115 年 國立臺灣大學電機工程研究所甲組《控制系統》

此題考查非最小相位零點 (non-minimum phase zero) 對系統響應的影響。非最小相位零點是指其位於複數 s 平面的右半平面 (Right Half-Plane, RHP) 的零點。

一個穩定的閉迴路系統，若其開迴路傳遞函數 $L(s)$ 包含一個非最小相位零點，則此零點會對系統的時域響應產生顯著的影響。

選項分析：
(A) 關於頻寬 (bandwidth) 和響應時間的關係。非最小相位零點的影響更直接體現在響應的「方向」和「振盪特性」上，而非必然是頻寬的縮減和響應變慢。頻寬的變化取決於零點的位置以及其他系統參數，不一定會減小。
(B) 關於斜坡輸入 (ramp input) 的穩態誤差。穩態誤差主要與系統的 Type number（即開迴路傳遞函數中 s 的積分次數）有關。非最小相位零點並不會直接改變系統的 Type number，因此不會顯著增加斜坡輸入的穩態誤差。

核心觀念

本題考查 LTI 系統的穩態響應與極點位置：

1. 輸入 $u(t)=\sin(3t)$ 的角頻率為 $3$，其拉氏轉換為
   $U(s)=\frac{3}{s^2+9}.$

2. 系統
   $P(s)=\frac{s-2}{(s+2)(s+5)(s^2+9)(s+3)}$
   在 $s=\pm j3$ 有極點，且輸入 $U(s)$ 也在 $s=\pm j3$ 有極點。

3. 因此輸出 $Y(s)=P(s)U(s)$ 在 $s=\pm j3$ 形成二重極點，時域會出現共振形式：
   $t\sin(3t),\qquad t\cos(3t),$
   同時也包含角頻率為 $3$ 的 $\sin(3t)$、$\cos(3t)$ 成分。

---

解題方法

輸出拉氏轉換為

$$Y(s)=P(s)U(s) =\frac{3(s-2)} {(s+2)(s+3)(s+5)(s^2+9)^2}.$$

由分母可直接判斷輸出的可能形式：

• $s=-2,-3,-5$ 對應 $e^{-2t},e^{-3t},e^{-5t}$，這些都是會衰減的暫態項。
• $(s^2+9)^2$ 對應重複的共軛極點 $s=\pm j3$，其反拉氏轉換包含
  $\sin(3t),\quad \cos(3t),\quad t\sin(3t),\quad t\cos(3t).$

其中 $s=\pm j3$ 同時來自系統極點與輸入，因此發生共振。故輸出中確實會出現角頻率 $3$ 的正弦項，並伴隨隨時間增長的共振項。

嚴格而言，由於系統含有位於虛軸上的極點，輸出不會收斂到有限的固定週期穩態；本題「steady state output」應理解為不衰減的受迫響應部分。該部分包含 $\sin(3t)$ 及共振形式的 $t\sin(3t)$、$t\cos(3t)$。

---

選項分析

(A) $1$

此題考查開迴路不穩定的二階系統的穩定化問題，以及不同類型控制器 (P, PD, PI, Lead-Lag) 的能力。

首先，分析開迴路傳遞函數 $G(s)$ 的穩定性。
$G(s) = \frac{16}{s^2-10s+16}$
開迴路系統的極點由分母 $s^2-10s+16=0$ 決定。
因式分解：$(s-2)(s-8)=0$。
所以，開迴路系統的極點為 $s=2$ 和 $s=8$。
由於存在右半平面 (RHP) 的極點 ($s=2$ 和 $s=8$)，因此該開迴路系統是不穩定的。

選項分析：
(A) This open-loop plant is stable.
根據上述分析，開迴路系統有兩個右半平面極點，因此是不穩定的。此選項錯誤。

接下來，我們分析各種控制器能否穩定此系統。我們將在閉迴路系統中使用單位負回授。閉迴路傳遞函數為 $T(s) = \frac{G_c(s)G(s)}{1+G_c(s)G(s)}$，其中 $G_c(s)$ 是控制器。系統穩定的條件是閉迴路傳遞函數的所有極點（即 $1+G_c(s)G(s)=0$ 的根）都位於左半平面。

