114 年國立臺灣大學電機工程研究所乙組《工程數學（C）》考古題與詳解

Question 1

1. (2%) Which of the following best defines a "singular solution" of a differential equation? (A) A solution that satisfies the initial condition for all values of the independent variable. (B) A solution that is independent of any particular initial condition. (C) A solution that does not belong to the general solution family but still satisfies the differential equation. (D) A unique solution that only exists for non-linear differential equations.

Accepted Answer

核心觀念

「奇異解」（singular solution）是微分方程的特殊解，具有以下特徵：

滿足原微分方程。
不屬於通解所形成的一參數或多參數解族。
常可視為通解族的包絡線，尤其常見於一階非線性微分方程。

若微分方程的通解寫成

y=f(x,C),

其中 $C$ 為任意常數，則由此得到的所有解稱為一般解或通解族。若另有某函數 $y=\phi(x)$ 滿足微分方程，但無法藉由任何常數 $C$ 使其寫成 $y=f(x,C)$ ，則 $\phi(x)$ 即為奇異解。

解題方法

本題直接依據奇異解的定義判斷。

判斷一個解是否為奇異解，重點在於：

\text{滿足微分方程} \quad+\quad \text{不屬於通解族}.

因此，正確敘述必須同時包含「滿足微分方程」及「不屬於一般解族」兩個條件。

選項分析

(A) A solution that satisfies the initial condition for all values of the independent variable.

此選項描述的是滿足初始條件的解，與奇異解的定義不同。

初始條件通常指定某一點的函數值，例如

y(x_0)=y_0.

滿足初始條件只能說明該解是初值問題的解，無法表示它不屬於通解族。因此此選項錯誤。

Question 2

2. (2%) What does a "boundary-value problem" refer to in the context of differential equations? (A) A differential equation problem that includes conditions only at a single point. (B) A differential equation problem with conditions specified at multiple points in the domain. (C) A type of problem that requires the use of Laplace transforms for its solution. (D) A system of equations where the boundary is ill-defined.

Accepted Answer

核心觀念

「邊界值問題」（boundary-value problem, BVP）是指：在求解微分方程時，除了微分方程本身，還指定未知函數在定義域邊界上的條件。

例如二階常微分方程

y''+p(x)y'+q(x)y=f(x),\qquad a\le x\le b

若同時給定

y(a)=\alpha,\qquad y(b)=\beta,

則條件分別位於區間的兩個端點，構成邊界值問題。

相對地，若條件全部指定在同一點，例如

y(a)=\alpha,\qquad y'(a)=\beta,

通常稱為「初值問題」（initial-value problem, IVP）。

解題方法

判斷此題的關鍵，在於辨認條件指定的位置：

初值問題：條件集中在單一點。
邊界值問題：條件指定在定義域的邊界，通常涉及多個邊界點。

因此，題目所述「conditions specified at multiple points in the domain」符合邊界值問題的基本特徵，正確選項為 (B)。

嚴格而言，邊界值問題的條件是指定在「邊界」上，而不只是任意多個內部點；在一維區間中，邊界通常就是兩個端點。

選項分析

(A) 錯誤

「只在單一點給定條件」屬於初值問題的典型特徵，例如

Question 3

3. (2%) Which of the following is the definition of a "homogeneous differential equation"? (A) A differential equation where all terms are equal to a constant. (B) A differential equation where the sum of derivatives equals zero. (C) A differential equation in which the dependent variable and its derivatives are proportional. (D) A differential equation in which all terms involve the dependent variable or its derivatives.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查齊次微分方程（homogeneous differential equation）的定義。 對於一般線性微分方程 $$ an(x)y^{(n)}+a{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a1(x)y'+a0(x)y=g(x), $$ 若右側的非齊次項 $g(x)=0$，則稱為齊次線性微分方程： $$ an(x)y^{(n)}+a{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a1(x)y'+a0(x)y=0. $$ 其特徵是：方程中的每一項都包含未知函數 $y$ 或其導數，且沒有獨立存在的外力項、常數項或一般已知函數項。 --- 解題方法 判斷選項是否符合齊次微分方程的標準定義。 例如： $$ y''+3y'-2y=0 $$ 左側各項分別含有 $y''$、$y'$、$y$，且右側為零，因此是齊次微分方程。 相較之下： $$ y''+3y'-2y=\sin x $$ 右側存在不含 $y$ 或其導數的已知函數 $\sin x$，因此是非齊次微分方程。 --- 選項分析 (A) 錯誤。 「所有項等於一個常數」不是齊次微分方程的定義。齊次線性微分方程的右側應為零，而不是任意常數。 例如： $$ y''+y=1 $$

