114 年 國立臺灣大學電機工程研究所乙組《電力工程（含電機機械、電力電子、電力系統）》

核心觀念

本題考查平衡三相系統、三相複功率與線路壓降。

每一個負載的功率因數為 $0.9$ lagging，因此：

$$\phi=\cos^{-1}(0.9)=25.842^\circ$$ $$Q=P\tan\phi =800\tan(\cos^{-1}0.9) =387.3\ \text{var}$$

所以每一負載的複功率為：

$$S_L=800+j387.3\ \text{VA}$$

三相平衡時，各相線路阻抗必須相同。

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解題方法

由圖中 $a$ 相兩段線路阻抗：

$$Z_a=0.6+j0.6\ \Omega$$ $$Z'_a=0.3+j0.3\ \Omega$$

平衡三相系統要求各相對應線路阻抗相同，因此：

$$\boxed{Z_b=0.6+j0.6\ \Omega}$$ $$\boxed{Z'_b=0.3+j0.3\ \Omega}$$

每一相從電源到負載端的總線路阻抗為：

$$Z_{\text{line}} =(0.6+j0.6)+(0.3+j0.3) =0.9+j0.9\ \Omega$$

已知電源線電壓：

$$V_{ca}=262\angle 0^\circ\ \text{V(rms)}$$

故電源相電壓大小為：

$$|E_\phi|=\frac{262}{\sqrt{3}}=151.27\ \text{V}$$

每相所對應的三相複功率為：

$$S_\phi=800+j387.3\ \text{VA}$$

令負載端相電壓為 $V_\phi$，則：

$$E_\phi=V_\phi+Z_{\text{line}}I_\phi$$

且

$$I_\phi=\frac{S_\phi^*}{V_\phi^*}$$

代入後可利用功率流方程求得負載端相電壓：

核心觀念

本題考查兩端電力系統中，線路功率潮流 $\beta_{12}$ 的最大值。設

• $V_1=1.05\angle\delta$
• $V_2=1.0\angle 0^\circ$
• $Z_{\text{line}}=0.7\angle85^\circ\ \text{p.u.}$

其中 $\delta$ 為兩端電壓相角差。

由歐姆定律，從母線 1 流向母線 2 的電流為

$$I_{12}=\frac{V_1-V_2}{Z_{\text{line}}}$$

母線 1 輸出的複功率為

$$S_{12}=V_1 I_{12}^{*}$$

而 $\beta_{12}$ 為其實功率部分。

解題方法

令

$$Z_{\text{line}}=R+jX$$

則

$$R=0.7\cos85^\circ,\qquad X=0.7\sin85^\circ$$

複功率

$$S_{12} =\frac{V_1^2-V_1V_2e^{j\delta}}{R-jX}$$

取實部可得

$$\beta_{12} = \frac{ V_1^2R-V_1V_2R\cos\delta+V_1V_2X\sin\delta }{ R^2+X^2 }$$

將含 $\delta$ 的部分合併：

$$-X R?$$

實際上，

$$-X?$$

可寫成

$$-X?$$

其中

$$-X?$$

因此利用

$$X\sin\delta-R\cos\delta \leq \sqrt{R^2+X^2} =|Z_{\text{line}}|$$

核心觀念

本題考查三相短距離輸電線的電壓降計算。由圖中資料：

• 線長：$l=5\text{ km}$
• 頻率：$f=60\text{ Hz}$
• 每公里電阻：$R'=3\times10^{-4}\ \Omega/\text{m}=0.3\ \Omega/\text{km}$
• 每公里電感：$L'=1.2\times10^{-6}\ \text{H/m}=1.2\text{ mH/km}$
• 負載功率：$P_R=1.5\text{ MW}$
• 接收端功率因數：$0.95$ lagging
• 接收端線電壓：$V_{R,LL}=11\text{ kV}$

圖中註明電容可忽略，因此採用短線模型，只考慮串聯阻抗。

解題方法

以接收端相電壓為參考相量：

$$V_R=\frac{V_{R,LL}}{\sqrt{3}} =\frac{11000}{\sqrt{3}} =6350.85\text{ V}$$

功率因數角為

$$\phi=\cos^{-1}(0.95)=18.19^\circ$$

三相負載電流大小：

$$I_R=\frac{P_R}{\sqrt{3}V_{R,LL}\cos\phi}$$ $$I_R=\frac{1.5\times10^6} {\sqrt{3}(11000)(0.95)} =82.88\text{ A}$$

