115 年國立臺灣大學電機工程研究所甲組《工程數學（C）》考古題與詳解

Question 1

(5%) The isometric knee-extension contraction in a standing posture is modeled as a one-dimensional system consisting of two point masses connected in series by two linear springs representing tendons. From bottom to top, the system comprises: the patellar tendon (spring constant $k1$), the patella (mass $m1$), the quadriceps tendon (spring constant $k2$), and the quadriceps muscle (mass $m2$). The lower end of the patellar tendon is attached to the tibia, which is assumed to remain stationary during the contraction. All motion is restricted to the vertical z-direction, with positive z defined upward. Let $z1(t)$ and $z2(t)$ denote the vertical displacement of mass $m1$ and $m2$, respectively, from their equilibrium positions. Assume the tendon mass is negligible, $k1 = 6$, $k2 = 4$, $m1 =…

Accepted Answer

核心觀念 - 兩質點串聯彈簧系統，可用 牛頓第二定律 直接寫出兩個質點的運動方程。 - 系統為 線性恆係數二階常微分方程組，可化為矩陣形式 $X''=AX$，其中 $X=(z1,z2)^T$。 - 求解此類方程的標準步驟：先找矩陣 $A$ 的 特徵值與 特徵向量，得到 自然頻率 $\omegai=\sqrt{-\lambdai}$（$\lambdai$ 為負特徵值），再利用 初始條件 求出模式振幅。 --- 解題方法 1. 寫出運動方程 - 下端固定，向上為正向。 - $k1$ 連接固定點與 $m1$，受力 $-k1z1$。 - $k2$ 連接 $m1$ 與 $m2$，相對伸長為 $z2-z1$，於 $m1$ 的力為 $+k2(z2-z1)$，於 $m2$ 的力為 $-k2(z2-z1)$。 因此 $$ \begin{aligned} m1\ddot z1 &= -k1z1+k2(z2-z1),\ m2\ddot z2 &= -k2(z2-z1). \end{aligned} $$ 代入 $k1=6,\;k2=4,\;m1=m2=1$，化簡得 $$ \begin{cases} \ddot z1 = -10z1+4z2,\[2pt] \ddot z2 = 4z1-4z2 . \end{cases} $$ 2. 矩陣形式 $$ X'' = AX,\qquad A=\begin{pmatrix}-10&4\4&-4\end{pmatrix}. $$ 3. 求特徵值 $$\det(A-\lambda I)=\lambda^{2}+14\lambda+24=0$$ $$\lambda{1,2}= -2,\ -12 .$$ 兩特徵值皆為負，對應自然頻率 $$\omega1=\sqrt{2},\qquad \omega2=\sqrt{12}=2\sqrt3 .$$ 4. 求特徵向量 - $\lambda1=-2$：解 $(A+2I)v=0$，得到 $v^{(1)}=(1,\,2)^T$. - $\lambda2=-12$：解 $(A+12I)v=0$，得到 $v^{(2)}=(-2,\,1)^T$。 5. 寫出通解 $$ X(t)=\bigl(A1\cos\omega1t+B1\sin\omega1t\bigr)v^{(1)} +\bigl(A2\cos\omega2t+B2\sin\omega2t\bigr)v^{(2)} . $$ 直接寫出分量： $$ \begin{aligned} z1(t)&= A1\cos\omega1t+B1\sin\omega1t -2\Bigl(A2\cos\omega2t+B2\sin\omega2t\Bigr),\ z2(t)&= 2\Bigl(A1\cos\omega1t+B1\sin\omega1t\Bigr) +\Big…

Question 2

(5%) Consider a cell migrating on a deformable substrate lying in the x-y plane. The cell is initially located at the origin $(0, 0)$ . There are three markers, $a_1$ , $a_2$ , and $a_3$ , embedded in the substrate at initial positions $a_1 = (0,0)$ , $a_2 = (0,1)$ , and $a_3 = (1,0)$ . Following cell-induced deformation, the marker positions become $a_1 = (0,0)$ , $a_2 = (0.5, 2.5)$ , and $a_3 = (2.5, 0.5)$ . Let $F$ denote the deformation gradient. The principal directions and magnitudes of the substrate deformation can be determined by solving the following eigenvalue problem:

$e = \frac{1}{2}(F^T F - I) = \begin{bmatrix} 2.75 & 1.25 \\ 1.25 & 2.75 \end{bmatrix}, \quad F = \begin{bmatrix} 2.5 & 0.5 \\ 0.5 & 2.5 \end{bmatrix}$

Which of the following statements are true?

(A) The maximum principal deformation magnitude is 4.

(B) The maximum principal deformation magnitude is 1.5.

(C) The eigenvector corresponding to the direction of maximum principal deformation is proportional to $[1, 1]$ .

(D) The eigenvector corresponding to the direction of maximum principal deformation is proportional to $[1, -1]$ .

(E) None of above.

Accepted Answer

核心觀念 - 變形梯度 $F$：描述從原始座標到變形後座標的線性映射。 - 右Cauchy‑Green張量 $C = F^{T}F$：用於測量材料的伸長與旋轉，與純旋轉無關。 - 綠–拉格朗日應變張量 $$e=\frac12\left(C-Iight)=\frac12\left(F^{T}F-Iight)$$ 它的特徵值就是主應變（principal strain）的大小，特徵向量則是相應的主方向。 解題方法 1. 計算右Cauchy‑Green張量 $$ C = F^{T}F = \begin{bmatrix}2.5 & 0.5\ 0.5 & 2.5\end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix}2.5 & 0.5\ 0.5 & 2.5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6.5 & 2.5\ 2.5 & 6.5\end{bmatrix} $$ 2. 求取綠–拉格朗日應變張量（題目已給） $$ e=\frac12(C-I) =\frac12\begin{bmatrix}6.5-1 & 2.5\ 2.5 & 6.5-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}2.75 & 1.25\ 1.25 & 2.75\end{bmatrix} $$ 3. 求特徵值與特徵向量 對稱矩陣 $$e=\begin{bmatrix}a & b\ b & a\end{bmatrix},\qquad a=2.75,\;b=1.25$$ 特徵值公式 $$\lambda{1,2}=a\pm b$$ 因此 $$ \lambda{\max}=a+b=2.75+1.25=4.0,\qquad \lambda{\min}=a-b=2.75-1.25=1.5 $$ - 對 $\lambda{\max}=4$ 的特徵向量 $$ (e-4I)v=0\;\Rightarrow\; \begin{bmatrix}-1.25 & 1.25\ 1.25 & -1.25\end{bmatrix}v=0 $$ 結果得到 $v\propto[1,\,1]^{T}$。

Question 3

(5%) A scientist investigates how M2 macrophages induce the conversion of adjacent M1 macrophages via cytokine-mediated crosstalk. The system is modeled as a spherical aggregate containing 1,000 M1 macrophages. On day 0, a single M1 macrophage is converted into an M2 macrophage. Assume that the conversion rate is proportional to both the number of already converted macrophages and the number of remaining unconverted macrophages. If approximately 120 macrophages have been converted by day 5, which of the following is the closest to the earliest day on which nearly all macrophages in the aggregate are converted?

