108 年 國立臺灣大學電機工程研究所甲組《控制系統（C）》

核心觀念

理想反相運算放大器的閉迴路傳遞函數為

$$\frac{E_o}{E_i}=-\frac{Z_f}{Z_i},$$

其中 $Z_i$ 是輸入端等效阻抗，$Z_f$ 是回授端等效阻抗。

本電路由兩級反相放大器串接而成：

• 第一級：輸入阻抗為 $Z_i$，回授阻抗為 $Z_f$。
• 第二級：輸入電阻為 $R_5$，回授電阻為 $R_6$。

因此

$$P(s)=\frac{E_o(s)}{E_i(s)} =\left(-\frac{Z_f}{Z_i}\right)\left(-\frac{R_6}{R_5}\right) =\frac{R_6}{R_5}\frac{Z_f}{Z_i}.$$

第二級只有常數增益，不影響 $P(s)$ 的極點與零點位置。

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解題方法

1. 求輸入端等效阻抗 $Z_i$

輸入端由 $R_3$ 與串聯支路 $R_1$、$C_1$ 並聯而成：

$$Z_i=R_3\parallel\left(R_1+\frac{1}{sC_1}\right).$$

化簡得

$$Z_i = \frac{R_3(1+sR_1C_1)} {1+sC_1(R_1+R_3)}.$$

2. 求回授端等效阻抗 $Z_f$

回授端由 $R_4$ 與串聯支路 $R_2$、$C_2$ 並聯而成：

$$Z_f=R_4\parallel\left(R_2+\frac{1}{sC_2}\right),$$

因此

$$Z_f = \frac{R_4(1+sR_2C_2)} {1+sC_2(R_2+R_4)}.$$

3. 判斷 $P(s)$ 的極點與零點

由

$$\frac{Z_f}{Z_i} = \frac{R_4}{R_3} \frac{(1+sR_2C_2)\left[1+sC_1(R_1+R_3)\right]} {\left[1+sC_2(R_2+R_4)\right](1+sR_1C_1)},$$

可知：

• 零點：

$$s=-\frac{1}{R_2C_2}, \qquad s=-\frac{1}{C_1(R_1+R_3)}$$

• 極點：

$$s=-\frac{1}{C_2(R_2+R_4)}, \qquad s=-\frac{1}{R_1C_1}$$

代入數值：

本題考查系統在非零頻率正弦輸入下的穩態響應，以及系統極點與輸入信號的關係。

系統的傳遞函數為 $P(s) = \frac{(s-2)(s+5)}{s(s^2 + 16)(s+3)}$。
輸入信號為 $u(t) = 50\sin(5t)$。
在穩態分析中，我們主要關心的是系統的極點（poles）和輸入信號的頻率。
系統的極點是傳遞函數分母為零的根。
令分母 $s(s^2 + 16)(s+3) = 0$，我們得到極點為：
$s = 0$
$s^2 + 16 = 0 \implies s = \pm j4$
$s+3 = 0 \implies s = -3$
所以，系統的極點有 $0, -3, j4, -j4$。

輸入信號 $u(t) = 50\sin(5t)$，其拉氏轉換為 $U(s)$。
由於輸入信號是正弦波，其頻率為 $\omega = 5$ rad/s。
穩態響應的分析方法有兩種：

1. 極點與輸入頻率的關係：

   • 如果輸入信號的頻率 $\omega$ 恰好是系統極點的虛部（即 $s=j\omega$ 或 $s=-j\omega$ 是極點），則系統會產生共振，穩態響應會包含與輸入信號同頻率的正弦波，但振幅會趨於無限大（如果極點在虛軸上且不是輸入頻率的共振）。
   • 如果系統存在右半平面極點（實部大於零），則系統是不穩定的，穩態響應可能趨於無限大。
   • 如果系統存在虛軸上的極點（實部等於零），且輸入信號的頻率恰好與該極點的虛部相同，則會產生共振。
   • 如果系統的極點都在左半平面（實部小於零），則系統是穩定的。

2. 頻率響應法：
   當輸入為 $u(t) = A\sin(\omega t)$ 時，其穩態輸出 $y_{ss}(t)$ 為 $y_{ss}(t) = |P(j\omega)| A \sin(\omega t + \angle P(j\omega))$。
   這表示穩態輸出是與輸入同頻率的正弦波，其振幅為 $|P(j\omega)|A$，相位為 $\angle P(j\omega)$。
   但是，這種方法的前提是系統是穩定的，或者至少在輸入頻率 $j\omega$ 處是有限的。

