111 年 國立成功大學電機工程學系碩士班丙組《電力工程》

核心觀念

本題考查三相平衡系統的線量與相量關係，以及功率因數為 1 的相位條件。

功率因數為 1，表示電源端的總虛功率為零；在平衡系統中，等同於電源相電壓與對應的供電相電流同相。但線電壓與線電流不一定同相，必須考慮三相接法所造成的 $30^\circ$ 相位差。

以下採用正相序 $ABC$，以電源端功率因數為 1為條件，線電流正方向取由電源流向負載。所有電壓、電流均以有效值相量表示。

解題方法

一、Y 接電源

Y 接時，線電流等於相電流：

$$\underline I_A=\underline I_{\mathrm{ph},A}.$$

設電源 A 相電壓為參考相量，則平衡正相序電壓為

$$\underline V_{AN}=V_{\mathrm{ph}}\angle 0^\circ,\qquad \underline V_{BN}=V_{\mathrm{ph}}\angle(-120^\circ).$$

因此，線電壓為

$$\begin{aligned} \underline V_{AB} &=\underline V_{AN}-\underline V_{BN}\\ &=V_{\mathrm{ph}}\left(1-e^{-j120^\circ}\right)\\ &=\sqrt3V_{\mathrm{ph}}\angle30^\circ. \end{aligned}$$

功率因數為 1 時，$\underline I_A$ 與 $\underline V_{AN}$ 同相，所以

$$\boxed{\angle\underline V_{AB}-\angle\underline I_A=30^\circ}.$$

也就是 $\underline V_{AB}$ 超前 $\underline I_A$ $30^\circ$。其大小關係為

$$V_L=\sqrt3V_{\mathrm{ph}},\qquad I_L=I_{\mathrm{ph}}.$$

二、$\Delta$ 接電源

$\Delta$ 接時，線電壓等於相電壓：

$$\underline V_{AB}=\underline V_{\mathrm{ph},AB}.$$

將 $\underline V_{AB}$ 設為參考相量，並以各電源相向外供電的電流為相電流正方向。功率因數為 1 時，各相供電電流與對應的相電壓同相，故

$$\underline I_{AB}=I_{\mathrm{ph}}\angle0^\circ,\qquad \underline I_{CA}=I_{\mathrm{ph}}\angle120^\circ.$$

依 $\Delta$ 接的線電流與相電流關係，

$$\begin{aligned} \underline I_A &=\underline I_{AB}-\underline I_{CA}\\ &=I_{\mathrm{ph}}\left(1-e^{j120^\circ}\right)\\ &=\sqrt3I_{\mathrm{ph}}\angle(-30^\circ). \end{aligned}$$

因此，

$$\boxed{\angle\underline V_{AB}-\angle\underline I_A=30^\circ}.$$

亦即 $\underline V_{AB}$ 超前 $\underline I_A$ $30^\circ$。其大小關係為

$$V_L=V_{\mathrm{ph}},\qquad I_L=\sqrt3I_{\mathrm{ph}}.$$

兩種接法的 $30^\circ$ 來源不同：Y 接來自線電壓相對相電壓的超前；$\Delta$ 接來自線電流相對相電流的落後。

核心觀念

單相接地故障（a 相金屬接地）時，故障點的正、負、零序網路串聯，因此

$$I_{1F}=I_{2F}=I_{0F} =\frac{V_{1,\mathrm{th}}}{Z_{1,\mathrm{th}}+Z_{2,\mathrm{th}}+Z_{0,\mathrm{th}}}$$

本題故障阻抗為 $Z_f=0$，正序網路包含兩部發電機的電壓源；負序網路沒有電壓源；零序網路則須按變壓器接線判斷通路。圖中右側變壓器為接地 Y–Δ，零序電流可由接地 Y 側流入，但不能通過 Δ 側到達 $G_2$。

以下電流方向均定義為「由 $G_1$ 端往故障點 $F$」，故障點序電流則定義為「由各序網路流向故障點」。

A. 未化簡的序網路

輸電線故障點在 $TL_{23}$ 中點，因此每半段的序阻抗為：

$$Z_{1,\mathrm{半線}}=Z_{2,\mathrm{半線}}=j0.1,\qquad Z_{0,\mathrm{半線}}=j0.3$$

**正序網路：**故障點左右各接一支路，兩端分別由 $G_1$、$G_2$ 的正序電壓源供電。

$$E_{G1}=1\angle0^\circ \;-\;j0.2\;(G_1)\;-\;j0.2\;(T_{12})\;-\;j0.1\;(TL_{2F}) \;-\;F\;-\;j0.1\;(TL_{F3})\;-\;j0.2\;(T_{34})\;-\;j0.2\;(G_2)\;-\; E_{G2}=1\angle0^\circ$$