(B) This open-loop plant can be stabilized by a proportional (P) controller.
如果使用 P 控制器，$G_c(s) = K_p$ ($K_p > 0$)。
閉迴路特徵方程式為 $1 + K_p G(s) = 0$，即 $1 + K_p \frac{16}{s^2-10s+16} = 0$。
$s^2 - 10s + 16 + 16K_p = 0$。
要求此二次方程式的根都位於左半平面，根據 Routh-Hurwitz 穩定性判準，所有係數必須同號且為正。
係數為 $1$, $-10$, $16+16K_p$。
由於 $-10$ 是負的，無論 $K_p > 0$ 如何選擇，$s^2 - 10s + (16+16K_p) = 0$ 總會存在一個負係數，因此不可能穩定。
P 控制器無法穩定一個具有右半平面極點的系統。此選項錯誤。

(C) This open-loop plant can be stabilized by a proportional-derivative (PD) controller.
如果使用 PD 控制器，$G_c(s) = K_p + K_d s = K_d(s + K_p/K_d)$。
閉迴路特徵方程式為 $1 + (K_p + K_d s) G(s) = 0$。
$1 + (K_p + K_d s) \frac{16}{s^2-10s+16} = 0$。
$s^2 - 10s + 16 + 16K_p + 16K_d s = 0$。
$s^2 + (16K_d - 10)s + (16 + 16K_p) = 0$。

此題考查穩定性指標：增益裕度 (Gain Margin, GM) 和相位裕度 (Phase Margin, PM)。

選項分析：
(A) The gain margin of a unity-feedback system is defined as the factor by which the loop gain can be multiplied before the Nyquist plot passes through the critical point -1+0j.
增益裕度 (GM) 是指在相位交叉頻率 $\omega_{pc}$ (即 Nyquist 曲線與負實軸相交處的頻率，或 Bode 圖上相位為 -180 度時的頻率) 處，迴路傳遞函數 $L(j\omega_{pc})$ 的增益 $|L(j\omega_{pc})|$ 與 1 的比值（或其倒數），通常以 dB 表示。
更精確地說，在單位負回授系統中，如果 Nyquist 曲線在 $(-|L(j\omega_{pc})|, 0)$ 點穿過負實軸，則增益裕度為 $20 \log_{10}(|L(j\omega_{pc})|)$ （如果 $|L(j\omega_{pc})| < 1$）或 $20 \log_{10}(1/|L(j\omega_{pc})|)$ （如果 $|L(j\omega_{pc})| > 1$）。
另一種定義是，在相位為 $-180^\circ$ 時，迴路增益可以被乘以一個因子，使閉迴路系統達到不穩定。這個因子就是增益裕度。
選項中的描述「factor by which the loop gain can be multiplied before the Nyquist plot passes through the critical point -1+0j」是正確的。更具體地，如果 Nyquist 曲線在 $s=j\omega_{pc}$ 時的增益是 $|L(j\omega_{pc})|$，而 $-1$ 是關鍵點，那麼增益裕度是 $1/|L(j\omega_{pc})|$（線性值）或 $20 \log_{10}(1/|L(j\omega_{pc})|)$ （dB 值）。這個因子就是我們可以將迴路增益乘以多少，直到它剛好通過 $-1+0j$。此敘述是正確的。

(B) The phase margin is measured at the gain crossover frequency, which is the frequency where the magnitude of the loop transfer function is 0 dB.
相位裕度 (PM) 是指在增益交叉頻率 $\omega_{gc}$ (即 $|L(j\omega_{gc})| = 1$ 或 0 dB 時的頻率) 處，系統相位 $\angle L(j\omega_{gc})$ 與 $-180^\circ$ 的差值。
PM = $180^\circ + \angle L(j\omega_{gc})$。
選項中的描述是正確的。