(A) Day 7

(B) Day 11

(C) Day 17

(D) Day 24

(E) None of above.

Accepted Answer

核心觀念 本題屬於指數增長（logistic growth）的簡化模型。 - 轉換率與已轉換的 M2 數量 $M(t)$ 與未轉換的 M1 數量 $N-M(t)$ 成正比（$N=1000$ 為總細胞數）。 - 可寫成常微分方程 $$\frac{dM}{dt}=k\,M\,(N-M),$$ 其中 $k0$ 為比例常數。此為 Logistic 方程的特例（無環境容納上限），其解會呈 S 型快速逼近 $N$。 解題方法 1. 求解微分方程 $$ \frac{dM}{dt}=kM(N-M) \Longrightarrow \frac{dM}{M(N-M)}=k\,dt . $$ 兩邊積分（部分分式） $$\int\!\Big(\frac1M+\frac1{N-M}\Big)\,dM = kN\int dt .$$ 得 $$\ln\!\frac{M}{N-M}=kN\,t + C .$$ 初始條件：$t=0$ 時 $M(0)=1$，故 $$\ln\!\frac{1}{N-1}=C .$$ 整理得到 $$\frac{M}{N-M}= \frac{1}{N-1}\,e^{kN t}.$$ 解出 $M(t)$： $$M(t)=\frac{N}{1+(N-1)\,e^{-kN t}} .$$ 2. 利用已知資訊求 $k$ 已知 $t=5$ 天時 $M(5)\approx120$，代入 $N=1000$： $$120=\frac{1000}{1+999\,e^{-1000k\cdot5}} .$$ 兩邊倒數得 $$ \frac1{120}= \frac{1+999\,e^{-5000k}}{1000} \Longrightarrow 1+999\,e^{-5000k}= \frac{1000}{120}= \frac{25}{3}\approx8.3333 . $$ 因此 $$ 999\,e^{-5000k}=8.3333-1=7.3333 \Longrightarrow e^{-5000k}= \frac{7.3333}{999}\approx0.00734 . $$ 取自然對數 $$ -5000k=\ln(0.00734)\approx -4.916 \Longrightarrow k\approx\frac{4.916}{5000}=9.83	imes10^{-4}\;(	ext{day}^{-1}) . $$ 3. 求「幾乎全部」轉換的時間 「幾乎全部」通常指 $M(t)\ge 0.99N$（即 99%）。設 $M(t)=0.99N=990$：

Question 4

(5%) Given the initial value problem $y' = x^2 y^{1/3}$ , $y(0) = 1$ , which of the following statements are true?

(A) The differential equation admits infinitely many solutions.

(B) $y < x$ for all $x \in (0,1)$ .

(C) $y \gg x$ for $x > 1$ .

(D) $y \simeq 1$ as $x \to -\infty$ .

(E) None of above.

Accepted Answer

核心觀念 - 可分離常微分方程：若方程可寫成 $\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)$，可將變數分離後積分。 - 局部利普希茲 (Lipschitz) 條件：若右側 $f(x,y)$ 在初始點的某鄰域內對 $y$ 為利普希茲，則解唯一。 - 解的延伸與實值域：對於含有根號的顯式解，需要檢查內部表達式的正負，以確保解在實數上有定義。 --- 解題方法 1. 分離變數 $$ y' = x^{2}\,y^{1/3}\quad\Longrightarrow\quad y^{-1/3}\,dy = x^{2}\,dx . $$ 2. 積分 $$ \int y^{-1/3}\,dy = \int x^{2}\,dx \;\Longrightarrow\; \frac{3}{2}y^{2/3}= \frac{x^{3}}{3}+C . $$ 3. 整理 $$y^{2/3}= \frac{2}{9}x^{3}+C',\qquad C'=\frac{2}{3}C .$$ 4. 代入初始條件 $y(0)=1$ $$1^{2/3}=C' \;\Longrightarrow\; C'=1 .$$ 5. 得到顯式解 $$ y^{2/3}=1+\frac{2}{9}x^{3} \;\Longrightarrow\; \boxed{\,y(x)=\Bigl(1+\frac{2}{9}x^{3}\Bigr)^{\!3/2}\,}. $$ 6. 實值域檢查 必須保證括號內非負： $$ 1+\frac{2}{9}x^{3}\ge 0\;\Longrightarrow\; x\ge -\Bigl(\frac{9}{2}\Bigr)^{1/3}\approx-1.65 . $$ 因此解在 $\displaystyle x\ge -\bigl(	frac92\bigr)^{1/3}$ 上為實數；在更左側沒有實值解。 7. 唯一性判斷 在包含點 $(0,1)$ 的鄰域內，$y0$，因此 $$f(x,y)=x^{2}y^{1/3}$$ 對 $y$ 的偏導數 $\partial f/\partial y=\frac13x^{2}y^{-2/3}$ 有界，滿足局部利普希茲條件。 故 該初值問題的解唯一。 --- 選項分析

Question 5

(5%) The mechanical behavior of human tissue can be modeled using the Kelvin-Voigt model, which consists of a linear spring with elastic modulus $E$ connected in parallel with a dashpot with viscosity of $\eta$ . The governing constitutive equation is

$\sigma(t) = E\varepsilon(t) + \eta\frac{d\varepsilon(t)}{dt}, \quad \varepsilon(0) = 0,$

where $\sigma$ , $\varepsilon$ represents the applied stress and the resulting strain, respectively. Assume a constant stress $\sigma_1$ is applied for $0 \le t \le 10$ , after which the stress is removed. Which of the following statements are true?

(A) $\varepsilon$ remains constant for $0 \le t \le 10$ .

(B) $\varepsilon = 0$ for $t > 10$ .

(C) $\varepsilon$ reaches its maximum at $t = 0$ and then decreases gradually.

(D) $\varepsilon$ reaches its maximum at $t = 10$ and then decreases gradually.

(E) None of above.