**負序網路：**兩側發電機的負序電壓源皆為零，故以短路取代電壓源；其阻抗值與正序相同。

$$\text{短路}\;-\;j0.2\;(G_1)\;-\;j0.2\;(T_{12})\;-\;j0.1\;(TL_{2F}) \;-\;F\;-\;j0.1\;(TL_{F3})\;-\;j0.2\;(T_{34})\;-\;j0.2\;(G_2)\;-\;\text{短路}$$

**零序網路：**左側通路經過 $G_1$、$T_{12}$ 與半段輸電線接地；右側通路經過半段輸電線及 $T_{34}$ 的接地 Y 側接地，Δ 側隔離 $G_2$。

$$\text{地}\;-\;j0.05\;(G_1)\;-\;j0.2\;(T_{12})\;-\;j0.3\;(TL_{2F}) \;-\;F\;-\;j0.3\;(TL_{F3})\;-\;j0.2\;(T_{34},\,Y_g\text{側})\;-\;\text{地}$$

B. 正、負、零序戴維寧阻抗

故障點左、右兩側正序支路阻抗分別為

$$Z_{1L}=j(0.2+0.2+0.1)=j0.5,\qquad Z_{1R}=j(0.1+0.2+0.2)=j0.5$$

兩部發電機的內電勢皆為 $1\angle0^\circ$，所以正序戴維寧電壓為 $V_{1,\mathrm{th}}=1\angle0^\circ$，戴維寧阻抗為

核心觀念

本題考查升壓型直流—直流轉換器在「臨界導通模式」時的臨界電感值。

臨界導通模式（Boundary Conduction Mode, BCM）定義為：每一個開關週期結束時，電感電流恰好降至零。

假設轉換器為理想升壓型轉換器，且輸出電容足夠大，因此輸出電壓可視為固定：

$$V_o=48\text{ V}$$

負載功率為：

$$P_o=120\text{ W}$$

輸出負載等效電阻為：

$$R=\frac{V_o^2}{P_o} =\frac{48^2}{120} =19.2\ \Omega$$

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解題方法

1. 求占空比

理想 Boost converter 的輸入輸出電壓關係為：

$$V_o=\frac{V_{in}}{1-D}$$

因此：

$$D=1-\frac{V_{in}}{V_o}$$

當輸入電壓介於 $12$ 至 $36$ V 時：

• $V_{in}=12$ V：

$$D=1-\frac{12}{48}=0.75$$

• $V_{in}=36$ V：

$$D=1-\frac{36}{48}=0.25$$

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2. 建立臨界導通條件

開關導通期間，電感兩端電壓為 $V_{in}$，導通時間為 $DT_s$，因此電感電流上升量為：

$$\Delta i_L = \frac{V_{in}}{L}DT_s = \frac{V_{in}D}{Lf_s}$$

在臨界導通模式下，電感電流由零上升至峰值，再下降回零，因此電感平均電流為峰值電流的一半：

$$I_{L,\text{avg}}=\frac{I_{L,\text{pk}}}{2}$$

由功率平衡：

$$P_{in}=P_o$$

輸入平均電流為：

$$I_{in}=\frac{P_o}{V_{in}}$$

由於 Boost converter 的輸入電流就是電感平均電流，因此：

$$I_{L,\text{avg}}=\frac{P_o}{V_{in}}$$

臨界時：

$$I_{L,\text{pk}}=2I_{L,\text{avg}} =\frac{2P_o}{V_{in}}$$

又因為臨界時電感電流由零增加至峰值，所以：

$$I_{L,\text{pk}}=\Delta i_L =\frac{V_{in}D}{Lf_s}$$

聯立可得：

$$\frac{V_{in}D}{Lf_s} = \frac{2P_o}{V_{in}}$$

因此臨界電感為：

$$\boxed{ L_{\text{crit}} = \frac{V_{in}^2D}{2P_of_s} }$$

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各輸入電壓下的臨界電感

當 $V_{in}=12$ V

$$L_{\text{crit}} = \frac{12^2(0.75)} {2(120)(50\times10^3)}$$

此題考驗同步電動機的穩態運轉分析，包含功率角、靜態穩定功率極限、以及不同功率因數下的場電流與功率角計算。

題目給定參數：

• 額定線電壓 $V_L = 380$ V (系統電壓)
• 連接方式：Y 接
• 額定線電流 $I_a = 60$ A
• 功率因數 (PF) = 1 (unity)
• 同步電抗 $X_s = 1.0 \, \Omega$
• 電樞電阻 $R_a \approx 0$ (忽略不計)
• 額定場電流 $I_f = 3$ A
• 開路特性 (Open Circuit Characteristic, OCC) 為線性。

