標準的約簡 SVD 的 $D$ 矩陣尺寸是 $r \times r$。若題目指的 $D$ 是 $m \times n$ 的對角矩陣，那麼 $D$ 應該是 $13 \times 20$。
最常見的「約簡 SVD」定義是指 $U$ 的欄數等於 $V$ 的欄數等於秩 $r$。此時 $D$ 是 $r \times r$ 的對角矩陣。
因此，如果 $A$ 的秩是 10，約簡 SVD 的 $D$ 應該是 $10 \times 10$。題目說 $D$ 是 $13 \times 13$，這意味著 $D$ 的對角線上可能有 10 個非零值，但其維度與矩陣 $A$ 的列數相同。這與約簡 SVD 的定義不符，也與 $A$ 的秩不符。
若題目是指 $A = U D' V^T$，其中 $D'$ 是 $13 \times 20$ 的對角矩陣，且 $A$ 的秩是 10，則 $D'$ 會有 10 個非零奇異值。若 $A = U_{13 \times 10} D_{10 \times 10} V_{20 \times 10}^T$ 是約簡 SVD，則 $D$ 是 $10 \times 10$。
題目敘述 $D$ 的尺寸是 $13 \times 13$，這表示 $D$ 是一個方陣，且其維度是 $13 \times 13$。由於 $A$ 的秩是 10，那麼 $D$ 必須有 3 個零。如果 $A=UDV^T$ 是一個約簡 SVD，且 $D$ 是 $13 \times 13$，那麼 $U$ 應該是 $13 \times 13$，$V^T$ 應該是 $13 \times 20$。但這與約簡 SVD 的定義不符，約簡 SVD 的 $U$ 欄數和 $V$ 欄數應等於秩。
因此，此敘述是錯誤的。
理由: 對於一個 $m \times n$ 矩陣 $A$ 且 $\text{rank}(A)=r$，其約簡 SVD 通常表示為 $A = U_{m \times r} D_{r \times r} V_{n \times r}^T$。在這裡，$D$ 是一個 $r \times r$ 的對角矩陣。若 $A$ 的秩是 10，則 $D$ 應為 $10 \times 10$。題目敘述 $D$ 是 $13 \times 13$，這與約簡 SVD 的定義及矩陣的秩不符。

b. True.
約簡 SVD 的定義是 $A = U D V^T$，其中 $U$ 的欄數等於 $V$ 的欄數等於矩陣 $A$ 的秩 $r$。
對於一個 $13 \times 20$ 的矩陣 $A$，其秩為 10。
因此，約簡 SVD 的形式為 $A = U_{13 \times 10} D_{10 \times 10} V_{20 \times 10}^T$。
矩陣 $U$ 的維度是 $13 \times 10$。
理由: 在約簡 SVD $A = UDV^T$ 中，若 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣且秩為 $r$，則 $U$ 的維度是 $m \times r$， $D$ 的維度是 $r \times r$， $V$ 的維度是 $n \times r$。給定 $A$ 的尺寸為 $13 \times 20$ 且秩為 10，則 $U$ 的尺寸應為 $13 \times 10$。