Accepted Answer

核心觀念 - Kelvin‑Voigt模型：彈簧（彈性模數 $E$）與黏滯阻尼器（黏度 $\eta$）並聯，應力–應變關係為 $$\sigma(t)=E\varepsilon(t)+\eta\frac{d\varepsilon(t)}{dt},\qquad \varepsilon(0)=0.$$ - 線性常微分方程：對給定的應力函數 $\sigma(t)$，上式是一階線性常微分方程，可用積分因子或拉普拉斯變換求解。 - 階躍載荷（step load）：本題的應力在 $0\le t\le10$ 為常數 $\sigma1$，之後瞬間變為 $0$，屬於分段常數載荷。 --- 解題方法 1. $0\le t\le10$（施加恆定應力 $\sigma1$） 方程化為 $$ \eta\frac{d\varepsilon}{dt}+E\varepsilon=\sigma1 \;\Longrightarrow\; \frac{d\varepsilon}{dt}+\frac{E}{\eta}\varepsilon=\frac{\sigma1}{\eta}. $$ 設 $\lambda:=\dfrac{E}{\eta}0$，使用積分因子 $e^{\lambda t}$： $$\frac{d}{dt}\bigl(e^{\lambda t}\varepsilon\bigr)=\frac{\sigma1}{\eta}e^{\lambda t}.$$ 積分（考慮 $\varepsilon(0)=0$）得 $$ e^{\lambda t}\varepsilon(t)=\frac{\sigma1}{\eta}\frac{e^{\lambda t}-1}{\lambda} \;\Longrightarrow\; \boxed{\displaystyle \varepsilon(t)=\frac{\sigma1}{E}\Bigl(1-e^{-\lambda t}\Bigr) } \qquad(0\le t\le10). $$ 性質： - $\varepsilon(0)=0$。 - $\varepsilon(t)$ 為單調遞增函數，因 $1-e^{-\lambda t}$ 隨 $t$ 增大而增大。 - 隨 $t	o\infty$，$\varepsilon(t)	o\sigma1/E$（彈性極限），但在 $t=10$ 時仍未必達到此極限。 2. $t10$（應力瞬間去除，$\sigma(t)=0$） 此時方程變為齊次形式 $$ \eta\frac{d\varepsilon}{dt}+E\varepsilon=0 \;\Longrightarrow\; \frac{d\varepsilon}{dt}+\lambda\varepsilon=0. $$ 解得

Question 6

(5%) A new drug with a molecular weight of $199.1\ 	ext{g mol}^{-1}$ is delivered using a square transdermal patch of dimensions $51\ 	ext{mm} 	imes 51\ 	ext{mm}$ and thickness $2\ 	ext{mm}$. The patch initially contains $700\ 	ext{mg}$ of the drug. The patch is applied to a region of skin with an average thickness of $650\ 	ext{nm}$. Owing to a dense capillary network in this region, any drug that crosses the skin is immediately removed by the circulatory system, maintaining a negligible drug concentration at the inner skin boundary. Let $x$ denote the coordinate normal to the skin surface, with $x = 0$ at the outmost surface of the skin. Assume the drug flux does not change as the concentration of drug in the patch decreases; the drug concentration varies only along the x-directio…

Accepted Answer

核心觀念 - Fick 第一定律：在恆態擴散時，通量 $$J=-D\frac{dc}{dx}$$ 其中 $D$ 為擴散係數，$c(x)$ 為濃度場。 - 恆態濃度分佈：若兩端濃度固定且無內部產生或消耗，$c(x)$ 為線性函數。 - 單位換算： - $1\ 	ext{mm}=0.1\ 	ext{cm}$，$1\ 	ext{nm}=10^{-7}\ 	ext{cm}$。 - $c=\frac{	ext{質量}}{	ext{體積}	imes	ext{分子量}}$（${m mol\;cm^{-3}}$）。 --- 解題方法與關鍵計算 1. 幾何與初始濃度 - 皮膚貼片尺寸：$51\ 	ext{mm}=5.1\ 	ext{cm}$，面積 $$A=(5.1\ 	ext{cm})^2=26.01\ 	ext{cm}^2.$$ - 厚度 $2\ 	ext{mm}=0.2\ 	ext{cm}$，體積 $$V=A	imes0.2\ 	ext{cm}=5.202\ 	ext{cm}^3.$$ - 藥物質量 $700\ 	ext{mg}=0.7\ 	ext{g}$，分子量 $M=199.1\ 	ext{g mol}^{-1}$ $$n{	ext{total}}=\frac{0.7}{199.1}=3.52	imes10^{-3}\ {m mol}.$$ - 貼片內藥物濃度（假設均勻分布） $$ cs=\frac{0.7\ {m g}}{5.202\ {m cm}^3\cdot199.1\ {m g\,mol^{-1}}} =6.8	imes10^{-4}\ {m mol\;cm^{-3}}. $$ 2. 皮膚厚度與濃度梯度 - 皮膚平均厚度 $650\ 	ext{nm}=6.5	imes10^{-5}\ 	ext{cm}$。 - 內側濃度近似為 $0$（毛細血管快速清除），因此 $$ \frac{dc}{dx}\approx\frac{cs-0}{6.5	imes10^{-5}\ 	ext{cm}} =\frac{6.8	imes10^{-4}}{6.5	imes10^{-5}} =1.05	imes10^{1}\ {m cm^{-1}}. $$ 3. 恆態通量 利用 Fick 第一定律 $$ J = -D\frac{dc}{dx}=D\frac{cs}{\Delta x} =6.9	imes10^{-9}	imes\frac{6.8	imes10^{-4}}{6.5	imes10^{-5}} =7.2	imes10^{-8}\ {m mol\;cm^{-2}\;s^{-1}}. $$ 與選項 (B) 的 $7	imes10^{-8}$ 相符。 4. 藥物釋放速率與累積釋放量…

Question 7

(5%) Consider the 2nd order differential equation $y'' = 2x(y')^2$ , which of the following statements are true?

(A) $y' \to 0$ as $x \to \infty$ .

(B) $y'(a) = y'(-a)$ for all $a \in (-1, 1)$ .

(C) $y(1) = y(-1)$ .

(D) $y \to \infty$ as $x \to \infty$ .

(E) None of above.

Accepted Answer

核心觀念 - 本題考查 二階常微分方程 的求解與解的性質判斷。 - 觀念包括：把二階 ODE 轉為一階 ODE（設 $p=y'$），變數分離，以及 積分常數 的影響。 - 需了解 $y'$ 的符號與奇偶性對於 $y$ 的對稱性、漸進行為的關係。 --- 解題方法 1. 降階 設 $p(x)=y'(x)$，則 $$p'(x)=y''(x)=2x\big(p(x)\big)^2 .$$ 2. 變數分離 $$\frac{dp}{p^{2}}=2x\,dx .$$ 兩邊積分得到 $$ -\frac1{p}=x^{2}+C{1}\qquad\Longrightarrow\qquad p(x)=y'(x)=-\frac{1}{x^{2}+C{1}} . $$ 3. 積分得到 $y$ - 若 $C{1}0$，寫 $C{1}=a^{2}$，則 $$ y(x)=\int -\frac{1}{x^{2}+a^{2}}dx =-\frac1{a}\arctan\!\frac{x}{a}+C{2}. $$ - 若 $C{1}=0$，則 $$ y(x)=\int -\frac{1}{x^{2}}dx =\frac{1}{x}+C{2}. $$ - 若 $C{1}<0$，寫 $C{1}=-a^{2}$，則 $$ y(x)=\int -\frac{1}{x^{2}-a^{2}}dx =\frac{1}{2a}\ln\Bigl|\frac{x-a}{\,x+a\,}\Bigr|+C{2}. $$ 以上皆為完整的通解，$C{1},C{2}$ 為任意實常數。 --- 選項分析 | 選項 | 判斷 | 推導與說明 | |------|------|------------| | (A) $y' 	o 0$ as $x 	o \infty$ | 正確 | $y'=-\dfrac{1}{x^{2}+C{1}}$，分母隨 $x	o\infty$ 趨於無限，故 $y'	o0$，此性質與常數 $C{1}$ 無關。 |

Question 8

(5%) Which of the following plane autonomous systems have infinite critical points?

