114 年 國立臺灣大學電機工程研究所甲組《控制系統》

此題為概念題，主要在於理解非理想運算放大器在負回授組態下可能發生的不穩定現象。

核心觀念：
非理想運算放大器具有有限的增益頻寬積 (Gain Bandwidth Product, GBWP) 以及相位延遲。在負回授架構下，系統的穩定性與開迴路傳遞函數的相位裕度 (Phase Margin) 有關。當閉迴路系統的相位延遲在單位增益頻率處達到 180 度時，負回授會變成正回授，導致系統不穩定。

解題說明：
題目的要求是「Show the configuration of this circuit connection is unstable.」。從圖一來看，這是一個典型的運算放大器電路，但題目並未明確指出電路參數或回授路徑，因此我們需要從運算放大器的非理想特性出發來討論。

圖一顯示了一個非理想運算放大器。非理想運算放大器的主要非理想特性包括：

1. 有限的開迴路增益 (Open-loop Gain)： 運算放大器的開迴路增益並非無限大，且會隨著頻率的增加而下降。通常，其開迴路傳遞函數可以近似為一個低通濾波器，例如 $A(s) = \frac{A_0}{1 + s/\omega_p}$，其中 $A_0$ 是直流增益，$\omega_p$ 是極點頻率。
2. 相位延遲 (Phase Lag)： 由於運算放大器內部的極點，其輸出訊號會比輸入訊號有相位延遲，尤其在高頻時。對於上述的單極點模型，在頻率 $\omega_p$ 時，相位延遲為 45 度；在更高頻率下，延遲會增加。

對於一個典型的負回授組態，例如一個反相放大器或同相放大器，其閉迴路系統的穩定性取決於開迴路傳遞函數 $A(s)$ 與回授網路的傳遞函數 $B(s)$。閉迴路系統的特徵方程式為 $1 + A(s)B(s) = 0$。

在圖一的電路中，如果我們假設它是一個負回授組態（例如，輸出端經由某個元件連接回反相輸入端），那麼我們需要分析 $A(s)B(s)$ 的頻率響應。

討論不穩定性：
系統可能不穩定的情況發生在 $1 + A(s)B(s) = 0$ 的根跑到右半平面 (Right Half Plane, RHP) 時。根據 Nyquist stability criterion 或 Bode stability criterion，這通常發生在：

• 單位增益頻率 (Unity Gain Frequency, $\omega_{ug}$) 處，開迴路增益的相位接近 -180 度。

假設圖一的電路是一個具有負回授的組態。由於非理想運算放大器在高頻時有顯著的相位延遲，當回授網路 $B(s)$ 的傳遞函數在某個頻率 $\omega$ 處的增益 $|B(j\omega)| = 1$ 時，我們需要檢查開迴路傳遞函數 $A(j\omega)$ 的相位。

如果運算放大器的開迴路傳遞函數 $A(s)$ 有一個或多個極點（例如，最常見的是第一個極點 $A(s) = \frac{A_0}{1+s/\omega_p}$），那麼在頻率 $\omega = \omega_{ug}$ 時，如果 $A(j\omega_{ug}) B(j\omega_{ug})$ 的相位是 $-180^\circ$ 加上 $360^\circ k$（其中 $k$ 為整數），則系統會變得不穩定。

對於單極點模型 $A(s) = \frac{A_0}{1+s/\omega_p}$，其相位為 $\angle A(j\omega) = -\arctan(\omega/\omega_p)$。
通常，運算放大器的增益頻寬積 (GBWP) 定義為單位增益頻率 $\omega_{ug}$，即 $|A(j\omega_{ug})| = 1$。如果 $A_0 \gg 1$，則 $\omega_{ug} \approx A_0 \omega_p$。
在 $\omega_{ug}$ 處，相位延遲為 $\angle A(j\omega_{ug}) = -\arctan(\omega_{ug}/\omega_p) = -\arctan(A_0)$。由於 $A_0$ 通常很大（例如 $10^5$ 或 $10^6$），$\arctan(A_0)$ 會接近 $90^\circ$。