(C) If both the gain margin and phase margin of a single-input single-output (SISO) system are positive, then the closed-loop system is always asymptotically stable.
對於一個有理傳遞函數的系統，如果開迴路傳遞函數 $L(s)$ 的極點都在左半平面 (即系統本身是穩定的)，並且增益裕度和相位裕度都為正，那麼閉迴路系統是漸近穩定的。
然而，如果開迴路傳遞函數 $L(s)$ 本身有右半平面極點，那麼即使 GM > 0 和 PM > 0，閉迴路系統也可能是不穩定的。
這個敘述漏掉了對開迴路系統穩定性的要求。
正確的說法是：如果開迴路傳遞函數 $L(s)$ 的極點都在左半平面，並且 $GM>0$ 且 $PM>0$，則閉迴路系統是穩定的。

核心觀念

本題考查：

1. 最小實現：必須同時滿足可控制與可觀測。
2. 系統極點：由狀態矩陣 $A$ 的特徵值決定。
3. 傳遞零點：可由 Rosenbrock 系統矩陣判定。
4. 狀態回授：$u=Kx$ 會改變閉迴路極點，但不會改變系統的傳遞零點。

令

$$A=\begin{bmatrix}1&w\\0&-1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix},\quad D=0.$$

---

解題方法

分別檢查可控制性、可觀測性、極點、傳遞零點，再分析兩種狀態回授對閉迴路的影響。

1. 可控制性與可觀測性

可控制矩陣為

$$\mathcal C= \begin{bmatrix}B&AB\end{bmatrix}.$$

計算

$$AB= \begin{bmatrix}1&w\\0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=B.$$

因此

$$\mathcal C= \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&0 \end{bmatrix},$$

其秩為 $1<2$，所以系統對所有 $w$ 皆不可控制。

可觀測矩陣為

$$\mathcal O= \begin{bmatrix}C\\CA\end{bmatrix}.$$

其中

$$CA= \begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&w\\0&-1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&w\end{bmatrix},$$

故

$$\mathcal O= \begin{bmatrix} 1&0\\ 1&w \end{bmatrix}.$$

當 $w\neq 0$ 時，系統可觀測；當 $w=0$ 時，系統不可觀測。然而無論 $w$ 為何，系統皆不可控制，因此不可能總是最小實現。

---

2. 系統極點

狀態矩陣為上三角矩陣，因此其特徵值就是對角元素：

$$\det(sI-A) = \begin{vmatrix} s-1&-w\\ 0&s+1 \end{vmatrix} =(s-1)(s+1).$$

所以狀態矩陣的特徵值為

$$s=1,\qquad s=-1.$$

---

3. 傳遞零點

對單輸入單輸出系統，傳遞零點可由 Rosenbrock 系統矩陣

$$\mathcal R(s)= \begin{bmatrix} sI-A&-B\\ C&D \end{bmatrix}$$

判定。本題中

$$\mathcal R(s)= \begin{bmatrix} s-1&-w&-1\\ 0&s+1&0\\ 1&0&0 \end{bmatrix}.$$

其行列式為

$$\det \mathcal R(s)=s+1.$$

因此傳遞零點為

$$s=-1.$$

也可用零動態直接驗證。令輸出為零：

$$y=x_1=0.$$

若狀態 $x_2\neq 0$，由第二個狀態方程式可得

$$\dot{x}_2=-x_2,$$

其零動態極點即為 $-1$。第一個狀態方程式要求

$$0=\dot{x}_1=x_1+wx_2+u=wx_2+u,$$

故取

$$u=-wx_2$$

即可維持 $y=0$，因此 $s=-1$ 確實是傳遞零點。

---

選項分析

(A) This state-space model is always a minimal realization.