我們來檢查系統的極點與輸入頻率 $\omega=5$ 的關係。
系統的極點是 $0, -3, j4, -j4$。
輸入信號的頻率是 $5$ rad/s。
輸入信號的拉氏轉換 $U(s)$ 在 $s=j5$ 處有奇異點（極點）。
我們需要檢查 $P(s)$ 在 $s=j5$ 處的值。
$P(j5) = \frac{(j5-2)(j5+5)}{j5((j5)^2 + 16)(j5+3)}$
$P(j5) = \frac{(j5-2)(j5+5)}{j5(-25 + 16)(j5+3)}$
$P(j5) = \frac{(j5-2)(j5+5)}{j5(-9)(j5+3)}$
$P(j5) = \frac{-(25) + j25 - j10 - 10}{-45j - 27}$
$P(j5) = \frac{-35 + j15}{-27 - 45j}$
$|P(j5)|$ 是有限的，所以系統在 $s=j5$ 處的響應是有限的。
因此，穩態輸出應該包含與輸入同頻率的正弦波。
輸入是 $50\sin(5t)$，所以穩態輸出應該包含 $A \sin(5t + \phi)$ 的形式。
選項中，(E) $\cos(5t)$ 是與 $\sin(5t)$ 同頻率的信號，只是相位不同。
穩態輸出 $y_{ss}(t)$ 的形式為 $y_{ss}(t) = |P(j5)| \cdot 50 \sin(5t + \angle P(j5))$。
因此，穩態輸出預期會包含一個頻率為 $5$ rad/s 的正弦波分量。選項 (E) $\cos(5t)$ 是頻率為 $5$ rad/s 的分量。

現在我們檢查其他選項：
(A) $1$：這是一個直流分量。系統的傳遞函數在 $s=0$ 處有極點，這意味著系統的直流增益是無限的。因此，穩態響應不會是常數 $1$。
(B) $e^{2t}$：這是一個指數函數，表示系統存在實部為 $+2$ 的右半平面極點。然而，系統的極點是 $0, -3, j4, -j4$。其中 $0$ 和 $-3$ 是實部為零或負的極點，$\pm j4$ 是虛軸上的極點。沒有右半平面極點，所以不會出現 $e^{2t}$ 這樣的響應。
(C) $e^{-3t}$：這是一個指數函數，表示系統存在實部為 $-3$ 的左半平面極點。系統確實有一個極點在 $s=-3$。然而，$e^{-3t}$ 是零狀態響應（zero-state response）的瞬態分量，而不是穩態響應。穩態響應是指當 $t \to \infty$ 時的響應。對於穩定的系統，穩態響應只包含與輸入信號同頻率的成分（如果輸入是正弦波）或輸入本身（如果是直流輸入）。對於有虛軸極點的系統，如果輸入頻率與虛軸極點的虛部相同，則會產生共振。

核心觀念

圖 2 顯示脈衝響應在 $t=0^+$ 時為 $a$，並且在 $t=4$ 時約為 $0.37a$。由於

$$e^{-1}\approx 0.37,$$

可判斷其形狀近似為時間常數 $\tau=4$ 的衰減指數：

$$h(t)\approx a e^{-t/4}u(t).$$

若系統為一階系統

$$H(s)=\frac{K}{\tau s+1},$$

其脈衝響應為

$$h(t)=\frac{K}{\tau}e^{-t/\tau}u(t).$$

因此本題需檢查各選項的極點位置與脈衝響應是否近似以 $\tau=4$ 衰減。

選項分析

(A) $\displaystyle \frac{1}{4s+1}$

$$H_A(s)=\frac{1}{4s+1} =\frac{1}{4}\frac{1}{s+\frac14}.$$

因此

$$h_A(t)=\frac14 e^{-t/4}u(t).$$

在 $t=0^+$ 時為 $a=\frac14$，而

$$h_A(4)=\frac14e^{-1}\approx 0.37a.$$

形狀與圖 2 完全符合，故 (A) 正確。

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(B) $\displaystyle \frac{s+1}{s+4}$

先作長除法：

$$\frac{s+1}{s+4}=1-\frac{3}{s+4}.$$

其脈衝響應為

$$h_B(t)=\delta(t)-3e^{-4t}u(t).$$

其中 $\delta(t)$ 為 $t=0$ 的衝擊項，不是圖中所示的有限高度、平滑衰減曲線；且指數項的時間常數為

$$\tau=\frac14,$$

衰減速度遠快於圖 2 的 $\tau=4$。故 (B) 錯誤。

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(C) $\displaystyle \frac{s+4}{(3s+1)(4s+1)}$