Question 4

4. (2%) What is the "Wronskian" used to determine? (A) Whether a given solution satisfies the differential equation. (B) The order of a system of linear differential equations. (C) The linear independence of solutions to a differential equation. (D) The stability of a solution near an equilibrium point.

Accepted Answer

核心觀念 Wronskian（朗斯基行列式）用來判斷一組微分方程解的線性獨立性。 對二階微分方程的兩個解 $y1(x),y2(x)$，Wronskian 定義為 $$ W(y1,y2)(x) = \begin{vmatrix} y1(x) & y2(x)\ y1'(x) & y2'(x) \end{vmatrix} = y1(x)y2'(x)-y2(x)y1'(x). $$ 若在某一點 $x0$ 有 $$ W(y1,y2)(x0)
eq 0, $$ 則 $y1,y2$ 必定線性獨立。因此，Wronskian 是判斷微分方程解是否線性獨立的重要工具。 對 $n$ 個函數，Wronskian 為 $$ W(y1,\dots,yn)(x) = \begin{vmatrix} y1 & y2 & \cdots & yn\ y1' & y2' & \cdots & yn'\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ y1^{(n-1)} & y2^{(n-1)} & \cdots & yn^{(n-1)} \end{vmatrix}. $$ 解題方法 題目直接詢問 Wronskian 的用途。根據定義，Wronskian 是由各個函數及其導數組成的行列式，用來檢查解之間是否存在非平凡的線性關係。 若存在常數 $c1,c2$ 不全為零，使得 $$ c1y1(x)+c2y2(x)=0, $$ 則兩個解線性相依；若只有 $c1=c2=0$ 才能滿足上式，則兩個解線性獨立。

Question 5

5. (2%) In solving systems of linear differential equations, what role do eigenvalues play? (A) They define the growth or decay rates of the system's solutions. (B) They provide the initial conditions required to solve the system. (C) They specify the numerical method necessary to approximate solutions. (D) They determine the time at which the system reaches equilibrium.

Accepted Answer

核心觀念 對線性微分方程組 $$ \mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t), $$ 若矩陣 $A$ 有特徵值 $\lambda$ 與對應特徵向量 $\mathbf{v}$，則可構造出解 $$ \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}. $$ 其中： - $\operatorname{Re}(\lambda)0$：解的振幅隨時間增長。 - $\operatorname{Re}(\lambda)<0$：解的振幅隨時間衰減。 - $\operatorname{Re}(\lambda)=0$：通常表示無增長或衰減；若特徵值含虛部，則可能產生振盪。 - $\operatorname{Im}(\lambda)
eq 0$：影響振盪頻率。 因此，特徵值主要決定系統解的增長、衰減與穩定性。 解題方法 將系統解寫成指數型態： $$ \mathbf{x}(t)=e^{\lambda t}\mathbf{v}. $$ 代入 $\mathbf{x}'(t)=A\mathbf{x}(t)$： $$ \lambda e^{\lambda t}\mathbf{v} = Ae^{\lambda t}\mathbf{v}. $$ 消去 $e^{\lambda t}$，得到 $$ A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}, $$ 這正是矩陣 $A$ 的特徵值問題。 每個特徵值 $\lambda$ 對應的解皆含有因子 $e^{\lambda t}$，所以 $\lambda$ 的實部直接控制解的增長或衰減速率。故本題正確選項為 (A)。 選項分析 (A) They define the growth or decay rates of the system's solutions.

Question 6

Note 1: For the following problems, assume the terms C, C1, C2, and C3 are arbitrary constants.
Note 2: Some problems may use the following notation: $y' = \frac{dy}{dx}$ and $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$ and $y''' = \frac{d^3y}{dx^3}$ .
6. (4%) Find the solution to the differential equation:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y}$
with $y(1) = 2$ .