然而，實際的運算放大器通常有多個極點，或者其開迴路增益函數的衰減速度比單極點模型更快，導致在 $\omega_{ug}$ 處的相位延遲會比 $-90^\circ$ 更大，可能接近 $-180^\circ$。

具體展示不穩定性：
為了展示不穩定性，我們需要假設一個回授網路 $B(s)$，使得在某個頻率 $\omega_c$ 處，開迴路傳遞函數 $A(s)B(s)$ 的增益為 1 且相位為 $-180^\circ$。

例如，考慮一個簡單的同相放大器組態，其中回授網路 $B(s) = 1$（直接從輸出接到反相輸入）。這在理想情況下增益為 $1+A(s)$。
如果我們考慮一個非理想運算放大器，其開迴路傳遞函數為 $A(s) = \frac{A_0}{(1+s/\omega_p)^2}$ (雙極點模型)，那麼在 $\omega_{ug}$ 處，相位為 $-2 \arctan(\omega_{ug}/\omega_p) = -2 \arctan(A_0)$，這仍然接近 $-180^\circ$。

更常見的情況是，回授網路 $B(s)$ 本身在高頻時也會引入相位延遲。
例如，如果回授網路中有一個 RC 濾波器，或者如果回授路徑中有額外的放大級。

一個典型的模型來展示不穩定性：

核心觀念

本題考查「具有穩定裕度的 Routh–Hurwitz 判據」。一般穩定要求所有閉迴路極點滿足

$$\operatorname{Re}(s)<0.$$

題目要求極點至少位於虛軸左方 $0.5$ 的距離，因此穩定條件為

$$\operatorname{Re}(s)<-0.5.$$

將複數平面向右平移 $0.5$，令

$$z=s+0.5,\qquad s=z-0.5.$$

則原系統的極點滿足 $\operatorname{Re}(s)<-0.5$，等價於轉換後極點滿足

$$\operatorname{Re}(z)<0.$$

因此，可對轉換後的特徵多項式套用標準 Routh–Hurwitz 判據。

---

(a) 修正後的 Routh–Hurwitz 判據與 $K$ 範圍

原特徵方程式為

$$s^3+4s^2+5s+K=0.$$

代入 $s=z-0.5$：

$$(z-0.5)^3+4(z-0.5)^2+5(z-0.5)+K=0.$$

逐項展開：

$$(z-0.5)^3=z^3-1.5z^2+0.75z-0.125,$$ $$4(z-0.5)^2=4z^2-4z+1,$$ $$5(z-0.5)=5z-2.5.$$

合併後得

$$z^3+2.5z^2+1.75z+\left(K-\frac{13}{8}\right)=0.$$

即

$$z^3+\frac{5}{2}z^2+\frac{7}{4}z+\left(K-\frac{13}{8}\right)=0.$$

對一般三階多項式

$$z^3+a_2z^2+a_1z+a_0$$

而言，Routh–Hurwitz 穩定條件為

$$a_2>0,\qquad a_1>0,\qquad a_0>0,\qquad a_2a_1>a_0.$$

本題中

$$a_2=\frac{5}{2},\qquad a_1=\frac{7}{4},\qquad a_0=K-\frac{13}{8}.$$

因此：

條件一：常數項為正

$$K-\frac{13}{8}>0$$

所以

$$K>\frac{13}{8}.$$

條件二：Routh–Hurwitz 交叉乘積條件

$$\frac{5}{2}\cdot\frac{7}{4}>K-\frac{13}{8}.$$

整理得

$$\frac{35}{8}>K-\frac{13}{8},$$ $$K<\frac{48}{8}=6.$$

另外，

$$\frac{5}{2}>0,\qquad \frac{7}{4}>0$$

本身已經成立。

因此，所有極點皆位於 $\operatorname{Re}(s)<-0.5$ 的範圍時，$K$ 必須滿足

$$\boxed{\frac{13}{8}<K<6}.$$

等號不包含在內：

• $K=\frac{13}{8}$ 時，轉換後多項式的常數項為零，表示有極點位於 $z=0$，亦即原系統有極點位於 $s=-0.5$，只達到邊界，未具有嚴格穩定裕度。
• $K=6$ 時，滿足 $a_2a_1=a_0$，轉換後系統位於穩定邊界，同樣不符合嚴格不等式。