核心觀念

本題考查 Bode 圖判讀與穩定裕度：

• 增益交越頻率 $\omega_{gc}$：$|L(j\omega)|=1$，即 magnitude 為 $0$ dB。
• 相位裕度：
  $PM=180^\circ+\angle L(j\omega_{gc})$
• 相位交越頻率 $\omega_{pc}$：$\angle L(j\omega)|=-180^\circ$。
• 增益裕度：
  $GM=\frac{1}{|L(j\omega_{pc})|}$
  以 dB 表示為
  $GM_{\mathrm{dB}}=-20\log_{10}|L(j\omega_{pc})|.$
• Bode magnitude 圖的高頻斜率可判斷相對階數；每增加一個極點，高頻斜率約減少 $20$ dB/dec。

解題方法

由圖判讀：

1. magnitude 曲線與 $0$ dB 水平線交於約 $\omega=8$ rad/s，因此
   $\omega_{gc}\approx 8\ \text{rad/s}.$

2. 在 $\omega_{gc}\approx 8$ rad/s 處，phase 約為 $-130^\circ$，故
   $PM=180^\circ-130^\circ=50^\circ.$

3. phase 曲線隨頻率升高逐漸趨近 $-180^\circ$，但圖中沒有在有限頻率真正穿越 $-180^\circ$。因此相位交越頻率不存在有限值，增益裕度為無限大。

4. magnitude 圖低頻斜率約為 $-20$ dB/dec，表示含有一個原點極點，即 integrator。高頻斜率約為 $-40$ dB/dec，表示總極點數比零點數多 $2$，所以相對階數為 $2$，不是 $3$。

此題考查對 Kalman Filter (KF) 原理的理解，特別是其工作流程和與 EKF、UKF 的關係。

文章段落描述了 Kalman Filter 的工作流程：
「algorithm is implemented in two steps: in the prediction step an estimation of current state of variables in uncertainty conditions is presented (note: based solely on the process model). In the next step, after obtaining the measurement, previous estimation is updated by weighted arithmetic mean.」
「For nonlinear systems Extended KF (EKF) and Unscented KF (UKF) represent the first-order and higher order linear approximations.」

選項分析：
(A) The Kalman Filter is a model-free method that estimates system states recursively from data.
Kalman Filter 是「基於模型」的濾波器。它需要一個「process model」（系統模型）來進行預測。因此，它不是 model-free 的。此選項錯誤。

(B) The Kalman Filter estimates system states recursively using a prediction step followed by a measurement-update step.
文章明確指出：「algorithm is implemented in two steps: in the prediction step ... In the next step, after obtaining the measurement, previous estimation is updated ...」。這描述了預測步驟後跟隨測量更新步驟的遞迴過程。此選項正確。

此題考查 Internal Model Principle (IMP) 的概念。文章段落描述了 IMP 的核心思想。

文章段落要點：

• 古典調節問題：要求閉迴路穩定性和輸出調節（在干擾和參考信號存在下）。
• 控制作用由補償器產生，需要提供穩定性和輸出調節。
• 結構穩定的綜合必須利用被調變變數的迴授，並在迴授路徑中包含一個「適當複製」的干擾和參考信號的動態模型。
• 這個控制結構的必要性構成了 Internal Model Principle。
• 在頻域中，內部模型的目的是提供閉迴路傳輸零點來抵銷干擾和參考信號的不穩定極點。
• IMP 也適用於弱非線性系統和階躍干擾/參考信號。

選項分析：
(A) The internal model works by estimating the disturbance externally and canceling it through feedforward action, independently of the plant dynamics.
文章提到，內部模型是「incorporated in the feedback path」（整合在迴授路徑中），並且與「plant dynamics」（植物動態）相關。它不是獨立於植物動態的，也不是純粹的外部估計和前饋抵銷。IMP 強調的是將內部模型放在迴授路徑中，以實現零穩態誤差。此選項錯誤。

(B) The internal model that embeds the modes (poles) of the reference and disturbance signals must be incorporated within the feedback path of a closed-loop system.
文章明確指出：「incorporate in the feedback path a suitably reduplicated model of the dynamic structure of the disturbance and reference signals. The necessity of this control structure constitutes the Internal Model Principle.」這與選項的描述完全一致。內部模型需要包含參考信號和干擾信號的動態模式（極點），並且要放在迴授路徑中。此選項正確。

(C) Rejection of step disturbances is achieved by incorporating an internal model with a pole at the origin only when the closed-loop system is stable.