(A) $y = 2e^{x^2-1}$
(B) $y = \sqrt{2x^2}$
(C) $y = \pm\sqrt{2x^2}$
(D) $y = \sqrt{2x^2 + 2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一階可分離變數微分方程。若方程可整理為 $$ f(y)\frac{dy}{dx}=g(x), $$ 即可將含 $y$ 的項與含 $x$ 的項分開，再分別積分。 本題方程為 $$ \frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y}, $$ 且初始條件為 $y(1)=2$。 解題方法 將 $y$ 移至左側： $$ y\frac{dy}{dx}=2x. $$ 由於 $$ y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}(y^2), $$ 因此也可直接寫成 $$ y\,dy=2x\,dx. $$ 兩側積分： $$ \int y\,dy=\int 2x\,dx, $$ 得到 $$ \frac{y^2}{2}=x^2+C. $$ 乘以 $2$： $$ y^2=2x^2+C1. $$ 代入初始條件 $x=1,\ y=2$： $$ 2^2=2(1)^2+C1, $$ $$ 4=2+C1, $$ 所以 $$ C1=2. $$ 因此 $$ y^2=2x^2+2. $$ 取平方根後形式上為 $$ y=\pm\sqrt{2x^2+2}. $$ 但初始條件要求 $y(1)=20$，故必須選取正值分支： $$ \boxed{y=\sqrt{2x^2+2}}. $$ 選項分析 (A) $y=2e^{x^2-1}$ 此函數雖然滿足 $y(1)=2$，但不滿足微分方程。其導數為

Question 7

7. (4%) Find the general solution to the differential equation: $\frac{dy}{dx} + y = e^x$ (A) $y = \frac{1}{x+C}$ (B) $y = e^{-x} x$ (C) $y = e^x (x + C)$ (D) No Solution

Accepted Answer

觀念與推導 本題為一階線性微分方程，標準式為 $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = 1$，$Q(x) = e^x$。 計算積分因子 $I(x)$： $$I(x) = e^{\int 1 dx} = e^x$$

Question 8

8. (4%) Find the general solution to the differential equation: $\frac{dy}{dx} = \frac{3y-6}{2x+4}$ (A) $y = 2 + (x + 2)^{\frac{3}{2}}$ (B) $y = 2 + C(x + 2)^{\frac{3}{2}}$ (C) $y = 2 + C(x + 2)^{\frac{3}{2}}$ (D) $y = 2 + (x + 2)^{\frac{3}{2}} + C$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一階可分離變數微分方程。方程式為 $$ \frac{dy}{dx}=\frac{3y-6}{2x+4} =\frac{3(y-2)}{2(x+2)}. $$ 將含 $y$ 的項與含 $x$ 的項分離後積分即可。 --- 解題方法 原式整理為 $$ \frac{dy}{dx}=\frac{3(y-2)}{2(x+2)}. $$ 當 $y
eq 2$ 且 $x
eq -2$ 時，分離變數： $$ \frac{dy}{y-2}=\frac{3}{2}\frac{dx}{x+2}. $$ 兩邊積分： $$ \int \frac{dy}{y-2} = \frac{3}{2}\int \frac{dx}{x+2}, $$ 因此 $$ \ln|y-2| = \frac{3}{2}\ln|x+2|+C. $$ 指數化並將積分常數合併，可得 $$ |y-2|=C|x+2|^{3/2}, $$ 故一般解可寫成 $$ y=2+C|x+2|^{3/2}. $$ 在選項通常採用的定義域 $x-2$ 下，$|x+2|=x+2$，所以寫成