A. 求功率角 (Torque Angle) $\delta$

同步電動機的穩態功率傳輸方程式為：
$P_{out} = \frac{3 V_p E_f}{X_s} \sin(\delta)$ (忽略電樞電阻)
其中 $V_p$ 是電樞相電壓，$E_f$ 是反電動勢 (電動機內部產生的電壓)，$X_s$ 是同步電抗，$\delta$ 是功率角。

首先，計算相電壓 $V_p$ 和總視在功率 $S$。
對於 Y 接，線電壓 $V_L$ 與相電壓 $V_p$ 的關係為 $V_L = \sqrt{3} V_p$。
$V_p = \frac{V_L}{\sqrt{3}} = \frac{380}{\sqrt{3}}$ V。

總視在功率 $S = \sqrt{3} V_L I_a = 3 V_p I_a$。
由於功率因數為 1，總有效功率 $P_{out} = S = \sqrt{3} V_L I_a \times 1 = \sqrt{3} \times 380 \times 60$ W。
$P_{out} = 380 \times 60 \times \sqrt{3} \approx 22800 \times 1.732 \approx 39525.6$ W。

在功率因數為 1 的情況下，電樞電流 $I_a$ 與相電壓 $V_p$ 同相位。
此時，電動機的輸出功率 $P_{out}$ 也等於 $3 V_p I_a \cos(\phi)$，其中 $\phi$ 是相電壓與相電流的相位差。由於 PF=1，$\phi=0$。
所以 $P_{out} = 3 V_p I_a = 3 \times \frac{380}{\sqrt{3}} \times 60$ W。

在忽略電樞電阻的情況下，相電壓 $V_p$、反電動勢 $E_f$ 和電樞電流 $I_a$ 的向量關係為：
$\vec{V}_p = j X_s \vec{I}_a + \vec{E}_f$。
我們通常將相電壓 $\vec{V}_p$ 作為參考向量，其相位為 0 度。
$\vec{V}_p = V_p \angle 0^\circ = \frac{380}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ$ V。
由於功率因數為 1，電樞電流 $\vec{I}_a$ 與 $\vec{V}_p$ 同相位。
$\vec{I}_a = I_a \angle 0^\circ = 60 \angle 0^\circ$ A。

將上述向量代入電壓方程式：
$V_p \angle 0^\circ = j X_s (I_a \angle 0^\circ) + E_f \angle \delta$
$\frac{380}{\sqrt{3}} \angle 0^\circ = j 1.0 (60 \angle 0^\circ) + E_f \angle \delta$
$\frac{380}{\sqrt{3}} = j 60 + E_f (\cos(\delta) + j \sin(\delta))$
$\frac{380}{\sqrt{3}} = 60j + E_f \cos(\delta) + j E_f \sin(\delta)$
$\frac{380}{\sqrt{3}} = E_f \cos(\delta) + j (60 + E_f \sin(\delta))$

由於左邊是實數，右邊的虛部必須為零：
$60 + E_f \sin(\delta) = 0$
$E_f \sin(\delta) = -60$。

同時，左邊的實部等於右邊的實部：
$\frac{380}{\sqrt{3}} = E_f \cos(\delta)$。

我們還需要 $E_f$ 的值。
題目給了線性開路特性，且在 $I_f = 3$ A 時，$E_f$ 的值是未知的，但我們可以利用它來計算 $E_f$。
實際上，我們可以從功率方程式來計算 $\delta$。
$P_{out} = 3 V_p I_a \cos(\phi)$。
$P_{out} = \frac{3 V_p E_f}{X_s} \sin(\delta)$。
由於 $R_a=0$, $P_{out} = 3 V_p I_a \cos(0) = 3 V_p I_a$。
$3 V_p I_a = \frac{3 V_p E_f}{X_s} \sin(\delta)$
$I_a = \frac{E_f}{X_s} \sin(\delta)$。