核心觀念

本題考「內部模型原理」（Internal Model Principle）：

若要使輸出 $y(t)$ 對某類參考訊號 $r(t)$ 達到漸近追蹤，控制器的回授迴路中必須包含該參考訊號的模型。

令主要回授迴路的迴路增益為

$$L(s)=C(s)P(s)H(s)$$

在標準負回授系統中，追蹤誤差可表示為

$$E(s)=\frac{R(s)}{1+L(s)}$$

若參考訊號為階躍訊號，則

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

控制器必須包含積分器 $1/s$，使得當 $s\to 0$ 時，$L(s)\to\infty$，因此

$$\lim_{s\to 0}\frac{1}{1+L(s)}=0$$

才能由終值定理得到

$$\lim_{t\to\infty}e(t)=0$$

同理，若要追蹤正弦訊號，控制器中必須包含對應的模型，例如

$$\frac{1}{s^2+\omega^2}$$

因此，內部模型必須放在「由追蹤誤差驅動、且位於主要回授迴路中的控制器」內。

解題方法

由圖可見，$C(s)$ 位於參考輸入與受控體 $P(s)$ 之間，負回授訊號經由 $H(s)$ 回到前端加總點，形成主要追蹤回授迴路。

因此，$C(s)$ 是負責根據追蹤誤差產生控制作用的主要控制器。將參考訊號的內部模型放入 $C(s)$，可使主要迴路增益 $L(s)$ 在參考訊號的特定頻率具有足夠增益，令穩態追蹤誤差趨近於零。

所以應選擇：

$$\boxed{C(s)}$$

選項分析

(A) $F(s)$

核心觀念

本題考查「內部模型原理」與延遲回授對週期訊號的追蹤能力。由圖中 $D(s)=e^{-sT}$ 可知，系統包含一個延遲 $T$ 的正回授結構。

對於週期為 $T$ 的參考訊號，必須滿足

$$r(t-T)=r(t),$$

在拉氏域中可寫成

$$e^{-sT}R(s)=R(s),$$

因此

$$\left(1-e^{-sT}\right)R(s)=0.$$

在題目已知閉迴路系統「漸近穩定」的條件下，暫態項會消失；若參考訊號滿足上述週期條件，穩態追蹤誤差為零。

---

解題方法

令延遲算子為

$$D(s)=e^{-sT}.$$

其頻率響應為

$$D(j\omega)=e^{-j\omega T}.$$

當

$$\omega=\frac{2\pi k}{T},\qquad k\in\mathbb{Z},$$

便有

$$D(j\omega)=e^{-j2\pi k}=1.$$

所以此架構能消除週期為 $T$ 的訊號及其整數倍諧波所造成的穩態追蹤誤差。等價地說，凡滿足

$$r(t+T)=r(t)$$

的參考訊號，都可以被漸近追蹤。

---

選項分析

(A)

$$r(t)=\cos\left(\frac{2\pi}{T}t\right)$$

檢查週期：

$$r(t+T) =\cos\left(\frac{2\pi}{T}(t+T)\right) =\cos\left(\frac{2\pi}{T}t+2\pi\right) =r(t).$$

此訊號週期為 $T$，因此可以被漸近追蹤。正確。

---

(B)

$$r(t)=\sin\left(\frac{3\pi}{T}t\right)$$

其基本週期為

$$T_r=\frac{2\pi}{3\pi/T}=\frac{2T}{3}.$$

而