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(b) 穩定性對軌跡控制的影響

此題要求我們處理一個給定的線性時不變 (LTI) 狀態空間系統，包含繪製方塊圖、計算傳遞函數、以及分析狀態回授和輸出回授下的閉迴路特徵方程式。

系統參數：
狀態方程式：
$\dot{x} = Ax + Bu$
$y = Cx$
其中：
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$

核心觀念：

• 狀態空間表示與方塊圖： 狀態空間方程式可以透過積分器、加法器和增益元件來繪製成方塊圖。
• 傳遞函數： 從狀態空間表示轉換為傳遞函數 $G(s) = C(sI - A)^{-1}B + D$。在此系統中 $D=0$。
• 狀態回授： 將控制輸入 $u$ 表示為狀態向量 $x$ 的線性組合 $u = -Kx$，其中 $K$ 是回授矩陣。閉迴路系統的狀態方程式變為 $\dot{x} = (A-BK)x$。
• 輸出回授： 將控制輸入 $u$ 表示為輸出 $y$ 的線性組合 $u = -Ky$。閉迴路系統的特徵方程式可以透過將 $u$ 代入閉迴路傳遞函數來獲得。

(a) 繪製狀態空間方塊圖 (包含一個積分器給每個狀態變數)

解題步驟：
狀態方程式為：
$\dot{x}_1 = x_2$
$\dot{x}_2 = -4x_1 - 2x_2 + u$
輸出方程式為：
$y = x_1$

方塊圖的繪製思路是：

1. 兩個狀態變數 $x_1, x_2$ 是積分器的輸出。
2. $\dot{x}_1$ 是 $x_2$。
3. $\dot{x}_2$ 是 $-4x_1 - 2x_2 + u$ 的結果。
4. $y$ 是 $x_1$。

繪製步驟：

1. 畫兩個積分器，輸出分別為 $x_1$ 和 $x_2$。
2. 將 $x_2$ 連接到 $\dot{x}_1$ 的輸入（或直接表示 $\dot{x}_1 = x_2$）。
3. 從 $x_1$ 產生一個訊號 $-4x_1$（乘以增益 -4）。
4. 從 $x_2$ 產生一個訊號 $-2x_2$（乘以增益 -2）。
5. 將 $-4x_1$ 和 $-2x_2$ 以及控制輸入 $u$ 加在一起，得到 $\dot{x}_2$。
6. 將 $\dot{x}_1$ 和 $\dot{x}_2$ 作為積分器的輸入。
7. 將 $x_1$ 作為輸出 $y$。

方塊圖描述：

• 一個方塊代表積分器 1，輸入為 $\dot{x}_1$，輸出為 $x_1$。
• 另一個方塊代表積分器 2，輸入為 $\dot{x}_2$，輸出為 $x_2$。
• 從 $x_2$ 的輸出，用一條線連接到 $\dot{x}_1$ 的輸入。
• 從 $x_1$ 的輸出，通過一個增益為 -4 的方塊，得到 $-4x_1$。
• 從 $x_2$ 的輸出，通過一個增益為 -2 的方塊，得到 $-2x_2$。
• 將 $-4x_1$, $-2x_2$, 和控制輸入 $u$ 這三個訊號匯總到一個加法器，其輸出為 $\dot{x}_2$。
• 將 $x_1$ 的輸出作為系統的輸出 $y$。

【答案】
(a) 方塊圖繪製如下：
[一個方塊標示為 "$\int$"，輸入為 $\dot{x}_1$，輸出為 $x_1$。]
[另一個方塊標示為 "$\int$"，輸入為 $\dot{x}_2$，輸出為 $x_2$。]