因為功率因數落後，電流相量為

$$\mathbf I_R=82.88\angle(-18.19^\circ) =78.77-j25.93\text{ A}$$

每相線路電阻：

$$R=0.3(5)=1.5\ \Omega$$

每相線路電感：

$$L=1.2\times10^{-3}(5)=0.006\text{ H}$$

感抗為

$$X_L=\omega L=2\pi fL =2\pi(60)(0.006) =2.262\ \Omega$$

本題主要考驗學生對於同步發電機的基本參數計算，包括轉速與頻率的關係，以及角速度的轉換。

核心觀念：

1. 同步發電機的轉速、極數與發電機頻率之間的關係。
2. 機械轉速與角速度之間的轉換。

解題步驟：

(a) 計算發電機頻率：
同步發電機的發電機頻率 $f$ (單位：Hz) 與其極數 $p$ (對數，即每對極的數量) 和機械轉速 $N$ (單位：rpm，每分鐘轉數) 的關係為：
$f = \frac{p}{2} \times \frac{N}{60}$
其中 $p$ 是總極數。題目給定為六極發電機，所以 $p=6$。
機械轉速 $N = 1200$ rpm。

將數值代入公式：
$f = \frac{6}{2} \times \frac{1200 \text{ rpm}}{60 \text{ s/min}}$
$f = 3 \times 20 \text{ Hz}$
$f = 60 \text{ Hz}$

本題考驗學生對於感應電動機 (induction motor) 的滑差 (slip) 和轉子電流頻率的計算。

核心觀念：

1. 感應電動機的同步轉速、轉子轉速與滑差的關係。
2. 轉子電流的頻率與滑差和定子頻率的關係。

解題步驟：

1. 計算同步轉速 ($N_s$)：
   感應電動機的同步轉速 $N_s$ (單位：rpm) 與其極數 $p$ 和定子頻率 $f$ (單位：Hz) 的關係為：
   $N_s = \frac{120 \times f}{p}$
   題目給定定子頻率 $f = 60$ Hz，極數 $p = 4$ (因為是四極馬達)。
   $N_s = \frac{120 \times 60 \text{ Hz}}{4} = \frac{7200}{4} = 1800 \text{ rpm}$

2. 計算滑差 ($s$)：
   滑差 $s$ 是定子同步轉速與轉子實際轉速之間的差異，通常表示為一個比例值。

核心觀念

本題考理想降壓型轉換器的電感伏秒平衡、電容電荷平衡，以及邊界導通模式（BCM）與不連續導通模式（DCM）的差異。

BCM 的電感電流每週期由零上升，再下降至零；在輸出電壓漣波很小的標準近似下，電流為三角波，因此

$$V_o=DV_g,\qquad I_o=\frac{I_{L,\mathrm{pk}}}{2}.$$

解題方法

原圖中，$Q_1$ 串接於電源與切換節點 $SW$ 之間，$L$ 由 $SW$ 接至輸出端，$C$ 與 $R$ 並聯；$D_1$ 的陽極接地、陰極接 $SW$，電感電流 $i_L$ 的正方向由左往右。原卷確實寫成 $C=1\,\mathrm{mH}$，但 $\mathrm{mH}$ 是電感單位，未提供有效的電容量；以下以 $C_{\mathrm{實}}$ 表示實際電容量，採通常的輸出小漣波近似。

（a）為何輸出電壓不能高於輸入電壓？提出兩個理由

理由一：電感伏秒平衡限制轉換比。

導通時 $v_L=V_g-V_o$，關斷且二極體導通時 $v_L=-V_o$，故

$$(V_g-V_o)DT_s-V_o(1-D)T_s=0.$$

整理得

$$V_o=DV_g.$$

由於 $0\leq D\leq1$，因此 $V_o\leq V_g$。

理由二：輸出高於輸入時，電感電流缺少上升區間。

若 $V_o>V_g$，$Q_1$ 導通時仍有

$$\frac{di_L}{dt}=\frac{V_g-V_o}{L}<0;$$

關斷且 $D_1$ 導通時則有

$$\frac{di_L}{dt}=-\frac{V_o}{L}<0.$$

兩個區間都使電感電流下降，電源便不能持續補充負載所需能量，因此不能維持升壓的穩態。

（b）$Q_1$ 關斷時的等效電路與 $D_1$ 狀態

$Q_1$ 關斷後，輸入電源與電感斷開；由於电感電流不能瞬間改變，仍須沿原方向流動，因而使 $D_1$ 順向導通。

等效電路為：

• $Q_1$：開路。
• $D_1$：理想短路，使 $v_{SW}=0$。
• 電感續流路徑：地端 $\rightarrow D_1\rightarrow L\rightarrow$ 輸出端，再經負載回到地端；$C$ 仍與 $R$ 並聯。

