115 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電力工程（含電機機械、電力電子、電力系統）》

本題主要考查 12 脈波整流電路的組成與優點。12 脈波整流電路通常由兩個 6 脈波整流電路串聯而成，輸入端由具有特定相移的變壓器二次側提供。

首先，我們需要繪製 12 脈波整流電路的電路圖。該電路使用一個三相變壓器，其二次側分別為 Y 接與 $\Delta$ 接。Y 接二次側提供一個基準電壓，而 $\Delta$ 接二次側則提供一個相對於 Y 接二次側有 $30^\circ$ 相移的電壓。這兩個二次側的電壓分別連接到兩個獨立的三相全控橋式整流器。這兩個整流器的直流輸出端串聯起來，形成一個 12 脈波的直流輸出。

電路圖應包含：

1. 一個三相變壓器，具有一個 Y 接二次側和一個 $\Delta$ 接二次側。
2. 兩個三相全控橋式整流器（例如，使用 SCR 或 IGBT），每個整流器連接到變壓器的一個二次側。
3. 兩個整流器的直流輸出端串聯。
4. 輸入 AC 端連接到變壓器二次側，直流輸出端為最終的直流輸出。

接下來，我們解釋其優點：

(a) 變壓器 Y 接與 $\Delta$ 接二次側的優點：
Y 接和 $\Delta$ 接二次側的目的是為了產生 $30^\circ$ 的相移。

• 減少諧波失真 (Harmonic Distortion)：單個 6 脈波整流器在直流輸出端會產生 $6k \pm 1$ 次的諧波（例如，5、7、11、13 次等）。

核心觀念

二埠網路的阻抗參數定義為

$$\begin{aligned} V_1&=z_{11}I_1+z_{12}I_2\\ V_2&=z_{21}I_1+z_{22}I_2 \end{aligned}$$

其中兩個埠的電流皆定義為流入網路，且

$$\begin{aligned} z_{11}&=\left.\frac{V_1}{I_1}\right|_{I_2=0},& z_{12}&=\left.\frac{V_1}{I_2}\right|_{I_1=0}\\ z_{21}&=\left.\frac{V_2}{I_1}\right|_{I_2=0},& z_{22}&=\left.\frac{V_2}{I_2}\right|_{I_1=0} \end{aligned}$$

圖中兩條斜線交叉處有跨線符號，表示兩條導線不相連。

解題方法

令四個電阻的支路電流分別為：

• $x$：流經 $R_1$，由左上流向右上
• $y$：流經 $R_2$，由左下流向右下
• $u$：流經 $R_3$，由左上流向右下
• $v$：流經 $R_4$，由左下流向右上

由節點電流定律：

$$\begin{aligned} x+u&=I_1\\ x+v&=-I_2 \end{aligned}$$

因此

$$u=I_1-x,\qquad v=-I_2-x$$

由兩條路徑的電壓關係，可得

$$V_1=R_1x-R_4v$$

以及

$$V_1=R_3u-R_2y$$

配合節點關係整理後，令

$$D=R_1+R_2+R_3+R_4$$

可得 $R_1$ 的支路電流：

$$x=\frac{(R_2+R_3)I_1-(R_2+R_4)I_2}{D}$$

首先求 $V_1$：

$$\begin{aligned} V_1 &=R_1x-R_4v\\ &=(R_1+R_4)x+R_4I_2 \end{aligned}$$

代入 $x$：

$$V_1= \frac{(R_1+R_4)(R_2+R_3)}{D}I_1 + \frac{R_3R_4-R_1R_2}{D}I_2$$

再求 $V_2$：

本題主要考查電力系統的功率因數計算與改善。題目中包含兩個主要負載：感應馬達（Induction Motors）群組和一台同步機（Synchronous Machine）。