c. True.
同 b 點的解釋，在約簡 SVD $A = UDV^T$ 中，若 $A$ 是 $m \times n$ 矩陣且秩為 $r$，則 $V$ 的維度是 $n \times r$。
對於一個 $13 \times 20$ 的矩陣 $A$，其秩為 10。
因此，約簡 SVD 的形式為 $A = U_{13 \times 10} D_{10 \times 10} V_{20 \times 10}^T$。
矩陣 $V$ 的維度是 $20 \times 10$。題目中提到 $V$ 的尺寸是 $10 \times 20$，這意味著 $V^T$ 的尺寸是 $20 \times 10$。因此，這裏的 $V$ 指的是 $V$ 矩陣本身，其尺寸為 $20 \times 10$。
然而，題目敘述 $V$ 的尺寸是 $10 \times 20$。這表示 $V^T$ 的尺寸是 $20 \times 10$。
在 $A = UDV^T$ 的表示中，$V$ 的尺寸是 $n \times r$。所以 $V$ 的尺寸是 $20 \times 10$。
如果題目是指 $V^T$ 的尺寸是 $10 \times 20$ 則為真。但題目明確寫 $V$ 的尺寸是 $10 \times 20$。
這與約簡 SVD 的定義 $A = U_{m \times r} D_{r \times r} V_{n \times r}^T$ 相矛盾，因為 $V$ 應該是 $n \times r = 20 \times 10$。
因此，此敘述是錯誤的。
修正: 根據題意，若 $A = UDV^T$ 是約簡 SVD，則 $U$ 是 $13 \times 10$， $D$ 是 $10 \times 10$， $V$ 是 $20 \times 10$。因此 $V^T$ 是 $10 \times 20$。
題目問 $V$ 的尺寸是 $10 \times 20$。這與約簡 SVD 的定義不符。

第 2 題

核心觀念

本題分別考查四種矩陣分解：

• LU 分解：利用高斯消去法，將矩陣寫成 $A=LU$。
• 對角化：求特徵值與特徵向量，使
  $A=PDP^{-1}.$
• QR 分解：以 Gram–Schmidt 正交化法，將 $A$ 寫成
  $A=QR.$
• 奇異值分解（SVD）：先求 $A^TA$ 的特徵值與單位特徵向量，再由
  $\sigma_i=\sqrt{\lambda_i},\qquad u_i=\frac{Av_i}{\sigma_i}$
  建立
  $A=U\Sigma V^T.$

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a. LU 分解

給定

$$A= \begin{bmatrix} 1&-2&-4&-3\\ 2&-7&-7&-6\\ -1&2&6&4\\ -4&-1&9&8 \end{bmatrix}.$$

以第一列為主元素進行消去：

$$R_2\leftarrow R_2-2R_1,$$ $$R_3\leftarrow R_3+R_1,$$ $$R_4\leftarrow R_4+4R_1.$$

得到

$$\begin{bmatrix} 1&-2&-4&-3\\ 0&-3&1&0\\ 0&0&2&1\\ 0&-9&-7&-4 \end{bmatrix}.$$

第二個主元素為 $-3$，因此

$$R_4\leftarrow R_4-3R_2,$$

得到

$$\begin{bmatrix} 1&-2&-4&-3\\ 0&-3&1&0\\ 0&0&2&1\\ 0&0&-10&-4 \end{bmatrix}.$$

第三個主元素為 $2$，消去第三欄：

$$R_4\leftarrow R_4+5R_3.$$

因此

$$U= \begin{bmatrix} 1&-2&-4&-3\\ 0&-3&1&0\\ 0&0&2&1\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}.$$

消去過程中的乘數為

$$m_{21}=2,\qquad m_{31}=-1,\qquad m_{41}=-4,$$ $$m_{42}=3,\qquad m_{43}=-5.$$

所以

$$L= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 2&1&0&0\\ -1&0&1&0\\ -4&3&-5&1 \end{bmatrix}.$$

故

$$\boxed{ A= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 2&1&0&0\\ -1&0&1&0\\ -4&3&-5&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-2&-4&-3\\ 0&-3&1&0\\ 0&0&2&1\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} }.$$

解題技巧

若不需列主元交換，$L$ 的嚴格下三角元素就是高斯消去時使用的乘數；$U$ 則是消去後的上三角矩陣。最後可利用 $LU$ 的第一列、第二列快速驗算。

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b. 對角化

給定

$$A= \begin{bmatrix} 7&4&16\\ 2&5&8\\ -2&-2&-5 \end{bmatrix}.$$

求特徵值

特徵多項式為

$$\det(\lambda I-A) = \begin{vmatrix} \lambda-7&-4&-16\\ -2&\lambda-5&-8\\ 2&2&\lambda+5 \end{vmatrix}.$$