我們需要 $E_f$ 的值。題目給了 $I_f = 3$ A 時的條件。
$E_f$ 與 $I_f$ 成正比（線性 OCC）。
$E_f = k I_f$。
我們需要找到 $k$。
在功率因數為 1 的情況下，電樞電流 $I_a$ 與相電壓 $V_p$ 同相位。
$V_p = E_f \cos(\delta)$
$0 = 60 + E_f \sin(\delta)$
從第二個式子 $E_f \sin(\delta) = -60$。
從第一個式子 $E_f \cos(\delta) = V_p = \frac{380}{\sqrt{3}}$。

將兩個式子平方相加：
$(E_f \sin(\delta))^2 + (E_f \cos(\delta))^2 = (-60)^2 + (\frac{380}{\sqrt{3}})^2$
$E_f^2 (\sin^2(\delta) + \cos^2(\delta)) = 3600 + \frac{144400}{3}$
$E_f^2 = 3600 + 48133.33 = 51733.33$
$E_f = \sqrt{51733.33} \approx 227.45$ V。

現在我們知道在 $I_f = 3$ A 時，$E_f = 227.45$ V。
這可以用來計算比例常數 $k$：
$k = \frac{E_f}{I_f} = \frac{227.45}{3} \approx 75.82$ V/A。

現在我們可以計算 $\delta$：
$\sin(\delta) = \frac{-60}{E_f} = \frac{-60}{227.45} \approx -0.2638$
$\cos(\delta) = \frac{380/\sqrt{3}}{E_f} = \frac{380/\sqrt{3}}{227.45} = \frac{219.39}{227.45} \approx 0.9646$

$\delta = \arcsin(-0.2638)$。由於 $\cos(\delta)$ 為正，$\delta$ 應為第四象限角。
$\delta \approx -15.3^\circ$。
或者 $\delta = 360^\circ - 15.3^\circ = 344.7^\circ$。
通常功率角取在 $-180^\circ$ 到 $180^\circ$ 之間，所以 $\delta \approx -15.3^\circ$。

B. 求靜態穩定功率極限 (Static Stability Power Limit)

靜態穩定功率極限發生在功率角 $\delta = 90^\circ$ 時。
此時，電動機的最大功率輸出 $P_{max}$ 為：
$P_{max} = \frac{3 V_p E_{f,max}}{X_s}$。
這裡的 $E_{f,max}$ 是指在當前場電流 $I_f = 3$ A 時所對應的反電動勢。
我們已經計算出 $E_f \approx 227.45$ V。

$P_{max} = \frac{3 \times (380/\sqrt{3}) \times 227.45}{1.0}$

此題考驗對感應電動機銘牌參數的理解與計算，包括額定電流、額定輸出功率下的轉差率，以及可能極數的判斷。

題目給定銘牌資訊：

• 電壓 $V_L = 460$ V
• 效率 $\eta = 0.92$
• 功率因數 PF = 0.87
• 額定馬力 Rated hp = 100 hp
• 相數 Phase = 3
• 頻率 $f = 60$ Hz
• 額定轉速 RPM = 1152 RPM
• 1 hp = 750 W

A. 計算額定電流 (Amps.)

額定電流是感應電動機在額定電壓、額定功率因數和額定輸出功率下的線電流。
首先，計算額定輸出功率 $P_{out}$：
$P_{out} = \text{Rated hp} \times 750 \, \text{W/hp} = 100 \, \text{hp} \times 750 \, \text{W/hp} = 75000$ W。

考慮效率 $\eta$，額定輸入功率 $P_{in}$ 為：
$P_{in} = \frac{P_{out}}{\eta} = \frac{75000 \, \text{W}}{0.92} \approx 81521.74$ W。

對於三相系統，輸入功率 $P_{in}$、線電壓 $V_L$、線電流 $I_L$ 和功率因數 PF 的關係為：
$P_{in} = \sqrt{3} V_L I_L \times \text{PF}$。
我們要求的是額定電流 $I_L$ (銘牌上的 Amps.)。
$I_L = \frac{P_{in}}{\sqrt{3} V_L \times \text{PF}}$。
$I_L = \frac{81521.74 \, \text{W}}{\sqrt{3} \times 460 \, \text{V} \times 0.87}$。
$I_L = \frac{81521.74}{1.732 \times 460 \times 0.87} = \frac{81521.74}{687.76} \approx 118.54$ A。