(A) $\dot{x} = -xy + 3y,\ \dot{y} = x + 3y$ .

(B) $\dot{x} = -x^2 + 4y^2,\ \dot{y} = x^2 - 4y^2$ .

(C) $\dot{x} = x^2 - xy + 6,\ \dot{y} = x^2 + x$ .

(D) $\dot{x} = x^2 - xy + 12x,\ \dot{y} = y^2 - x + 4y$ .

(E) None of above.

Accepted Answer

核心觀念 平面自治系統的臨界點（critical point）（亦稱平衡點、靜止點）是使系統右側同時為零的點，即 $$\dot x =0,\qquad \dot y =0 .$$ 判斷「是否有無限多個臨界點」只需檢查解集合是否為有限個離散點，或是一條（多條）曲線、平面上的區域等無窮集合。對每個選項，將兩個方程聯立求解即可。 --- 解題方法 1. 取每個選項的右側函數，寫出聯立方程式 $\dot x=0,\ \dot y=0$。 2. 盡可能化簡，找出所有可能的解集。 - 若得到 代數方程的唯一或有限個解（例如點），則該系統僅有有限臨界點。 - 若化簡後留下 自由變數（如$x=2y$），則解集合為一條直線或曲線，因而有無限多個臨界點。 3. 逐一檢視四個選項，最後比較得出正確答案。 --- 選項分析 (A) $\displaystyle \dot x=-xy+3y,\qquad \dot y=x+3y$ 設定 $\dot x=\dot y=0$： $$ \begin{cases} y(-x+3)=0,\[2mm] x+3y=0 . \end{cases} $$ - 情形 1：$y=0$ → 由第二式得 $x=0$。得到點 $(0,0)$。 - 情形 2：$-x+3=0$ 即 $x=3$ → 代入第二式得 $3+3y=0\Rightarrow y=-1$。得到點 $(3,-1)$。 只有上述兩個離散點，臨界點數目有限，故 (A) 不符合。 --- (B) $\displaystyle \dot x=-x^{2}+4y^{2},\qquad \dot y=x^{2}-4y^{2}$ 設定為零得到 $$ \begin{cases} -x^{2}+4y^{2}=0,\[2mm] x^{2}-4y^{2}=0 . \end{cases} $$ 兩式互為相反式，實際上只剩下 $$x^{2}=4y^{2}\quad\Longrightarrow\quad x=2y\ \text{或}\ x=-2y .$$ $y$ 為任意實數，故解集合為兩條直線 $$\{(2y,\,y)\mid y\in\mathbb R\}\;\cup\;\{(-2y,\,y)\mid y\in\mathbb R\},$$ 即無限多個臨界點。 因此 (B) 符合。 ---

Question 9

(5%) A microfluidic channel is used to study T-cell chemotaxis. A T cell is initially located at the midpoint of a $100\ \mu\text{m}$ -long channel and is approximated as a sphere of diameter $10\ \mu\text{m}$ . The concentration of a chemoattractant X is maintained at steady state, with $c = 1\ \mu\text{M}$ at the front end of the channel and $c = 0$ at the back end. Assume one-dimensional steady-state diffusion. All experiments are conducted at $T = 300\ \text{K}$ . The diffusion constant of X in water is $2.2 \times 10^{-6}\ \text{m}^2\ \text{s}^{-1}$ . What is the concentration difference experienced between the front and back of the cell?

(A) $0.01\ \mu\text{M}$ .

(B) $0.005\ \mu\text{M}$ .

(C) $0.1\ \mu\text{M}$ .

(D) $0.23\ \mu\text{M}$ .

(E) None of above.

Accepted Answer

核心觀念 - 一維穩態擴散：在無源、恆定條件下，濃度隨位置 $x$ 的分佈遵守拉普拉斯方程 $\displaystyle \frac{d^{2}c}{dx^{2}}=0$，其解為線性函數。 - 濃度梯度：若兩端濃度已知，梯度 $dc/dx$ 為兩端濃度差除以通道長度。 - 細胞尺寸效應：細胞被視為直徑 $d=10\ \mu	ext{m}$ 的球體，要求的是細胞前後兩側（相距 $d$）所感受到的濃度差。 解題方法 1. 設通道長度 $L=100\ \mu	ext{m}=1.0	imes10^{-4}\ 	ext{m}$。 2. 前端（$x=0$）濃度 $c{	ext{front}}=1\ \mu	ext{M}$，後端（$x=L$）濃度 $c{	ext{back}}=0$。 3. 由 $\displaystyle \frac{d^{2}c}{dx^{2}}=0$ 得到線性分佈 $$ c(x)=c{	ext{front}}-\frac{c{	ext{front}}-c{	ext{back}}}{L}\,x =1\ \mu	ext{M}\left(1-\frac{x}{L}ight). $$ 4. 細胞位於通道中點 $x0=L/2$，球體直徑 $d=10\ \mu	ext{m}=1.0	imes10^{-5}\ 	ext{m}$。 細胞前側位置：約 $x{	ext{front}}=x0-\frac{d}{2}= \frac{L}{2}-\frac{d}{2}$。 細胞後側位置：約 $x{	ext{back}}=x0+\frac{d}{2}= \frac{L}{2}+\frac{d}{2}$。 5. 計算兩側的濃度差

Question 10

(5%) Given the linear system $\dot{x} = 2x + 8y$ , $\dot{y} = -x - 2y$ , $x(0) = 2$ , $y(0) = 0$ . Which of the following statements are true?

(A) The solution $x(t)$ is periodic.

(B) $x(t) = 2e^t\cos t$ .

(C) $y(t) = -\cos 2t + \cos t$ .

(D) The system possesses infinitely many solutions for $x(t)$ and $y(t)$ .

(E) None of above.