展開可得

$$\det(\lambda I-A) = \lambda^3-7\lambda^2+15\lambda-9.$$

因式分解：

$$\lambda^3-7\lambda^2+15\lambda-9 = (\lambda-1)(\lambda-3)^2.$$

因此特徵值為

$$\lambda=1,\qquad \lambda=3,\qquad \lambda=3.$$

求 $\lambda=1$ 的特徵向量

解

$$(A-I)x=0.$$

由方程組可得

$$x=-2z,\qquad y=-z.$$

取 $z=1$，得到

$$v_1= \begin{bmatrix} -2\\-1\\1 \end{bmatrix}.$$

求 $\lambda=3$ 的特徵向量

解

$$(A-3I)x=0.$$

矩陣方程等價於

$$x+y+4z=0.$$

可取兩個線性獨立的特徵向量：

$$v_2= \begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix}, \qquad v_3= \begin{bmatrix} -4\\0\\1 \end{bmatrix}.$$

三個特徵向量線性獨立，因此矩陣可對角化。

令

$$P= \begin{bmatrix} -2&1&-4\\ -1&-1&0\\ 1&0&1 \end{bmatrix}, \qquad D= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&3 \end{bmatrix}.$$

由欄向量分別為對應特徵向量，得到

$$AP=PD.$$

計算 $P^{-1}$：

$$P^{-1}= \begin{bmatrix} 1&1&4\\ -1&-2&-4\\ -1&-1&-3 \end{bmatrix}.$$

因此

$$\boxed{ A= \begin{bmatrix} -2&1&-4\\ -1&-1&0\\ 1&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&3&0\\ 0&0&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1&4\\ -1&-2&-4\\ -1&-1&-3 \end{bmatrix} }.$$

解題技巧

重根 $\lambda=3$ 不代表一定不能對角化，關鍵在於其特徵空間維度是否等於代數重數。本題中

$$\dim E_3=2,$$

正好等於 $\lambda=3$ 的代數重數 $2$，所以可以對角化。

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c. QR 分解

給定

$$A= \begin{bmatrix} -2&3\\ 5&7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1&a_2 \end{bmatrix},$$

其中

$$a_1= \begin{bmatrix} -2\\5 \end{bmatrix}, \qquad a_2= \begin{bmatrix} 3\\7 \end{bmatrix}.$$

求第一個正交單位向量

$$\|a_1\| = \sqrt{(-2)^2+5^2} = \sqrt{29}.$$

因此

$$q_1=\frac{a_1}{\|a_1\|} = \frac{1}{\sqrt{29}} \begin{bmatrix} -2\\5 \end{bmatrix}.$$

求第二個正交向量

先計算投影係數：

$$r_{12}=q_1^Ta_2 = \frac{1}{\sqrt{29}} \begin{bmatrix} -2&5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3\\7 \end{bmatrix} = \frac{29}{\sqrt{29}} = \sqrt{29}.$$

將 $a_2$ 扣除在 $q_1$ 方向上的投影：

$$u_2=a_2-r_{12}q_1.$$

因此

$$u_2= \begin{bmatrix} 3\\7 \end{bmatrix} - \sqrt{29} \frac{1}{\sqrt{29}} \begin{bmatrix} -2\\5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\2 \end{bmatrix}.$$