Question 9

9. (4%) Find the solution to the differential equation, given the constraints: $\frac{x dy}{dx} + y = x^3$, $x 0$ (A) $y = \frac{x^3}{4}$ (B) $y = \frac{x^3}{4} + C$ (C) $y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$ (D) $y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x^2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一階線性微分方程： $$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $$ 其積分因子為： $$ \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx} $$ 題目給定 $x0$，可直接將原式除以 $x$，整理成一階線性微分方程。 解題方法 原方程為： $$ x\frac{dy}{dx}+y=x^3 $$ 因為 $x0$，兩邊同除以 $x$： $$ \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x^2 $$ 其中： $$ P(x)=\frac{1}{x} $$ 因此積分因子為： $$ \mu(x)=e^{\int \frac{1}{x}\,dx} =e^{\ln x}=x $$ 這裡使用 $x0$，所以 $\ln x$ 與積分因子可直接寫成 $x$。 方程式兩邊乘以積分因子 $x$： $$ x\frac{dy}{dx}+y=x^3 $$ 左側正好是乘積微分： $$ \frac{d}{dx}(xy)=x^3 $$ 兩邊積分： $$ xy=\int x^3\,dx =\frac{x^4}{4}+C $$ 再除以 $x$： $$ y=\frac{x^3}{4}+\frac{C}{x} $$ 選項分析 - (A) $y=\frac{x^3}{4}$：錯誤。 此式只包含特解，缺少一階微分方程的任意常數項。代入可得： $$ x\frac{dy}{dx}+y =x\left(\frac{3x^2}{4}\right)+\frac{x^3}{4} =x^3 $$ 雖然它確實是一個特定解，但不是完整通解。 - (B) $y=\frac{x^3}{4}+C$：錯誤。 微分後：

Question 10

10. (4%) Find the general solution to the differential equation: $y''' - 6y'' - 12y' - 8y = 0$ (A) $y = C1e^{2x}$ (B) $y = C1e^{2x} + C2xe^{2x} + C3e^{4x}$ (C) $y = C1e^{2x} + C2xe^{2x} + C3x^2e^{2x}$ (D) $y = C1e^{2x} + C2x^2e^{2x} + C3x^3e^{2x}$

Accepted Answer

觀念重點 本題為高階常係數齊次線性微分方程式。若特徵方程式求得三重實根 $\lambda$，則對應的三個線性獨立解分別為 $e^{\lambda x}$、$xe^{\lambda x}$ 與 $x^2e^{\lambda x}$，通解即為此三解之線性組合。 --- 詳細推導步驟 寫出對應之特徵方程式（Characteristic Equation）： $$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 12\lambda - 8 = 0$$

Question 11

11. (4%) Find the Laplace transform of the function: $y(x) = x^2e^{3x}$ (A) $Y(s) = \frac{2}{s^3}$ (B) $Y(s) = \frac{2}{(s-3)^2}$ (C) $Y(s) = \frac{2}{(s-3)^3}$ (D) $Y(s) = \frac{2}{(s-3)^4}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查拉普拉斯轉換的指數位移定理： $$ \mathcal{L}\{f(x)\}=F(s) \quad\Longrightarrow\quad \mathcal{L}\{e^{ax}f(x)\}=F(s-a). $$ 另外， $$ \mathcal{L}\{x^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}. $$ 當 $n=2$ 時， $$ \mathcal{L}\{x^2\}=\frac{2!}{s^3}=\frac{2}{s^3}. $$ 解題方法 題目函數為 $$ y(x)=x^2e^{3x}. $$ 先將 $x^2$ 視為基本函數 $f(x)$，其拉普拉斯轉換為 $$ F(s)=\mathcal{L}\{x^2\}=\frac{2}{s^3}. $$ 根據指數位移定理，乘上 $e^{3x}$ 會將 $s$ 替換為 $s-3$： $$ \mathcal{L}\{x^2e^{3x}\} =F(s-3) =\frac{2}{(s-3)^3}. $$ 因此， $$ Y(s)=\frac{2}{(s-3)^3}. $$ 其收斂條件為 $s3$。 選項分析 - (A) $\displaystyle Y(s)=\frac{2}{s^3}$：錯誤。 這是 $$ \mathcal{L}\{x^2\} $$ 的結果，忽略了函數中的指數因子 $e^{3x}$。 - (B) $\displaystyle Y(s)=\frac{2}{(s-3)^2}$：錯誤。