部分分式分解：

$$\frac{s+4}{(3s+1)(4s+1)} = \frac{-11}{3s+1}+\frac{15}{4s+1}.$$

因此

$$h_C(t) = -\frac{11}{3}e^{-t/3}u(t) +\frac{15}{4}e^{-t/4}u(t).$$

雖然其中包含時間常數 $4$ 的成分，但同時有相當大的負向時間常數 $3$ 成分。其初始值為

核心觀念

本題考查負回授控制系統的閉迴路特徵方程。由圖 3 可知，在 $w=0$ 時，系統為單位負回授，因此閉迴路傳遞函數的極點由

$$1+P(s)C(s)=0$$

決定。

已知

$$P(s)=\frac{s-1}{s^2+4},\qquad C(s)=k,\quad k>0$$

所以閉迴路特徵方程為

$$1+\frac{k(s-1)}{s^2+4}=0$$

整理得

$$s^2+4+k(s-1)=0$$

即

$$s^2+ks+(4-k)=0.$$

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解題方法

若指定某個 $s=s_0$ 為閉迴路極點，則必須滿足

$$s_0^2+ks_0+4-k=0.$$

將 $k$ 整理出來：

$$k(s_0-1)=-(s_0^2+4)$$

因此

$$k=-\frac{s_0^2+4}{s_0-1}.$$

由於題目要求 $k>0$，只要檢查各候選極點所對應的 $k$ 是否為正值即可。

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選項分析

（A）$s=2.25$

$$k=-\frac{(2.25)^2+4}{2.25-1} =-\frac{5.0625+4}{1.25} =-7.25.$$

所得 $k<0$，不符合題目 $k>0$ 的條件，因此 $s=2.25$ 不可能成為閉迴路極點。

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（B）$s=-2.25$

$$k=-\frac{(-2.25)^2+4}{-2.25-1} =\frac{9.0625}{3.25} \approx 2.788>0.$$

核心觀念

本題為複選題，考的是控制器對「閉迴路頻寬」的影響。頻寬越大，通常代表系統能追蹤較快速的訊號，響應速度也較快。

對單位負回授系統，令迴路傳遞函數為 $L(s)=C(s)P(s)$，則閉迴路傳遞函數為

$$T(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}.$$

對具有低通特性的閉迴路系統，頻寬 $\omega_{\mathrm{BW}}$ 通常定義為相對於直流增益下降 $3\,\mathrm{dB}$ 的頻率：

$$|T(j\omega_{\mathrm{BW}})|=\frac{|T(0)|}{\sqrt{2}}.$$

在相位裕度適當、共振不明顯的設計中，閉迴路頻寬通常與迴路的增益交越頻率 $\omega_{\mathrm{gc}}$ 同一量級，其中

$$|L(j\omega_{\mathrm{gc}})|=1.$$

因此，提高交越頻率，並維持足夠的穩定裕度，是增加頻寬的主要切入點。

解題方法

觀察各控制器的頻率響應，判斷它能否提高迴路增益，使交越頻率往高頻移動，以及它提供的是相位超前還是相位落後。

題目問的是「可以增加」頻寬，並非要求控制器對所有被控系統都保證增加頻寬。因此，比例與微分控制器在合適設計下能達成此效果，就應列入答案。

選項分析

(A) 比例控制器：正確。

比例控制器 $C(s)=k$ 的大小為

$$|C(j\omega)|=k.$$

提高 $k$ 會使迴路的波德增益圖整體上移。對常見的增益隨頻率下降之系統，交越頻率便會提高，閉迴路頻寬也可增加。

例如，取

$$P(s)=\frac{1}{\tau s+1},\qquad \tau>0,$$

則

$$T(s)=\frac{k}{\tau s+1+k} =\frac{k}{1+k}\frac{1}{\dfrac{\tau}{1+k}s+1}.$$

這是一階低通系統，其頻寬為

$$\omega_{\mathrm{BW}}=\frac{1+k}{\tau}.$$

可直接看出，提高比例增益能增加頻寬。實際設計仍須注意穩定裕度，不能無限制提高增益。

(B) 積分控制器：錯誤。

積分控制器的頻率響應為

$$C(j\omega)=\frac{k}{j\omega},\qquad |C(j\omega)|=\frac{k}{\omega},\qquad \angle C(j\omega)=-90^\circ.$$

核心觀念

本題考查：

• 可控制性：$\mathcal{C}=[B\ \ AB]$
• 可觀測性：$\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}$
• 狀態矩陣 $A$ 的特徵值與系統極點
• 直流增益 $G(0)$
• 連續時間系統的穩定性

令

$$A=\begin{bmatrix}-2&0\\d&-3\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}.$$

解題方法

先分別檢查可控制性、可觀測性，再由 $A$ 的特徵值判斷極點與穩定性，最後求輸入至輸出的傳遞函數與直流增益。

選項分析

(A) This system is uncontrollable when $d=0$.