B. 計算額定輸出功率下的轉差率 (Slip @ Rated hp)

轉差率 $s$ 定義為同步轉速 $N_s$ 與轉子實際轉速 $N_r$ 之差的比例：
$s = \frac{N_s - N_r}{N_s}$。

我們已知轉子實際轉速 $N_r = 1152$ RPM。
我們需要計算同步轉速 $N_s$。
同步轉速與電源頻率 $f$ 和電動機的極數 $P$ (或極對數 $p$) 相關：
$N_s = \frac{120 f}{P}$ (RPM) 或 $N_s = \frac{60 f}{p}$ (RPM)，其中 $P$ 是極數，$p=P/2$ 是極對數。

我們還不知道極數 $P$。但是，通常感應電動機的額定轉速 $N_r$ 會略低於同步轉速 $N_s$。
我們可以根據給定的 $N_r = 1152$ RPM 和 $f = 60$ Hz 來推測可能的極數。
$N_s = \frac{120 f}{P} = \frac{120 \times 60}{P} = \frac{7200}{P}$。

核心觀念

本題考查單相變壓器的：

1. 基準阻抗與 per-unit 系統換算。
2. 開路試驗求激磁支路參數 $R_c$、$X_m$。
3. 由銘牌 per-unit 電阻與電抗求串聯等效阻抗。
4. 變壓器電壓調整率（voltage regulation）。

由於開路試驗是在低壓側進行，所有等效電路參數均求為低壓側折算值。

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A. 折算至低壓側的等效電路

1. 串聯等效阻抗

低壓側額定電壓與容量為

$$V_{\text{base}}=15\,\text{kV},\qquad S_{\text{base}}=3\,\text{MVA}$$

低壓側基準阻抗：

$$Z_{\text{base}} =\frac{V_{\text{base}}^2}{S_{\text{base}}} =\frac{(15\,000)^2}{3\times 10^6} =75\,\Omega$$

銘牌給定：

$$R_{\text{pu}}=0.01,\qquad X_{\text{pu}}=0.05$$

因此，折算至低壓側的串聯電阻與電抗為

$$R_{\text{eq,L}}=R_{\text{pu}}Z_{\text{base}} =0.01(75) =0.75\,\Omega$$ $$X_{\text{eq,L}}=X_{\text{pu}}Z_{\text{base}} =0.05(75) =3.75\,\Omega$$

故串聯等效阻抗為

$$Z_{\text{eq,L}}=0.75+j3.75\,\Omega$$

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2. 開路試驗求激磁支路

開路試驗資料：

$$V_{\text{oc}}=15\,\text{kV},\qquad I_{\text{oc}}=15\,\text{A},\qquad P_{\text{oc}}=45\,\text{kW}$$

開路時負載電流近似為零，因此輸入功率主要為鐵損：

$$P_{\text{oc}}=\frac{V_{\text{oc}}^2}{R_c}$$

所以鐵損電阻為

$$R_{c,\text{L}} =\frac{V_{\text{oc}}^2}{P_{\text{oc}}} =\frac{(15\,000)^2}{45\,000} =5000\,\Omega$$

鐵損電流分量：

$$I_c=\frac{P_{\text{oc}}}{V_{\text{oc}}} =\frac{45\,000}{15\,000} =3\,\text{A}$$

激磁電流分量為

$$I_m=\sqrt{I_{\text{oc}}^2-I_c^2} =\sqrt{15^2-3^2} =\sqrt{216} =14.697\,\text{A}$$

因此激磁電抗為

$$X_{m,\text{L}} =\frac{V_{\text{oc}}}{I_m} =\frac{15\,000}{14.697} \approx 1020.6\,\Omega$$

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3. 低壓側等效電路

折算至低壓側的參數為

$$\boxed{R_{\text{eq,L}}=0.75\,\Omega}$$ $$\boxed{X_{\text{eq,L}}=3.75\,\Omega}$$ $$\boxed{R_{c,\text{L}}=5000\,\Omega}$$ $$\boxed{X_{m,\text{L}}\approx 1020.6\,\Omega}$$

因此，低壓側近似等效電路為：

• 串聯支路：$0.75+j3.75\,\Omega$
• 並聯激磁支路：$R_c=5000\,\Omega$ 與 $jX_m=j1020.6\,\Omega$ 並聯

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B. 電壓調整率

1. 負載電流

輸出實功率為

$$P_2=2.4\,\text{MW}$$

功率因數為 $0.8$ lagging，因此輸出視在功率為

$$S_2=\frac{P_2}{\text{PF}} =\frac{2.4}{0.8} =3\,\text{MVA}$$

這正好是變壓器額定容量。