Question 12

12. (4%) Find the inverse Laplace transform of the function: $Y(s) = \frac{s+5}{s^2 + 4s + 5}$ (A) $y(x) = \cos(x) + 3 \sin(x)$ (B) $y(x) = e^{-2x} (\cos(x) + 3 \sin(x))$ (C) $y(x) = e^{-2x} (3 \cos(x) + \sin(x))$ (D) $y(x) = e^{-2x}(\cos(\sqrt{2}x) + \sqrt{2} \sin(\sqrt{2}x))$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查拉普拉斯反變換中的「平移定理」與基本反變換公式： $$ \mathcal{L}\{\cos ax\}=\frac{s}{s^2+a^2}, \qquad \mathcal{L}\{\sin ax\}=\frac{a}{s^2+a^2}. $$ 若 $$ \mathcal{L}\{f(x)\}=F(s), $$ 則由第一平移定理： $$ \mathcal{L}\{e^{-ax}f(x)\}=F(s+a). $$ 因此，遇到分母含有 $(s+a)^2+b^2$ 的形式，應將其整理成平移後的標準型。 解題方法 原式為 $$ Y(s)=\frac{s+5}{s^2+4s+5}. $$ 先配方整理分母： $$ s^2+4s+5=(s+2)^2+1. $$ 再將分子改寫成與 $s+2$ 相配的形式： $$ s+5=(s+2)+3. $$ 所以 $$ Y(s) =\frac{(s+2)+3}{(s+2)^2+1} =\frac{s+2}{(s+2)^2+1} +3\frac{1}{(s+2)^2+1}. $$ 根據平移定理， $$ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{s+2}{(s+2)^2+1} \right\} =e^{-2x}\cos x. $$ 又因為 $$ \mathcal{L}\{\sin x\}=\frac{1}{s^2+1}, $$ 故 $$ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2+1} \right\} =e^{-2x}\sin x. $$ 因此 $$ y(x)=e^{-2x}\cos x+3e^{-2x}\sin x, $$ 即 $$ \boxed{y(x)=e^{-2x}\left(\cos x+3\sin x\right)}. $$

Question 13

13. (4%) For what range of r does the following series converge? $$ \sum{n=0}^{\infty} \frac{r^n}{n!} $$ (A) All real values of r (B) $-1 < r < 1$ (C) $-1 \le r \le 1$ (D) No real values of r

Accepted Answer

核心觀念 本題考查冪級數的收斂性，以及階乘 $n!$ 對指數型級數收斂性的影響。可使用比值判別法： 若 $$ \lim{n	o\infty}\left|\frac{a{n+1}}{an}ight|<1, $$ 則級數 $$ \sum{n=0}^{\infty}an $$ 絕對收斂。 解題方法 令 $$ an=\frac{r^n}{n!}. $$ 計算相鄰兩項絕對值的比值： $$ \left|\frac{a{n+1}}{an}ight| = \left| \frac{r^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{r^n} ight| = \frac{|r|}{n+1}. $$ 取極限： $$ \lim{n	o\infty}\frac{|r|}{n+1}=0. $$ 對任何有限的實數 $r$，皆有 $$ 0<1. $$ 因此依比值判別法，級數 $$ \sum{n=0}^{\infty}\frac{r^n}{n!} $$ 對所有實數 $r$ 都絕對收斂。 事實上，此級數正是指數函數的泰勒展開： $$ e^r=\sum{n=0}^{\infty}\frac{r^n}{n!}, $$ 而 $e^r$ 對所有實數 $r$ 均有定義。 選項分析

Question 14

14. (4%) Find the eigenvalues for the system of differential equations: $ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = 4x + y \ \frac{dy}{dt} = -2x + y \end{cases} $ (A) $\lambda1 = -2, \lambda2 = 1$ (B) $\lambda1 = -2, \lambda2 = 4$ (C) $\lambda1 = -1, \lambda2 = 4$ (D) $\lambda1 = 2, \lambda2 = 3$