首先，我們需要計算整個工廠的總視在功率、總實功率和總虛功率，才能計算總功率因數。

已知條件：

1. 感應馬達負載：$S_{IM} = 500 \, \text{kVA}$，功率因數 $PF_{IM} = 0.8$ (lagging)。
2. 同步機負載：$S_{SM} = 300 \, \text{kVA}$，功率因數 $PF_{SM} = 1.0$ (unity)。
3. 同步機額定容量：400 kVA。
4. 同步機額定電壓：4 kV。

計算步驟：

(a) 計算整體工廠的功率因數

首先，計算感應馬達負載的實功率 $P_{IM}$ 和虛功率 $Q_{IM}$。
由於功率因數為 0.8 lagging，功率角 $\theta_{IM} = \arccos(0.8) \approx 36.87^\circ$。
$P_{IM} = S_{IM} \cos(\theta_{IM}) = 500 \, \text{kVA} \times 0.8 = 400 \, \text{kW}$。
$Q_{IM} = S_{IM} \sin(\theta_{IM}) = 500 \, \text{kVA} \times \sin(36.87^\circ) = 500 \times 0.6 = 300 \, \text{kVAR}$ (lagging)。

接著，計算同步機負載的實功率 $P_{SM}$ 和虛功率 $Q_{SM}$。
由於功率因數為 1.0 (unity)，功率角 $\theta_{SM} = \arccos(1.0) = 0^\circ$。
$P_{SM} = S_{SM} \cos(\theta_{SM}) = 300 \, \text{kVA} \times 1.0 = 300 \, \text{kW}$。
$Q_{SM} = S_{SM} \sin(\theta_{SM}) = 300 \, \text{kVA} \times \sin(0^\circ) = 0 \, \text{kVAR}$。

計算工廠總實功率 $P_{Total}$ 和總虛功率 $Q_{Total}$：
$P_{Total} = P_{IM} + P_{SM} = 400 \, \text{kW} + 300 \, \text{kW} = 700 \, \text{kW}$。
$Q_{Total} = Q_{IM} + Q_{SM} = 300 \, \text{kVAR} + 0 \, \text{kVAR} = 300 \, \text{kVAR}$ (lagging)。

計算工廠總視在功率 $S_{Total}$：
$S_{Total} = \sqrt{P_{Total}^2 + Q_{Total}^2} = \sqrt{(700 \, \text{kW})^2 + (300 \, \text{kVAR})^2} = \sqrt{490000 + 90000} \, \text{kVA} = \sqrt{580000} \, \text{kVA} \approx 761.58 \, \text{kVA}$。

計算工廠的整體功率因數 $PF_{Total}$：
$PF_{Total} = \frac{P_{Total}}{S_{Total}} = \frac{700 \, \text{kW}}{761.58 \, \text{kVA}} \approx 0.919 \, \text{lagging}$。
或者，也可以通過功率角計算：$\theta_{Total} = \arctan(\frac{Q_{Total}}{P_{Total}}) = \arctan(\frac{300}{700}) \approx 23.199^\circ$。
$PF_{Total} = \cos(\theta_{Total}) \approx \cos(23.199^\circ) \approx 0.919 \, \text{lagging}$。

(b) 改善功率因數的程度與同步機的狀態

為了改善功率因數，同步機被「過激磁」（over-excited），使其從吸收虛功率變為提供（發出）虛功率（提供容性無效功率），從而抵銷感應馬達產生的感性無效功率。同步機的負載（實功率）保持不變（300 kW）。同步機的額定容量為 400 kVA。

我們希望將總虛功率 $Q_{Total}$ 降低，最好能接近零，以達到接近 unity 的功率因數。
目前的總虛功率是 $Q_{Total} = 300 \, \text{kVAR}$ (lagging)。
同步機提供的虛功率 $Q_{SM\_new}$ 需要能夠補償一部分感應馬達的虛功率。
新的總實功率 $P_{Total\_new} = P_{Total} = 700 \, \text{kW}$ (因為負載不變)。
新的總虛功率 $Q_{Total\_new}$ 應盡量小。