Accepted Answer

核心觀念 - 常係數線性微分系統 $\dot{X}=AX$（$X=(x,y)^{T}$）的解可由矩陣 $A$ 的特徵值與特徵向量決定。 - 若特徵值為純虛數 $\lambda =\pm i\omega$（$\omega0$），則解為 週期函數，形式為 $\cos(\omega t)$、$\sin(\omega t)$ 的線性組合，無指數增減因子。 - 常係數系統在給定初值時，根據 Picard–Lindelöf 定理保證唯一解。 --- 解題方法 1. 寫成矩陣形式 $$ \dot{X}=AX,\qquad A=\begin{pmatrix}2&8\-1&-2\end{pmatrix}. $$ 2. 求特徵值 $$ \det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}2-\lambda&8\-1&-2-\lambda\end{vmatrix} =(2-\lambda)(-2-\lambda)+8 =\lambda^{2}+4=0. $$ 因此 $$\lambda{1,2}= \pm 2i .$$ 3. 求 $x(t)$：可直接將系統化為二階方程。由 $\dot{x}=2x+8y$ 得 $$y=\frac{\dot{x}-2x}{8},$$ 再代入 $\dot{y}=-x-2y$，化簡得到 $$\ddot{x}+4x=0 .$$ 此二階常係數 ODE 的通解 $$x(t)=C{1}\cos 2t+C{2}\sin 2t .$$ 4. 利用初值確定常數 $$x(0)=2\;\Rightarrow\;C{1}=2.$$ $$ \dot{x}(0)=2x(0)+8y(0)=4\;\Rightarrow\; \dot{x}(t)=-2C{1}\sin 2t+2C{2}\cos 2t,\quad \dot{x}(0)=2C{2}=4\;\Rightarrow\;C{2}=2. $$ 故 $$\boxed{x(t)=2\cos 2t+2\sin 2t=2\bigl(\cos 2t+\sin 2t\bigr)} .$$

Question 11

(7%) Let $P$ be an $m 	imes m$ matrix, $Q$ be an $n 	imes n$ matrix, $A$ be an $m 	imes n$ matrix, and $B$ be an $n 	imes p$ matrix. Which of the following statements are true? (A) $	ext{Null}\,A \subseteq 	ext{Null}\,PA$. (B) If $Q$ is invertible, then $	ext{Null}\,AQ = 	ext{Null}\,A$. (C) $	ext{Col}\,AB \subseteq 	ext{Col}\,A$. (D) $	ext{Null}\,AB = 	ext{Null}\,B$. (E) The rank of $AB$ is less than or equal to the rank of $A$.

Accepted Answer

核心觀念 - Null 空間 (核)：$\operatorname{Null}(M)=\{x\mid Mx=0\}$。若 $x\in\operatorname{Null}(A)$，則 $Ax=0$。 - Column 空間 (列空間)：$\operatorname{Col}(M)=\{My\mid y	ext{ 為任意向量}\}$，即 $M$ 的所有列向量所張成的子空間。 - 秩 (rank)：$\operatorname{rank}(M)$ 為 $\operatorname{Col}(M)$ 的維度，亦等於 $\operatorname{Null}(M)^{\perp}$ 的維度。 - 乘法與子空間的包含：若 $M1$、$M2$ 為任意矩陣，則 $$ \operatorname{Null}(M2)\subseteq\operatorname{Null}(M1M2)\quad	ext{且}\quad \operatorname{Col}(M1M2)\subseteq\operatorname{Col}(M1). $$ 前者因 $M1M2x=0$ 只要 $M2x=0$ 就必然成立；後者因 $M1M2y = M1 (M2y)$，結果必屬於 $M1$ 的列空間。 - 可逆矩陣的性質：若 $Q$ 可逆，則 $Qx=0\iff x=0$，且左乘或右乘可逆矩陣不改變向量的零化條件。 --- 解題方法 逐一檢視每個選項之敘述，利用上述定義與性質直接驗證包含關係或等式是否必然成立。若涉及「等於」的敘述，須提供反例證明其不一定成立；若涉及「包含」或「≤」的敘述，則以一般性證明或已知定理說明其必然成立。 --- 選項分析 (A) $\operatorname{Null}A\subseteq\operatorname{Null}PA$ - 任取 $x\in\operatorname{Null}A$，則 $Ax=0$。左乘任意 $m	imes m$ 矩陣 $P$，得到 $PAx = P0 = 0$。故 $x\in\operatorname{Null}(PA)$。 - 因此 (A) 為真。此結論不需 $P$ 為可逆，對所有 $P$ 均成立。 (B) 若 $Q$ 可逆，則 $\operatorname{Null}AQ = \operatorname{Null}A$ - 右乘可逆矩陣 $Q$：若 $x\in\operatorname{Null}A$，則 $Ax=0\Rightarrow AQx = A(Qx)=0$，所以 $Qx\in\operatorname{Null}AQ$。但要比較的是 $x$ 本身是否在 $\operatorname{Null}AQ$。 - 令 $y=Qx$，則 $x=Q^{-1}y$。若 $y\in\operatorname{Null}AQ$，則 $AQy…

Question 12

(7%) Let $$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \ 0 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad S = \left\{ \begin{bmatrix} -3 \ -2 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2 \ -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3 \ -2 \ 1 \ 2 \end{bmatrix} ight\}.$$ Which of the following statements are true? (A) Let $TA$ be the linear transformation induced by $A$. $TA$ is one-to-one. (B) $TA$ is onto. (C) The dimension of the range of $T{A^T} = 2$. (D) $	ext{Null}\,A = 	ext{Span}\,S$. (E) Let $\mathcal{B}1$ be any basis for the range of $T{A^T}$ and $\mathcal{B}2$ be any basis for $	ext{Span}\,S$. Then $\mathcal{B}1 \cup \mathcal{B}2$ constitutes a basis for $\mathbb{R}^4$.

Accepted Answer

核心觀念 - 線性變換 $TA:\mathbb R^4\to\mathbb R^2$ 由矩陣 $A$ 所誘導。 - 一對一（injective） ⇔ $\operatorname{Null}A=\{\mathbf 0\}$。 - 滿射（surjective） ⇔ $\operatorname{Range}TA=\mathbb R^2$，即 $\operatorname{rank}A=2$。 - 秩‑零度定理：$\operatorname{rank}A+\operatorname{nullity}A=n$（$n$ 為自變量的個數）。 - $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A^T$。 - 子空間的基底之維度即該子空間的維度。 - 若兩子空間 $U,V\subset\mathbb R^4$，則 $\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V)$。 --- 解題方法 1. 計算矩陣 $A$ 的秩 $$ A=\begin{bmatrix} 1&0&1&2\[2pt] 0&1&1&1 \end{bmatrix} $$ 兩列不成比例，故 $\operatorname{rank}A=2$。 2. 求零空間 $\operatorname{Null}A$ 解 $A\mathbf x=\mathbf 0$： $$ \begin{cases} x1+x3+2x4=0\ x2+x3+x4=0 \end{cases} $$ 以自由變數 $x3=t,\;x4=s$，得 $$ \mathbf x= \begin{bmatrix} -t-2s\[2pt] -t-s\[2pt] t\[2pt] s \end{bmatrix} =t\begin{bmatrix}-1\-1\1\0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix}-2\-1\0\1\end{bmatrix}. $$ 因此 $$ \operatorname{Null}A=\operatorname{Span}\!\left\{ \begin{bmatrix}-1\-1\1\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2\-1\0\1\end{bmatrix} \right\},\qquad\dim\operatorname{Null}A=2. $$ 3. $A^T$ 的範圍 $\operatorname{rank}A^T=\operatorname{rank}A=2$，故 $$\dim\bigl(\operatorname{Range}T{A^T}\bigr)=2.$$ 4. 檢驗集合 $S$ $$ S=\Bigl\{ \mathbf v1=\begin{bmatrix}-3\-2\1\1…

Question 13

(7%) For every $5 	imes 5$ matrix $A$, if $	ext{Dim}(	ext{Col}\,A^T) = 3$, then the multiplicity of the eigenvalue $\lambda = 0$ of $A$ (A) must be 2. (B) must be 3. (C) can be either 0, 1, or 2. (D) can be either 3, 4, or 5. (E) can be either 2, 3, 4, or 5.