• 從 $x_2$ 的輸出，有一條線指向 $\dot{x}_1$ 的輸入。
• 從 $x_1$ 的輸出，通過一個增益為 -4 的方塊（標示為 "-4"），得到訊號 $-4x_1$。
• 從 $x_2$ 的輸出，通過一個增益為 -2 的方塊（標示為 "-2"），得到訊號 $-2x_2$。
• 一個加法器，其輸入為訊號 $-4x_1$, $-2x_2$, 和控制輸入 $u$。加法器的輸出為 $\dot{x}_2$。
• 從 $x_1$ 的輸出，有一條線作為系統輸出 $y$。

(b) 計算傳遞函數 $G(s)$

解題步驟：
傳遞函數 $G(s) = C(sI - A)^{-1}B$。
首先計算 $sI - A$:
$sI - A = s \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -4 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s & -1 \\ 4 & s+2 \end{bmatrix}$

接著計算 $(sI - A)^{-1}$：
$\det(sI - A) = s(s+2) - (-1)(4) = s^2 + 2s + 4$
$(sI - A)^{-1} = \frac{1}{s^2 + 2s + 4} \begin{bmatrix} s+2 & 1 \\ -4 & s \end{bmatrix}$

然後計算 $C(sI - A)^{-1}B$:

題圖資訊說明

所附掃描圖是民國 109 年試題，內容未包含題目所述的 Fig. 2，因此無法直接確認電阻 $R$、電感 $L$、電容 $C$ 的連接方式。以下依控制系統常見的「$R$、$L$、$C$ 並聯，輸入為注入節點的電流 $u(t)$，輸出為電容電壓 $V_c$」電路作答。

核心觀念

選定狀態變數

$$x_1=i_L,\qquad x_2=V_c$$

使用：

• 電感電壓電流關係：$v_L=L\dfrac{di_L}{dt}$
• 電容電流電壓關係：$i_C=C\dfrac{dV_c}{dt}$
• 並聯節點的 KCL
• 可控制性矩陣 $\mathcal{C}=[B\ AB]$
• 可觀測性矩陣 $\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}$

(a) 狀態方程

由於 $R$、$L$、$C$ 並聯，各元件兩端電壓相同，且輸出為

$$y=V_c=x_2$$

對電感而言：

$$V_c=L\frac{di_L}{dt}$$

因此

$$\dot{x}_1=\frac{1}{L}x_2$$

在並聯節點套用 KCL：

$$u(t)=i_L+i_R+i_C$$

其中

$$i_R=\frac{V_c}{R}=\frac{x_2}{R}, \qquad i_C=C\frac{dV_c}{dt}=C\dot{x}_2$$

所以

$$C\dot{x}_2=u-x_1-\frac{x_2}{R}$$

得到

$$\dot{x}_2=-\frac{1}{C}x_1-\frac{1}{RC}x_2+\frac{1}{C}u$$

寫成矩陣形式：

$$\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{L}\\[4pt] -\dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{RC} \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0\\[4pt] \dfrac{1}{C} \end{bmatrix}u$$ $$y= \begin{bmatrix} 0&1 \end{bmatrix}x$$

其中

$$A= \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{L}\\ -\dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{RC} \end{bmatrix}, \qquad B= \begin{bmatrix} 0\\ \dfrac{1}{C} \end{bmatrix}, \qquad C= \begin{bmatrix} 0&1 \end{bmatrix}, \qquad D=0$$

(b) 可控制性條件

二階系統的可控制性矩陣為

$$\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B&AB \end{bmatrix}$$

先計算

$$AB= \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{L}\\ -\dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{RC} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ \dfrac{1}{C} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{LC}\\[4pt] -\dfrac{1}{RC^2} \end{bmatrix}$$

因此

核心觀念

由圖 3，前向傳遞函數與回授傳遞函數分別為

$$G(s)=K\frac{s+3}{s(s^2+4s+5)},\qquad H(s)=\frac{1}{s+1}$$

為負回授系統，因此閉迴路特徵方程為

$$1+G(s)H(s)=0$$

亦即

$$1+\frac{K(s+3)}{s(s+1)(s^2+4s+5)}=0$$

---

(a) 利用 Routh 穩定判據求穩定的 $K$

閉迴路特徵多項式為

$$s(s+1)(s^2+4s+5)+K(s+3)=0$$

展開得

$$s^4+5s^3+9s^2+(5+K)s+3K=0$$

建立 Routh 表：

$$\begin{array}{c|ccc} s^4 & 1 & 9 & 3K\\ s^3 & 5 & 5+K & 0\\ s^2 & \dfrac{40-K}{5} & 3K & 0\\ s^1 & \dfrac{200-40K-K^2}{40-K} & 0 & 0\\ s^0 & 3K & & \end{array}$$