Accepted Answer

核心觀念 線性微分方程組可寫成矩陣形式： $$ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x\y \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} x\y \end{bmatrix}, \qquad A= \begin{bmatrix} 4&1\ -2&1 \end{bmatrix}. $$ 系統的特徵值 $\lambda$ 定義為滿足下式的數： $$ \det(A-\lambda I)=0, $$ 其中 $I$ 為二階單位矩陣。 --- 解題方法 計算特徵方程： $$ A-\lambda I = \begin{bmatrix} 4-\lambda&1\ -2&1-\lambda \end{bmatrix}. $$ 因此， $$ \det(A-\lambda I) = \begin{vmatrix} 4-\lambda&1\ -2&1-\lambda \end{vmatrix}. $$ 利用二階行列式公式，得到 $$ (4-\lambda)(1-\lambda)-1(-2)=0. $$ 展開： $$ (4-\lambda)(1-\lambda)+2=0, $$ $$ 4-5\lambda+\lambda^2+2=0, $$ $$ \lambda^2-5\lambda+6=0. $$ 因式分解： $$ (\lambda-2)(\lambda-3)=0. $$ 所以兩個特徵值為

Question 15

15. (4%) Solve the system of differential equations: $ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = 3x - y \ \frac{dy}{dt} = x + y \end{cases} $ With initial conditions: $x(0) = 1, y(0) = -1$ (A) $x(t) = e^{2t}, y(t) = e^{2t}$ (B) $x(t) = e^{2t}, y(t) = te^{2t}$ (C) $x(t) = e^{2t} - 2te^{2t}, y(t) = e^{2t}$ (D) $x(t) = e^{2t}(\cos(t) + \sin(t)), y(t) = e^{2t}(\cos(t) + \sin(t))$

Accepted Answer

核心觀念 此題考查的是線性常係數微分方程組的解法：將系統寫成矩陣形式，求特徵值與特徵向量，得到通解；再利用初始條件求出特定常數，最後比對四個選項。 --- (a) 建立矩陣形式 將系統寫成 $$ \frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. $$ 令 $ \mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} $，矩陣 $A=\begin{pmatrix}3 & -1\ 1 & 1\end{pmatrix}$。 --- (b) 求特徵值與特徵向量 特徵方程式： $$ \det(A-\lambda I)= \begin{vmatrix} 3-\lambda & -1\ 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} =(3-\lambda)(1-\lambda)+1=0. $$ 化簡得到 $$ \lambda^{2}-4\lambda+2=0, \qquad \lambda{1,2}=2\pm\sqrt{2}. $$ 由於兩個特徵值皆為實數且不相等，對應的特徵向量分別求得： 當 $\lambda1=2+\sqrt2$ 時，解 $$ \begin{pmatrix}3-\lambda1 & -1\ 1 & 1-\lambda1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v1\v2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} (1-\sqrt2)v1- v2=0\ v1-(1+\sqrt2)v2=0 \end{cases} $$ 取 $v1=1$，得到 $v2=1-\sqrt2$，即 $\mathbf{v}1=\begin{pmatrix}1\1-\sqrt2\end{pmatrix}$。 當 $\lambda2=2-\sqrt2$ 時，同理得到 $\mathbf{v}2=\begin{pmatrix}1\1+\sqrt2\end{pmatrix}$。 --- (c) 寫出通解 根據線性系統的理論，解可寫成 $$ \mathbf{X}(t)=C1\mathbf{v}1 e^{\lambda1 t}+C2\mathbf{v}2 e^{\lambda2 t}, $$ 即 $$ \begin{aligned} x(t)&=C1 e^{(2+\sqrt2)t}+C2 e^{(2-\sqrt2)t},\[4pt] y(t)&=C1(1-\sqrt2) e^{(2+\sqrt2)t}+C2(1+\sqrt2) e^{(2-\sqrt2)t}…

Question 16

16. (10%) For the system of linear equations Ax = b (A) there may be no solutions (B) there always is at most one solution (C) there is always a solution (D) there always are infinitely many solutions (E) none of the preceding statements is true

Accepted Answer

核心觀念 線性方程組 $$ A\mathbf{x}=\mathbf{b} $$ 的解之存在性與唯一性，取決於係數矩陣 $A$ 與增廣矩陣 $[A\mid \mathbf b]$ 的秩： - 有解的條件： $$ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid \mathbf b]) $$ - 唯一解的條件： $$ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid \mathbf b])=n $$ 其中 $n$ 是未知數個數。 - 若有解且 $$ \operatorname{rank}(A)<n $$ 則自由變數至少有一個，因此有無限多組解。 本題未對 $A$ 與 $\mathbf b$ 加上可逆、方陣或其他特殊條件，因此必須依一般線性方程組的情況判斷。 解題方法 直接檢查各選項所宣稱的「一定」性質是否對所有線性方程組都成立。只要找出一個反例，即可否定「always」的敘述。 考慮方程組 $$ \begin{cases} x=1,\ x=2. \end{cases} $$ 其增廣矩陣為 $$ \left[ \begin{array}{c|c} 1&1\ 1&2 \end{array} ight]. $$ 消去後得到 $$ \left[ \begin{array}{c|c} 1&1\ 0&1 \end{array} ight], $$ 代表方程 $$ 0=1, $$ 因此此線性方程組無解。這已證明線性方程組確實「可能沒有解」。 選項分析 (A) there may be no solutions