Accepted Answer

核心觀念 - $\operatorname{Col}A^{T}$ 的維度即為 $A^{T}$ 的列空間維度，也等於 $A$ 的行秩 $\operatorname{rank}(A)$。 - $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n$（Rank–Nullity 定理），其中 $n$ 為矩陣的列數。 - $\lambda =0$ 的幾何重數＝$\dim\ker A$（零特徵空間的維度），代數重數是特徵多項式中 $(\lambda)^m$ 的指數 $m$。 - 若 $A$ 的 Jordan 正規形中對 $\lambda =0$ 有 $k$ 個 Jordan 塊，則幾何重數 $=k$，而代數重數 $= $ 各塊大小之和。 - 單一 $J{r}(0)$（大小為 $r$ 的零 Jordan 塊）的秩為 $r-1$，因此所有零 Jordan 塊的秩為 $$\sum (ri-1)=\bigl(\sum ri\bigr)-k=m-k.$$ 故 $\operatorname{rank}(A)=n-(	ext{零特徵值的塊數})=n-k$。 --- 解題方法 1. 由題意 $$\dim(\operatorname{Col}A^{T})=3 \Longrightarrow \operatorname{rank}(A)=3.$$ 2. 由 Rank–Nullity $$\operatorname{nullity}(A)=5-\operatorname{rank}(A)=5-3=2.$$ 因此 $\lambda =0$ 的幾何重數 $=2$（零空間有兩個獨立基底向量）。 3. 令 $k$ 為零 Jordan 塊的個數，則 $k=$ 幾何重數 $=2$。 4. 设这两个 Jordan 塊的大小分别为 $r1,r2\;(ri\ge1)$，則代數重數 $$m=r1+r2.$$ 由于矩阵總階 $5$，必有 $r1+r2\le5$，且最小情形 $r1=r2=1$，得到 $m{\min}=2$。

Question 14

(7%) Which of the following subsets are subspaces?

(A) $S_A = \{(u_1, u_2) \in \mathbb{R}^2 \mid 2u_1^2 + 3u_2^2 \le 12\}$ .

(B) $S_B = \{x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = 0 \text{ for all rank-1 real matrices } A \text{ of compatible size}\}$ .

(C) $S_C = \{x \in \mathbb{R}^n \mid x^T Ax = 0 \text{ for all real symmetric matrices } A\}$ .

(D) $S_D = \{x \in \mathbb{R}^n \mid Ax = b\}$ , where $A$ is a fixed real matrix and $b$ is a fixed nonzero vector.

(E) $S_E = \text{Span}\,U \cup \text{Span}\,V$ , where $U, V \subset \mathbb{R}^n$ are linearly independent sets.

Accepted Answer

核心觀念 - 向量子空間（subspace）的定義：若 $S\subset\mathbb R^n$ 滿足 1. $0\in S$（包含零向量）， 2. 若 $x,y\in S$，則 $x+y\in S$（加法閉合）， 3. 若 $c\in\mathbb R$，則 $c x\in S$（純量乘法閉合）， 則 $S$ 為 $\mathbb R^n$ 的子空間。 - 判斷時常先測試零向量是否在集合內，接著檢查封閉性。 - 若條件要求「對所有 …」的矩陣成立，可利用 特別選擇矩陣（如秩 1、對稱、$xx^T$）來萃取必要條件。 --- 解題方法 對每個選項，以零向量、純量乘法、向量加法三條件逐一驗證。 - 若條件直接導出只能是 $\{0\}$，則必為子空間（零子空間）。 - 若條件涉及不等式或仿射方程式，檢查是否違反純量乘法或加法閉合。 - 對涉及「所有矩陣」的情形，挑選具代表性的矩陣把條件簡化為對 $x$ 的直接限制。 --- 選項分析 (A) $SA = \{(u1,u2)\in\mathbb R^2\mid 2u1^2+3u2^2\le12\}$ 1. 零向量：$(0,0)$ 滿足 $0\le12$，在集合內。 2. 純量乘法：取任意 $(u1,u2)\in SA$，令 $c
eq0$，則 $$2(cu1)^2+3(cu2)^2 = c^2\bigl(2u1^2+3u2^2\bigr).$$ 若 $|c|1$，右側會大於 $12$，故 $c(u1,u2)
otin SA$。 不滿足純量閉合。 3. 結論：$SA$ 不是子空間。 --- (B) $SB = \{x\in\mathbb R^n\mid Ax=0	ext{ for all rank‑1 矩陣 }A\}$ 任取秩 1 矩陣 $A=uv^{\!T}$（$u\in\mathbb R^m$, $v\in\mathbb R^n$），則 $$Ax = uv^{\!T}x = u\,(v^{\!T}x)=0.$$ 因 $u$ 任意，唯一能保證此等式的方式是 $v^{\!T}x=0$ 對所有 $v$ 成立，亦即 $x$ 與所有向量正交，唯一解為 $x=0$。 1. 零向量：顯然在集合內。 2. 純量與加法：集合僅含 $0$，自動滿足閉合性。 3. 結論：$SB=\{0\}$，為子空間（零子空間）。 ---

Question 15

(7%) Which of the following statements are true? (A) Let $P$ be an orthogonal projection matrix. Then $	ext{Null}\,P = 	ext{Col}(I - P)$. (B) Let $C$ be a real matrix whose columns form a linearly independent set of vectors in $\mathbb{R}^n$, and define $P = C(C^T C)^{-1} C^T$. Then $	ext{Col}\,P = 	ext{Col}\,C$ and $	ext{Null}\,P = (	ext{Col}\,C)^\perp$. (C) Let $A$ be a real matrix. If there exists an orthogonal matrix $Q$ such that $Q^T AQ$ is diagonal, then $A = A^T$. (D) Let $A$ be a real symmetric matrix. If $v1, \ldots, vk$ are linearly independent eigenvectors of $A$, then $vi \perp vj$ for all $i 
e j$. (E) Let $A$ be a real matrix that is diagonalizable and has only real eigenvalues. Then $A$ is similar to a symmetric matrix.