系統穩定的必要條件是第一欄所有元素皆為正：

$$1>0$$ $$5>0$$ $$\frac{40-K}{5}>0 \quad\Rightarrow\quad K<40$$ $$\frac{200-40K-K^2}{40-K}>0$$

在 $K<40$ 時，分母 $40-K$ 為正，因此需滿足

$$200-40K-K^2>0$$

整理為

$$K^2+40K-200<0$$

其根為

$$K=\frac{-40\pm\sqrt{40^2+800}}{2} =-20\pm10\sqrt{6}$$

因此

$$-20-10\sqrt{6}<K<-20+10\sqrt{6}$$

再配合 $3K>0$ 所得的 $K>0$，可得穩定範圍

$$\boxed{0<K<-20+10\sqrt{6}}$$

數值上，

$$-20+10\sqrt{6}\approx4.495$$

所以

$$\boxed{0<K<4.495}$$

---

(b) 根軌跡與虛軸交越點

1. 開迴路極點與零點

開迴路傳遞函數為

$$G(s)H(s)=\frac{K(s+3)} {s(s+1)(s^2+4s+5)}$$

開迴路極點為

$$s=0,\quad s=-1,\quad s=-2+j,\quad s=-2-j$$

開迴路零點為

$$s=-3$$

因此共有 4 條根軌跡，其中 1 條終止於有限零點 $s=-3$，另外 3 條趨近無限遠。

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2. 實軸根軌跡

實軸上的奇數判則顯示，根軌跡位於

$$(-\infty,-3)$$

以及

$$(-1,0)$$

因此實軸根軌跡區段為

$$\boxed{(-\infty,-3)\ \text{與}\ (-1,0)}$$

---

3. 漸近線

漸近線數量為

$$n-m=4-1=3$$

漸近線交點為

$$\sigma_a= \frac{\text{極點總和}-\text{零點總和}}{n-m}$$

極點總和為

$$0+(-1)+(-2+j)+(-2-j)=-5$$

所以

$$\sigma_a=\frac{-5-(-3)}{3}=-\frac{2}{3}$$

漸近線角度為

$$\theta_q=\frac{(2q+1)180^\circ}{3}$$

故三條漸近線角度為

$$\boxed{60^\circ,\ 180^\circ,\ 300^\circ}$$

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4. 虛軸交越點

核心觀念

本題考兩種運算放大器電路的設計：

1. PI 控制器：比例項立即修正誤差；積分項累積誤差，在閉迴路穩定且致動器未飽和時，可消除定值設定與定值擾動造成的穩態誤差。
2. 帶通濾波器：結合高通與低通，保留所需頻帶，同時抑制低頻漂移及高頻雜訊。

標準 PI 控制律為

$$u(t)=K_p e(t)+K_i\int_0^t e(\tau)\,d\tau, \qquad C_{\mathrm{PI}}(s)=K_p+\frac{K_i}{s}.$$

其中 $e=T_{\mathrm{set}}-T$。溫度誤差若轉換成電壓，須將感測器的轉換比例納入控制器增益設計。

解題方法

原卷第 6 題沒有指定電路附圖；頁面下方的 Fig. 1、Fig. 2、Fig. 3 分別屬於其他題目。本題須自行設計 PI 與帶通濾波電路，且原題未提供反應器模型、感測器比例與擾動大小，因此不能僅憑一組電阻、電容數值保證全程維持 $\pm2^\circ\mathrm C$。

（a）運放 PI 溫度控制器

1. 電路與傳遞函數

採用反相運放，輸入電阻為 $R_{\mathrm{in}}$，回授支路由 $R_f$ 與 $C_f$ 串聯構成：

                 Rf          Cf
          ┌────/\/\/─────────||──────────┐
          │                              │
eT ──Rin──●──────────(−)                 │
                         運算放大器 ─────●── uPI
GND ─────────────────(＋)