Question 17

17. (10%) Let A be a 4×7 matrix, and let B be an 7×4 matrix. Then (A) $(AB)^T = B^T A^T$ (B) $AB = BA^T$ (C) $(AB)^T = AB^T$ (D) $A^T$ is an 4×7 matrix (E) none of the preceding statements is true

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣的： 1. 矩陣乘法維度條件。 2. 矩陣轉置後的大小。 3. 乘積轉置公式： $$ (XY)^T=Y^T X^T. $$ 若 $X$ 為 $m	imes n$ 矩陣、$Y$ 為 $n	imes p$ 矩陣，則 $XY$ 才有定義，且結果為 $m	imes p$ 矩陣。 已知： $$ A:4	imes 7,\qquad B:7	imes 4. $$ 因此： $$ AB:(4	imes7)(7	imes4)=4	imes4. $$ 另外，轉置只會交換矩陣的列數與行數，所以： $$ A^T:7	imes4,\qquad B^T:4	imes7. $$ 解題方法 先判斷各矩陣乘積是否有定義，再套用乘積轉置公式。由於選項涉及矩陣等式，等式兩側除了形式必須正確，也必須具有相同大小。 選項分析 (A) $(AB)^T=B^T A^T$ 由乘積轉置公式： $$ (AB)^T=B^T A^T. $$ 維度檢查如下： $$ AB:4	imes4 \quad\Longrightarrow\quad (AB)^T:4	imes4, $$ 而 $$ B^T A^T=(4	imes7)(7	imes4)=4	imes4. $$ 等式成立，因此 (A) 正確。 --- (B) $AB=BA^T$ 左側： $$ AB=(4	imes7)(7	imes4)=4	imes4. $$ 右側： $$ BA^T=(7	imes4)(7	imes4). $$

Question 18

18. (10%) Suppose that A is a 5×5 matrix, and k≠ 0. Then: (A) $\det (kA) = k \det A$ (B) $\det (kA) = k^5 \det A$ (C) $\det (kA) = 5k + \det A$ (D) $\det (kA) = k + \det A$ (E) none of the preceding statements is true

Accepted Answer

核心觀念 本題考查行列式的「純量乘法性質」。 若 $A$ 是 $n	imes n$ 矩陣，則將矩陣乘上純量 $k$，等同於將 $A$ 的每一列都乘上 $k$。由行列式對每一列具有一次齊次性： $$ \det(kA)=k^n\det(A). $$ 本題中 $A$ 為 $5	imes 5$ 矩陣，因此 $n=5$。 解題方法 矩陣 $kA$ 的五列分別為 $A$ 的五列乘上 $k$： $$ kA= \begin{bmatrix} kR1\ kR2\ kR3\ kR4\ kR5 \end{bmatrix}. $$ 依行列式對每一列的線性性質，五個 $k$ 都可以提出： $$ \det(kA) =\det(kR1,kR2,kR3,kR4,kR5) $$ $$ =k\cdot k\cdot k\cdot k\cdot k\det(R1,R2,R3,R4,R5) =k^5\det(A). $$ 所以： $$ \boxed{\det(kA)=k^5\det(A)}. $$ 其中 $k
eq 0$ 並不影響此公式的成立；即使 $k=0$，公式仍然成立。 選項分析 (A) $\det(kA)=k\det A$

Question 19

19. (10%) Let A be an arbitrary n×n matrix. Then (A) The row space of A equals the null space of A (B) The row space of A is contained in the column space (C) The row space of A equals the column space of A (D) The row space of A has the same dimension as the column space of A (E) None of the preceding statements is true