計算

$$AB= \begin{bmatrix}-2&0\\d&-3\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2\\d\end{bmatrix}.$$

因此可控制矩陣為

$$\mathcal{C}= \begin{bmatrix} 1&-2\\ 0&d \end{bmatrix}.$$

其行列式為

$$\det(\mathcal{C})=d.$$

當 $d=0$ 時，$\det(\mathcal{C})=0$，矩陣秩不足，系統不可控制。因此 (A) 正確。

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(B) This system is unobservable when $d=-2$.

計算

$$CA= \begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2&0\\d&-3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}d&-3\end{bmatrix}.$$

可觀測矩陣為

$$\mathcal{O}= \begin{bmatrix} 0&1\\ d&-3 \end{bmatrix},$$

其行列式為

$$\det(\mathcal{O})=-d.$$

當 $d=-2$ 時，

本題是關於閉迴路系統穩定性的判斷，需要利用勞斯判據（Routh-Hurwitz criterion）或根軌跡（Root Locus）的概念。

閉迴路系統的傳遞函數為 $H(s) = \frac{P(s)C(s)}{1 + P(s)C(s)}$。
開迴路傳遞函數 $L(s) = P(s)C(s) = \frac{s-1}{s^2+4} \cdot k = \frac{k(s-1)}{s^2+4}$。
閉迴路系統的特徵方程式為 $1 + L(s) = 0$。
$1 + \frac{k(s-1)}{s^2+4} = 0$
$s^2+4 + k(s-1) = 0$
$s^2 + ks + 4 - k = 0$

為了使閉迴路系統穩定，特徵方程式的所有根（即閉迴路極點）的實部必須為負。
對於一個二階系統 $as^2+bs+c=0$，穩定的條件是：

1. 所有係數的符號必須相同。
2. 所有係數必須為正（或所有係數必須為負）。
   在我們的特徵方程式 $s^2 + ks + (4-k) = 0$ 中：
   係數為 $1$, $k$, $4-k$。
   首先，係數 $1$ 是正的。
   其次，我們需要 $k > 0$。題目已經給定 $k>0$。
   最後，我們需要 $4-k > 0$。
   $4-k > 0 \implies k < 4$。

所以，為了使系統穩定，必須滿足 $k > 0$ (已知條件) 且 $k < 4$。
綜合起來，穩定的條件是 $0 < k < 4$。

現在我們檢查選項：
(A) $k > 10$：不滿足 $k < 4$。
(B) $k > 4$：不滿足 $k < 4$。
(C) $k < 4$：這個條件是穩定的一部分。如果考慮 $k>0$ 的情況，則 $0 < k < 4$。選項 (C) $k < 4$ 涵蓋了 $k>0$ 的大部分範圍。
(D) $k > 1$：不滿足 $k < 4$ 的所有情況。
(E) $k < 1$：這個條件也包含在 $k < 4$ 內。

題目問的是「Which of the following ranges of k make the closed-loop system H(s) stable?」。
我們找到的穩定範圍是 $0 < k < 4$。
選項 (C) 是 $k < 4$。
如果 $k$ 必須大於 $0$，那麼 $0 < k < 4$。
選項 (C) $k < 4$ 包含了 $k=0$ 和 $k<0$ 的情況，但由於題目給定 $k>0$，所以我們實際上考慮的是 $0 < k < 4$。
選項 (C) $k < 4$ 是最能描述穩定條件的選項。