Accepted Answer

核心觀念 1. 正交投影矩陣 (orthogonal projection)：若 $P$ 為正交投影，則 $P=P^T=P^2$，且 $\operatorname{Col}(P)\perp \operatorname{Null}(P)$。 2. 投影矩陣的構造：對於線性獨立的矩陣 $C\in\mathbb R^{n	imes m}$，投影到 $\operatorname{Col}(C)$ 的矩陣為 $P=C(C^TC)^{-1}C^T$。此投影同樣滿足 $P^2=P,\;P^T=P$。 3. 正交相似 (orthogonal similarity)：若存在正交矩陣 $Q$ 使 $Q^TAQ$ 為對角矩陣，則 $A$ 必為對稱矩陣；反之，對稱矩陣皆能正交相似於對角矩陣（Spectral Theorem）。 4. 對稱矩陣的特徵向量正交性：對稱矩陣的不同特徵值所對應的特徵空間正交；若特徵值相同，仍可取一組正交基底（Gram‑Schmidt）。 5. 實對角化與相似對稱：若 $A$ 可對角化且所有特徵值皆為實數，則 $A$ 能夠被一個實正交矩陣相似到對角形式，進而與一個對稱矩陣相似（$A = SDS^{-1}$ 與 $S^{-1}=S^T$ 時即為對稱）。若相似變換矩陣不是正交的，則不一定可得到對稱矩陣。 --- 解題方法 對每個選項直接檢驗其等式或性質是否必然成立。多利用投影矩陣的基本性質 $P^2=P,\,P^T=P$，以及正交矩陣 $Q$ 的性質 $Q^TQ=I$，和對稱矩陣的 Spectral Theorem。 --- 選項分析 (A) 讓 $P$ 為正交投影矩陣，則 $\operatorname{Null}P=\operatorname{Col}(I-P)$ - 正交投影的定義給出 $P^2=P$ 且 $P^T=P$。 - $I-P$ 同樣滿足 $(I-P)^2=I-2P+P^2=I-P$ 且 $(I-P)^T=I-P$，故 $I-P$ 也是正交投影，投影到 $ \operatorname{Col}(I-P)=\operatorname{Null}(P)$ 的子空間。 - 直接由投影的正交分解 $\mathbb R^n=\operatorname{Col}(P)\oplus\operatorname{Null}(P)$ 可得 $\operatorname{Null}(P)=\operatorname{Col}(I-P)$。 結論：正確。 --- (B) 令 $C$ 為列向量線性獨立之實矩陣，$P=C(C^TC)^{-1}C^T$，則 $\operatorname{Col}P=\operatorname{Col}C$ 且 $\operatorname{Null}P=(\operatorname{Col}C)^\perp$ - $C$ 的列向量獨立 ⇒ $…

Question 16

(7%) Consider the vector space $P$ of all real polynomials in $x$ .

For $p(x) = p_0 + p_1 x + p_2 x^2 + \cdots + p_{n_p} x^{n_p}$ and $q(x) = q_0 + q_1 x + q_2 x^2 + \cdots + q_{n_q} x^{n_q}$ ,

determine which of the following define an inner product on $P$ ?

(A) $\langle p, q \rangle = \int_0^1 p(x)q(x)\,dx$ .

(B) $\langle p, q \rangle = \int_0^1 p'(x)q'(x)\,dx$ .

(C) $\langle p, q \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} p_k q_k$ .

(D) $\langle p, q \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k p_k q_k$ .

(E) $\langle p, q \rangle = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)^k p_k q_k$ .

Accepted Answer

核心觀念 內積（inner product）在實向量空間 $V$ 上必須滿足四個公理： 1. 對稱性：$\langle p,q\rangle=\langle q,p\rangle$。 2. 線性（在第一變數）：$\langle ap1+bp2,q\rangle=a\langle p1,q\rangle+b\langle p2,q\rangle$（實數 $a,b$）。 3. 正定性：$\langle p,p\rangle\ge0$，且 $\langle p,p\rangle=0\iff p=0$。 4. 雙線性：由 1、2 可推出 $\langle p,q+r\rangle=\langle p,q\rangle+\langle p,r\rangle$，以及 $\langle p,q\rangle=\langle q,p\rangle$。 對於多項式空間 $P$，每個多項式 $p(x)=\sum{k=0}^{np}pkx^k$ 只有有限個係數 $pk$，因此在涉及係數級數的定義時，只要係數的加權和是有限的即可。 --- 解題方法 對每個備選式，逐一檢驗上述四條公理。 - 對稱性：若表達式只涉及 $pkqk$（而不含奇偶或導數等不對稱成分），通常自動對稱。 - 線性：積分形式或係數加權和皆是線性的，需特別注意導數形式是否仍保持線性（是的）但正定性可能失效。 - 正定性：最關鍵的檢查點。直接代入 $p=q$，觀察得到的「自我內積」 $\langle p,p\rangle$ 是否永遠非負，且只有零多項式才會得到 $0$。若存在非零 $p$ 使 $\langle p,p\rangle\le0$，則此定義不構成內積。 --- 選項分析 (A) $\displaystyle \langle p,q\rangle=\int{0}^{1}p(x)q(x)\,dx$ - 對稱性：積分的乘積交換 $p(x)q(x)=q(x)p(x)$，故 $\langle p,q\rangle=\langle q,p\rangle$。 - 線性：積分對於被積函數線性，故滿足 $\langle ap1+bp2,q\rangle=a\langle p1,q\rangle+b\langle p2,q\rangle$。 - 正定性：$\langle p,p\rangle=\int{0}^{1}p(x)^2dx\ge0$，且若該積分等於 $0$，則 $p(x)^2=0$ 幾乎處處成立，對於多項式只能是恆等 $0$。 - 結論：滿足全部四條公理，是合法內積。 (B) $\displaystyle \langle p,q\rangle=\int{0}^{1}p'(x)q'(x)\,dx$

Question 17

(8%) Let $T: P2 	o P2$ be defined by $$T(p(x)) = p(0) + (p(0) + p'(0))x + (p'(0) + p(1))x^2,$$ where $p'(0) = \left.\dfrac{dp(x)}{dx}ight|{x=0}$. Which of the following statements are true? (A) $T$ is a linear transformation. (B) $T$ is an isomorphism. (C) The characteristic polynomial of $T$ has a repeated root. (D) $T$ is diagonalizable. (E) The dimension of the eigenspace corresponding to the eigenvalue $\lambda = 1$ is equal to 2.