同步機本身有 300 kW 的負載，其額定容量為 400 kVA。
在進行功率因數改善時，同步機的額定視在功率 $S_{SM\_rated} = 400 \, \text{kVA}$ 是其最大限制。
同步機的實功率 $P_{SM\_new} = 300 \, \text{kW}$。
同步機提供的虛功率 $Q_{SM\_new}$ 必須滿足 $S_{SM\_new} = \sqrt{P_{SM\_new}^2 + Q_{SM\_new}^2} \le S_{SM\_rated}$。
$Q_{SM\_new}^2 \le S_{SM\_rated}^2 - P_{SM\_new}^2$
$Q_{SM\_new}^2 \le (400 \, \text{kVA})^2 - (300 \, \text{kW})^2$

本題考查三相感應馬達的性能參數計算，包括轉速、頻率、功率、電流和轉矩。

已知條件：

• 類型：三相 $\Delta$ 接鼠籠式感應馬達
• 額定電壓：$V_{line} = 220 \, \text{V}$
• 額定頻率：$f = 60 \, \text{Hz}$
• 極數：$P = 8$ (共 8 極，所以極對數 $p = P/2 = 4$)
• 額定輸出功率（軸功率）：$P_{out} = 15 \, \text{hp}$。轉換為瓦特：$1 \, \text{hp} = 746 \, \text{W}$，所以 $P_{out} = 15 \times 746 = 11190 \, \text{W}$。
• 滿載滑差：$s = 5\% = 0.05$。
• 滿載功率因數：$PF = 0.85$ (lagging)。
• 滿載效率：$\eta = 80\% = 0.80$。

計算步驟：

(a) 同步轉速 ($n_s$) 和轉子轉速 ($n_r$)

同步轉速的公式為：$n_s = \frac{120f}{P}$，其中 $f$ 是電源頻率， $P$ 是極數。
$n_s = \frac{120 \times 60 \, \text{Hz}}{8} = \frac{7200}{8} = 900 \, \text{rpm}$。

轉子轉速 ($n_r$) 與同步轉速 ($n_s$) 和滑差 ($s$) 的關係為：$n_r = n_s (1 - s)$。
$n_r = 900 \, \text{rpm} \times (1 - 0.05) = 900 \times 0.95 = 855 \, \text{rpm}$。

(b) 轉子繞組頻率 ($f_r$)

轉子繞組的頻率與滑差和電源頻率的關係為：$f_r = s \times f$。
$f_r = 0.05 \times 60 \, \text{Hz} = 3 \, \text{Hz}$。

(c) 輸入有功功率 ($P_{in}$)、無效功率 ($Q_{in}$)、視在功率 ($S_{in}$)

首先，計算輸入的有功功率 ($P_{in}$)，這是馬達消耗的總功率，包括輸出功率和損失。
效率 $\eta = \frac{P_{out}}{P_{in}}$。
$P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta} = \frac{11190 \, \text{W}}{0.80} = 13987.5 \, \text{W}$。

接下來，計算輸入的視在功率 ($S_{in}$)。我們知道輸入的有功功率 ($P_{in}$) 和功率因數 ($PF = 0.85$ lagging)。
$PF = \frac{P_{in}}{S_{in}}$。
$S_{in} = \frac{P_{in}}{PF} = \frac{13987.5 \, \text{W}}{0.85} \approx 16455.88 \, \text{VA}$。

然後，計算輸入的無效功率 ($Q_{in}$)。
$Q_{in} = \sqrt{S_{in}^2 - P_{in}^2}$。
$Q_{in} = \sqrt{(16455.88 \, \text{VA})^2 - (13987.5 \, \text{W})^2}$
$Q_{in} = \sqrt{270794566 - 195650156.25} \, \text{VA} = \sqrt{75144409.75} \, \text{VA} \approx 8668.58 \, \text{VAR}$。