接線重點：非反相端「＋」僅接地；輸出經 $R_f$、$C_f$ 串聯回授到反相端「－」。

理想運放在線性負回授下，反相端為虛地。回授阻抗為

$$Z_f(s)=R_f+\frac{1}{sC_f}.$$

由反相端的電流平衡，

$$\frac{E_T(s)}{R_{\mathrm{in}}} = -\frac{U_{\mathrm{PI}}(s)}{Z_f(s)},$$

因此

$$\frac{U_{\mathrm{PI}}(s)}{E_T(s)} = -\frac{R_f}{R_{\mathrm{in}}} -\frac{1}{sR_{\mathrm{in}}C_f}.$$

若加熱功率隨控制電壓增加而增加，取輸入為「量測值減設定值」，即 $e_T=-e$，便得到標準負回授控制律：

$$U_{\mathrm{PI}}(s) = \left(K_p+\frac{K_i}{s}\right)E(s),$$

其中

$$\boxed{ K_p=\frac{R_f}{R_{\mathrm{in}}}, \qquad K_i=\frac{1}{R_{\mathrm{in}}C_f}, \qquad T_i=\frac{K_p}{K_i}=R_fC_f }$$

控制系統連接如下：

設定溫度 ──┐
           ├─ 誤差產生器 ─ PI ─ 加熱功率驅動器 ─ 化學反應器 ─ 溫度
量測溫度 ──┘                                      ↑          │
                                                外部擾動     │
           └──────────── 溫度感測器 ──────────────────────────┘

誤差產生器輸出採「量測值減設定值」，配合反相 PI，使溫度偏低時加熱量增加。

2. 比例項與積分項的作用

• 比例項 $K_p$：誤差出現時立即調整加熱量，提高反應速度與擾動抑制能力。增益過大會增加超越量，並在熱延遲明顯時引起振盪。
• 積分項 $K_i$：持續累積溫差，補足熱損失所需的加熱量，使定值擾動下的穩態誤差趨近零。積分過強會增加超越量、延長恢復時間。
• 致動器限制：加熱器達到最大功率時，應加入抗積分飽和措施，例如飽和且誤差持續推向飽和方向時暫停積分。

3. 實際調整方法

在正常操作點施加小幅加熱功率階躍，量測溫度響應，辨識一階加延遲模型：

$$G_T(s)\approx \frac{K_g e^{-\theta s}}{\tau s+1},$$

其中 $K_g$ 為穩態增益、$\tau$ 為時間常數、$\theta$ 為延遲時間；感測器與驅動器比例一併納入 $K_g$。

採用保守的內部模型控制調整式：

$$K_p=\frac{\tau}{K_g(\lambda+\theta)}, \qquad T_i=\tau, \qquad K_i=\frac{K_p}{T_i}.$$

選擇 $\lambda\geq\theta$ 作為初始響應時間；$\lambda$ 越大，控制越平緩。依所得參數選取元件：

$$R_f=K_pR_{\mathrm{in}}, \qquad C_f=\frac{T_i}{R_f}.$$

最後在預期的進料溫度、流量及散熱擾動下驗證

$$\boxed{|T(t)-T_{\mathrm{set}}|\leq2^\circ\mathrm C}.$$

若超越量過大，降低 $K_p$ 或增加 $T_i$；若擾動消除過慢，逐步縮短 $T_i$。此容許誤差還須涵蓋感測器誤差，並確認加熱器具有足夠功率。

（b）運放帶通濾波器與 PI 的連接

1. 頻帶與電路選擇

原題只指定抑制 $1\,\mathrm{kHz}$ 以上雜訊，未指定完整心電圖保真頻帶。以下以保留約 $0.5$～$100\,\mathrm{Hz}$ 為示範規格，採用：

• 一階高通：抑制直流偏移與低頻漂移。
• 兩級低通：提高高頻衰減斜率。
• 每級以運放電壓隨耦器隔離，避免負載改變截止頻率。