Accepted Answer

核心觀念 - 線性映射：$T:V\to V$ 若滿足 $T(av+bw)=aT(v)+bT(w)$（對所有 $a,b\in\mathbb{R}$ 與向量 $v,w$），則稱為線性變換。 - 同構（Isomorphism）：線性映射若同時為單射且滿射（等價於矩陣可逆），則為同構。 - 特徵多項式、重根與對角化：若矩陣的特徵多項式有重根，則必須檢查相應的特徵子空間維度（代數重數 vs 幾何重數）。若每個特徵值的幾何重數等於其代數重數，矩陣即可對角化。 - 特徵空間維度：對於特徵值 $\lambda$，$\dim \ker (T-\lambda I)$ 為該特徵值的幾何重數。 解題方法 1. 取得基底下的矩陣表示 取標準基 $\{1,x,x^{2}\}$（记作 $e{0},e{1},e{2}$），對每個基向量計算 $T$： $$ \begin{aligned} p(x)=1 &: \;p(0)=1,\;p'(0)=0,\;p(1)=1 \ \Rightarrow T(1)&=1+(1+0)x+(0+1)x^{2}=1+x+x^{2},\[4pt] p(x)=x &: \;p(0)=0,\;p'(0)=1,\;p(1)=1 \ \Rightarrow T(x)&=0+(0+1)x+(1+1)x^{2}=x+2x^{2},\[4pt] p(x)=x^{2} &: \;p(0)=0,\;p'(0)=0,\;p(1)=1 \ \Rightarrow T(x^{2})&=0+(0+0)x+(0+1)x^{2}=x^{2}. \end{aligned} $$ 把結果寫成座標向量（相對於 $\{1,x,x^{2}\}$）： $$ T(1)=\begin{bmatrix}1\1\1\end{bmatrix},\; T(x)=\begin{bmatrix}0\1\2\end{bmatrix},\; T(x^{2})=\begin{bmatrix}0\0\1\end{bmatrix}. $$ 因此在標準基下的矩陣為 $$ [T]=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 1 & 1 & 0\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}. $$ 2. 檢驗線性性 直接觀察矩陣形式，或使用定義檢驗：$T(p+q)=T(p)+T(q)$、$T(cp)=cT(p)$ 均成立，因為每一項僅含 $p(0),p'(0),p(1)$ 這三個線性算子。故 (A) 為真。 3. 判斷是否同構 計算行列式 $$ \det([T])= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\ 1 & 1 & 0\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}=1\neq0, $$ 因而矩陣可逆，$T$ 為同構。故 (B) 為真。

115 年國立臺灣大學電機工程研究所甲組《工程數學（C）》

第 1 題5 分

第 2 題5 分

第 3 題5 分

第 4 題5 分

第 5 題5 分

解題方法

1. $0\le t\le10$ （施加恆定應力 $\sigma_1$ ）

2. $t>10$ （應力瞬間去除， $\sigma(t)=0$ ）

第 6 題5 分

解題方法與關鍵計算

1. 幾何與初始濃度

2. 皮膚厚度與濃度梯度

3. 恆態通量

4. 藥物釋放速率與累積釋放量

第 7 題5 分

第 8 題5 分

(A) $\displaystyle \dot x=-xy+3y,\qquad \dot y=x+3y$

(B) $\displaystyle \dot x=-x^{2}+4y^{2},\qquad \dot y=x^{2}-4y^{2}$

第 9 題5 分

第 10 題5 分

第 11 題7 分

(A) $\operatorname{Null}A\subseteq\operatorname{Null}PA$

(B) 若 $Q$ 可逆，則 $\operatorname{Null}AQ = \operatorname{Null}A$

第 12 題7 分

第 13 題7 分

第 14 題7 分

(A) $S_A = \{(u_1,u_2)\in\mathbb R^2\mid 2u_1^2+3u_2^2\le12\}$

(B) $S_B = \{x\in\mathbb R^n\mid Ax=0\text{ for all rank‑1 矩陣 }A\}$

第 15 題7 分

第 16 題7 分

(A) $\displaystyle \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p(x)q(x)\,dx$

(B) $\displaystyle \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p'(x)q'(x)\,dx$

第 17 題8 分

其他考古題

115 年臺灣大學的其他科目

臺灣大學《工程數學》其他年度

其他學校的電機系考古題

115 年 國立臺灣大學電機工程研究所甲組《工程數學（C）》

第 1 題5 分

第 2 題5 分

第 3 題5 分

第 4 題5 分

第 5 題5 分

解題方法

1. 0≤t≤100\le t\le100≤t≤10（施加恆定應力 σ1\sigma_1σ1​）

2. t>10t>10t>10（應力瞬間去除，σ(t)=0\sigma(t)=0σ(t)=0）

第 6 題5 分

解題方法與關鍵計算

1. 幾何與初始濃度

2. 皮膚厚度與濃度梯度

3. 恆態通量

4. 藥物釋放速率與累積釋放量

第 7 題5 分

第 8 題5 分

(A) x˙=−xy+3y,y˙=x+3y\displaystyle \dot x=-xy+3y,\qquad \dot y=x+3yx˙=−xy+3y,y˙​=x+3y

(B) x˙=−x2+4y2,y˙=x2−4y2\displaystyle \dot x=-x^{2}+4y^{2},\qquad \dot y=x^{2}-4y^{2}x˙=−x2+4y2,y˙​=x2−4y2

第 9 題5 分

第 10 題5 分

第 11 題7 分

(A) Null⁡A⊆Null⁡PA\operatorname{Null}A\subseteq\operatorname{Null}PANullA⊆NullPA

(B) 若 QQQ 可逆，則 Null⁡AQ=Null⁡A\operatorname{Null}AQ = \operatorname{Null}ANullAQ=NullA

第 12 題7 分

第 13 題7 分

第 14 題7 分

(A) SA={(u1,u2)∈R2∣2u12+3u22≤12}S_A = \{(u_1,u_2)\in\mathbb R^2\mid 2u_1^2+3u_2^2\le12\}SA​={(u1​,u2​)∈R2∣2u12​+3u22​≤12}

(B) SB={x∈Rn∣Ax=0 for all rank‑1 矩陣 A}S_B = \{x\in\mathbb R^n\mid Ax=0\text{ for all rank‑1 矩陣 }A\}SB​={x∈Rn∣Ax=0 for all rank‑1 矩陣 A}

第 15 題7 分

第 16 題7 分

(A) ⟨p,q⟩=∫01p(x)q(x) dx\displaystyle \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p(x)q(x)\,dx⟨p,q⟩=∫01​p(x)q(x)dx

(B) ⟨p,q⟩=∫01p′(x)q′(x) dx\displaystyle \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p'(x)q'(x)\,dx⟨p,q⟩=∫01​p′(x)q′(x)dx

第 17 題8 分

其他考古題

115 年臺灣大學的其他科目

臺灣大學《工程數學》其他年度

其他學校的電機系考古題

115 年國立臺灣大學電機工程研究所甲組《工程數學（C）》

1. $0\le t\le10$ （施加恆定應力 $\sigma_1$ ）

2. $t>10$ （應力瞬間去除， $\sigma(t)=0$ ）

(A) $\displaystyle \dot x=-xy+3y,\qquad \dot y=x+3y$

(B) $\displaystyle \dot x=-x^{2}+4y^{2},\qquad \dot y=x^{2}-4y^{2}$

(A) $\operatorname{Null}A\subseteq\operatorname{Null}PA$

(B) 若 $Q$ 可逆，則 $\operatorname{Null}AQ = \operatorname{Null}A$

(A) $S_A = \{(u_1,u_2)\in\mathbb R^2\mid 2u_1^2+3u_2^2\le12\}$

(B) $S_B = \{x\in\mathbb R^n\mid Ax=0\text{ for all rank‑1 矩陣 }A\}$

(A) $\displaystyle \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p(x)q(x)\,dx$

(B) $\displaystyle \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}p'(x)q'(x)\,dx$