核心觀念

由圖 3 可知為單位負回授系統，且 $w=0$，因此閉迴路傳遞函數為

$$H(s)=\frac{C(s)P(s)}{1+C(s)P(s)}.$$

代入

$$P(s)=\frac{s-1}{s^2+4},\qquad C(s)=k,$$

可得

$$H(s) =\frac{k(s-1)}{s^2+4+k(s-1)} =\frac{k(s-1)}{s^2+ks+(4-k)}.$$

因此閉迴路特徵方程式為

$$s^2+ks+(4-k)=0.$$

二階系統的穩態時間通常採用 2% 規範估算：

$$t_s\approx \frac{4}{\sigma},$$

其中 $\sigma$ 是最接近虛軸之閉迴路極點的衰減速率。

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解題方法

選項 A：$k=0.67$

特徵方程式為

$$s^2+0.67s+3.33=0.$$

此時為共軛複數極點，其實部為

$$-\frac{k}{2}=-0.335.$$

因此

$$t_s\approx \frac{4}{0.335}\approx 11.94\text{ 秒}.$$

不滿足 $t_s\le 9.2$ 秒，故 A 錯誤。

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選項 B：$k=1.5$

極點實部為

$$-\frac{k}{2}=-0.75.$$

因此

$$t_s\approx \frac{4}{0.75}\approx 5.33\text{ 秒}.$$

滿足 $t_s\le 9.2$ 秒，故 B 正確。

核心觀念

本題考查單位負回授系統的閉迴路傳遞函數、穩定條件，以及終值定理。

由圖可知在 $w=0$ 時，系統為單位負回授，因此

$$H(s)=\frac{C(s)P(s)}{1+C(s)P(s)}.$$

題目原圖中的條件為 $|y_{ss}|\le 1$。

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解題方法

已知

$$P(s)=\frac{s-1}{s^2+4},\qquad C(s)=k.$$

因此開迴路傳遞函數為

$$C(s)P(s)=\frac{k(s-1)}{s^2+4}.$$

閉迴路傳遞函數：

$$H(s) =\frac{\dfrac{k(s-1)}{s^2+4}} {1+\dfrac{k(s-1)}{s^2+4}} =\frac{k(s-1)}{s^2+ks+4-k}.$$

其特徵方程式為

$$s^2+ks+(4-k)=0.$$

對二階系統而言，穩定條件為所有係數皆為正，因此

$$k>0,\qquad 4-k>0,$$

所以

$$0<k<4.$$

對單位階梯輸入 $R(s)=1/s$，若系統穩定，利用終值定理：

$$y_{ss} =\lim_{s\to 0}sH(s)\frac{1}{s} =\lim_{s\to 0}H(s) =\frac{k(0-1)}{4-k} =-\frac{k}{4-k}.$$

因此

$$|y_{ss}|=\frac{k}{4-k}.$$

要求

$$\frac{k}{4-k}\le 1,$$

由於 $0<k<4$，分母為正，可得

核心觀念

本題考查：

1. 閉迴路傳遞函數與閉迴路極點。
2. 二階系統的重根與阻尼比。
3. 增益裕度（gain margin）。
4. Nyquist 圖對 $-1$ 點的包圍方向與次數。

由圖為單位負回授，且 $w=0$，因此

$$H(s)=\frac{P(s)C(s)}{1+P(s)C(s)}.$$

已知

$$P(s)=\frac{s-1}{s^2+4},\qquad C(s)=k,$$

故迴路傳遞函數為

$$L(s)=P(s)C(s)=\frac{k(s-1)}{s^2+4},$$

閉迴路傳遞函數為

$$H(s)=\frac{k(s-1)}{s^2+4+k(s-1)} =\frac{k(s-1)}{s^2+ks+4-k}.$$

因此閉迴路特徵方程式為

$$s^2+ks+4-k=0.$$

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選項分析

(A) $H(s)$ has repeated poles at $s=-2$ when $k=3$

當 $k=3$ 時，特徵方程式為

$$s^2+3s+1=0.$$

其根為

$$s=\frac{-3\pm\sqrt{9-4}}{2} =\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2},$$

並非重根。

也可直接將 $s=-2$ 代入特徵方程式：

$$(-2)^2+3(-2)+4-3 =4-6+1=-1\neq 0.$$

因此此敘述錯誤。

實際上，二階方程式具有重根的條件為

$$k^2-4(4-k)=0,$$

即

$$k^2+4k-16=0.$$

因 $k>0$，重根發生於

$$k=-2+4\sqrt{2}\approx 3.657,$$

不是 $k=3$。

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(B) The oscillation in the step response of $H(s)$ becomes smaller when $k$ is increased

閉迴路特徵方程式可與標準二階形式比較：

$$s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0.$$

因此

$$\omega_n^2=4-k, \qquad 2\zeta\omega_n=k.$$

在穩定範圍 $0<k<4$ 內，

$$\zeta=\frac{k}{2\sqrt{4-k}}.$$

當 $k$ 增加時，阻尼比 $\zeta$ 增加，極點的振盪性降低；當

$$k\ge -2+4\sqrt{2},$$

兩個極點變為實根，系統不再具有振盪極點。

因此在穩定範圍內，$k$ 增加會使步階響應的振盪減小，敘述正確。

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(C) The gain margin of the system becomes $0$ dB when $k=4$