Accepted Answer

核心觀念 對任意 $n	imes n$ 矩陣 $A$： - 列空間（row space）：由 $A$ 的所有列向量所張成的子空間。 - 行空間（column space）：由 $A$ 的所有行向量所張成的子空間。 - 零空間（null space）： $$N(A)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n:A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}.$$ 矩陣的基本定理指出： $$ \dim(	ext{row space of }A) = \dim(	ext{column space of }A) = \operatorname{rank}(A). $$ 列空間與行空間的實際子空間通常不同，但兩者的維度必定相同。 解題方法 本題問的是「對任意矩陣 $A$，哪一項必定成立」。因此應尋找對所有矩陣都成立的基本定理。 由秩的定義，矩陣的秩同時等於： 1. 簡化列梯形式中的主元個數； 2. 線性獨立列向量的最大個數； 3. 線性獨立行向量的最大個數。 因此： $$ \dim(	ext{row space of }A)=\operatorname{rank}(A) $$ 且 $$ \dim(	ext{column space of }A)=\operatorname{rank}(A). $$ 所以 $$ \dim(	ext{row space of }A) = \dim(	ext{column space of }A). $$ 選項分析 (A) The row space of $A$ equals the null space of $A$ 錯誤。 列空間與零空間雖然都可視為 $\mathbb{R}^n$ 的子空間，但一般不相等。例如取 $$ A= \begin{bmatrix} 0&1\ 0&0 \end{bmatrix}. $$ 其列空間為 $$ \operatorname{Row}(A)=\operatorname{span}\{(0,1)\}. $$ 而零空間由 $$ A \begin{bmatrix} x\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\0 \end{bmatrix} $$ 可得 $y=0$，因此 $$ N(A)=\operatorname{span}\{(1,0)\}. $$ 兩者並不相等。 此外，列空間與零空間的關係是：

Question 20

20. (10%) Determine which statement is true for all n×n matrices A (A) If v is an eigenvector of A, then v is an eigenvector of P⁻¹AP for every invertible matrix P (B) If λ is an eigenvalue of A, then λ is an eigenvalue of P⁻¹AP for every invertible matrix P (C) The diagonal entries of A are its eigenvalues (D) None of the preceding statements are true (E) If Av = λv for some vector v in Rⁿ, then λ is an eigenvalue of A

Accepted Answer

各選項分析 (A) 錯誤 若 $v$ 為 $A$ 對應特徵值 $\lambda$ 之特徵向量（即 $Av = \lambda v$），則對相似矩陣 $P^{-1}AP$ 而言： $$P^{-1}AP (P^{-1}v) = P^{-1}A v = P^{-1}(\lambda v) = \lambda (P^{-1}v)$$ 可知 $P^{-1}AP$ 的特徵向量為 $P^{-1}v$，而非 $v$（除非 $v$ 亦為 $P$ 之特徵向量）。 (B) 正確 矩陣 $A$ 與其相似矩陣 $P^{-1}AP$ 具有相同的特徵多項式：

114 年 國立臺灣大學電機工程研究所乙組《工程數學（C）》

第 1 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) A solution that satisfies the initial condition for all values of the independent variable.

第 2 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) 錯誤

第 3 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 4 題2 分

核心觀念

解題方法

第 5 題2 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) They define the growth or decay rates of the system's solutions.

第 6 題4 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 7 題4 分

第 8 題4 分

第 9 題4 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 10 題4 分

觀念重點

詳細推導步驟

第 11 題4 分

第 12 題4 分

核心觀念

解題方法

第 13 題4 分

第 14 題4 分

核心觀念

解題方法

第 15 題4 分

(a) 建立矩陣形式

(b) 求特徵值與特徵向量

(c) 寫出通解

(d) 利用初始條件求常數

第 16 題10 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 17 題10 分

第 18 題10 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 19 題10 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) The row space of AAA equals the null space of AAA

第 20 題10 分

各選項分析

其他考古題

114 年臺灣大學的其他科目

臺灣大學《工程數學》其他年度

其他學校的電機系考古題

114 年國立臺灣大學電機工程研究所乙組《工程數學（C）》

(A) The row space of $A$ equals the null space of $A$