其長度為

本題考察多項式向量空間中的內積、投影以及正交基的構造。這裡的內積是通過在給定點上進行函數值計算來定義的。

給定的點為 $t_0 = -3, t_1 = -1, t_2 = 1, t_3 = 3$。
內積定義為 $\langle p, q \rangle = p(-3)q(-3) + p(-1)q(-1) + p(1)q(1) + p(3)q(3)$。
給定的多項式為 $p_0(t) = 1$, $p_1(t) = t$, $p_2(t) = t^2$。
注意，這裡 $n=2$ (因為我們考慮 $p_0, p_1, p_2$)，但點的數量是 $n+2 = 4$。這是在 $P_2$ 的子空間上定義的內積，但我們也考慮 $P_3$。題目中說 $P_3$ 是空間，但只定義了 4 個點，這意味著對於 $P_3$ 中的多項式，我們只在這些點上進行評估。

a. 計算 $p_2$ 在由 $p_0$ 和 $p_1$ 張成的子空間上的正交投影。
設 $W = \text{span}\{p_0, p_1\}$。
投影公式為 $\text{proj}_W(p_2) = \frac{\langle p_2, p_0 \rangle}{\langle p_0, p_0 \rangle} p_0 + \frac{\langle p_2, p_1 \rangle}{\langle p_1, p_1 \rangle} p_1$。
首先，我們需要計算所需的內積。

計算 $\langle p_0, p_0 \rangle$:
$p_0(t) = 1$
$\langle p_0, p_0 \rangle = p_0(-3)^2 + p_0(-1)^2 + p_0(1)^2 + p_0(3)^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 4$。

計算 $\langle p_1, p_1 \rangle$:
$p_1(t) = t$
$\langle p_1, p_1 \rangle = p_1(-3)^2 + p_1(-1)^2 + p_1(1)^2 + p_1(3)^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20$。

計算 $\langle p_2, p_0 \rangle$:
$p_2(t) = t^2$, $p_0(t) = 1$
$\langle p_2, p_0 \rangle = p_2(-3)p_0(-3) + p_2(-1)p_0(-1) + p_2(1)p_0(1) + p_2(3)p_0(3)$
$= (-3)^2(1) + (-1)^2(1) + (1)^2(1) + (3)^2(1)$
$= 9 + 1 + 1 + 9 = 20$。

計算 $\langle p_2, p_1 \rangle$:
$p_2(t) = t^2$, $p_1(t) = t$
$\langle p_2, p_1 \rangle = p_2(-3)p_1(-3) + p_2(-1)p_1(-1) + p_2(1)p_1(1) + p_2(3)p_1(3)$
$= (-3)^2(-3) + (-1)^2(-1) + (1)^2(1) + (3)^2(3)$
$= (9)(-3) + (1)(-1) + (1)(1) + (9)(3)$
$= -27 - 1 + 1 + 27 = 0$。

現在，將這些值代入投影公式：
$\text{proj}_W(p_2) = \frac{20}{4} p_0 + \frac{0}{20} p_1 = 5 p_0 + 0 p_1 = 5 p_0$。
所以，投影是 $5 p_0(t) = 5(1) = 5$。

答案: $5$。

b. 找到一個多項式 $q$ 使得 $\{p_0, p_1, q\}$ 是 $\text{span}\{p_0, p_1, p_2\}$ 的正交基。並將 $q$ 的值在 $(-3, -1, 1, 3)$ 的向量縮放到 $(1, -1, -1, 1)$。

首先，我們需要找到一個多項式 $q$ 使得 $q$ 與 $p_0$ 和 $p_1$ 正交。
根據 Gram-Schmidt 正交化過程，我們可以從 $p_2$ 開始，將其正交化。
我們已經計算了 $\langle p_2, p_0 \rangle = 20$ 和 $\langle p_2, p_1 \rangle = 0$。
這表示 $p_2$ 已經與 $p_1$ 正交了，但沒有與 $p_0$ 正交。
我們需要找到一個新的多項式 $q$ 滿足 $\langle q, p_0 \rangle = 0$ 和 $\langle q, p_1 \rangle = 0$。
因為 $\text{span}\{p_0, p_1, p_2\}$ 的維度是 3 (因為 $p_0, p_1, p_2$ 在這 4 個點上是線性獨立的，可以驗證)，所以我們需要一個維度為 3 的空間，並找到一個與 $p_0, p_1$ 正交的向量。