此時

$$v_L=-V_o,\qquad \frac{di_L}{dt}=-\frac{V_o}{L}.$$

當電感電流下降至零時，$D_1$ 截止；BCM 恰在此時開始下一次導通。

（c）求邊界導通時的輸出電阻 $R$

先求週期與占空比：

$$T_s=\frac{1}{100\,\mathrm{kHz}}=10\,\mu\mathrm{s}, \qquad D=\frac{V_o}{V_g}=\frac{1}{10}=0.1.$$

因此

$$t_{\mathrm{on}}=1\,\mu\mathrm{s}, \qquad t_{\mathrm{off}}=9\,\mu\mathrm{s}.$$

電感電流從零開始，峰值為

$$I_{L,\mathrm{pk}} =\frac{V_g-V_o}{L}t_{\mathrm{on}} =\frac{9}{100\,\mu\mathrm{H}}\times1\,\mu\mathrm{s} =0.09\,\mathrm{A}.$$

由電容平均電流為零，負載平均電流等於電感平均電流：

$$I_o=\frac{0.09}{2}=0.045\,\mathrm{A}.$$

故

$$\boxed{R=\frac{1}{0.045}=\frac{200}{9}\,\Omega\approx22.22\,\Omega}.$$

下降區間的電流變化量為

$$\frac{1}{100\,\mu\mathrm{H}}\times9\,\mu\mathrm{s} =0.09\,\mathrm{A},$$

恰好使電感電流回到零，符合 BCM 條件。

（d）繪製 $D$、$SW$ 電壓、$i_L$ 與 $V_o$ 波形，標示峰、谷值

圖中 $D$ 的開關驅動波形以導通命令 $1$、關斷命令 $0$ 正規化表示；原卷未給實際驅動電壓幅度。以下取每週期開始導通為 $t=0$。

波形	$0\leq t<1\,\mu\mathrm{s}$	$1\leq t<10\,\mu\mathrm{s}$	峰、谷值
驅動訊號 $D$	$1$	$0$	正規化峰值 $1$、谷值 $0$
$v_{SW}$	$10\,\mathrm{V}$	$0\,\mathrm{V}$	峰值 $10\,\mathrm{V}$、谷值 $0$
$i_L$	線性上升	線性下降	峰值 $90\,\mathrm{mA}$、谷值 $0$

電感電流的兩段斜率為

$$\left.\frac{di_L}{dt}\right|_{\mathrm{on}} =0.09\,\mathrm{A}/\mu\mathrm{s}, \qquad \left.\frac{di_L}{dt}\right|_{\mathrm{off}} =-0.01\,\mathrm{A}/\mu\mathrm{s}.$$

因此電流波形的關鍵點為

$$(0,0)\ \longrightarrow\ (1\,\mu\mathrm{s},90\,\mathrm{mA})\ \longrightarrow\ (10\,\mu\mathrm{s},0).$$

輸出電壓波形由電容電流決定。

在小漣波近似下，

$$i_C\simeq i_L-I_o=i_L-45\,\mathrm{mA}, \qquad \frac{dv_o}{dt}=\frac{i_C}{C_{\mathrm{實}}}.$$

因此：

• $0$ 至 $0.5\,\mu\mathrm{s}$：$i_C<0$，輸出電壓下降。
• $0.5$ 至 $5.5\,\mu\mathrm{s}$：$i_C>0$，輸出電壓上升。
• $5.5$ 至 $10\,\mu\mathrm{s}$：$i_C<0$，輸出電壓下降。

故谷值發生於 $0.5\,\mu\mathrm{s}$，峰值發生於 $5.5\,\mu\mathrm{s}$；各段電壓曲線為拋物線。由正電容電流的三角形面積，

$$\Delta V_{o,\mathrm{pp}} \simeq \frac{\frac12(45\,\mathrm{mA})(5\,\mu\mathrm{s})}{C_{\mathrm{實}}} = \boxed{\frac{1.125\times10^{-7}\,\mathrm{C}}{C_{\mathrm{實}}}}.$$

若以時間平均輸出電壓 $1\,\mathrm{V}$ 為基準，積分電容電流並令電壓週期平均為 $1\,\mathrm{V}$，可得

$$V_{o,\max}\simeq 1\,\mathrm{V} +\frac{I_{L,\mathrm{pk}}T_s(1+D)}{24C_{\mathrm{實}}} = 1\,\mathrm{V}+\frac{4.125\times10^{-8}\,\mathrm{C}}{C_{\mathrm{實}}},$$