109 年 國立臺灣大學電機工程研究所乙組《電路學》

此題為理想運算放大器的應用題，主要考驗學生對反向加法電路（inverting summing amplifier）的分析能力，以及功率消耗的計算。

(a) 決定電阻 $R_1, R_2, R_3$

此電路為一個反向加法電路。根據虛短（virtual short）和虛斷（virtual open）特性，運算放大器的負端節點的電壓為 0V（接地），且沒有電流流入運算放大器的輸入端。

電路圖中，輸入電壓 $V_1$ 通過電阻 $R_1$ 連接到運算放大器的反向輸入端，輸入電壓 $V_2$ 通過電阻 $R_2$ 連接到反向輸入端，輸入電壓 $V_3$ 通過電阻 $R_3$ 連接到反向輸入端。輸出電壓 $V_o$ 通過電阻 $R_f$ 連接到反向輸入端。

根據節點電壓法（nodal analysis）在反向輸入節點（假設節點電壓為 $V^-$），我們有：
$\frac{V_1 - V^-}{R_1} + \frac{V_2 - V^-}{R_2} + \frac{V_3 - V^-}{R_3} + \frac{V_o - V^-}{R_f} = 0$
由於是理想運算放大器且工作在線性區，負端節點電壓 $V^- = 0V$（虛短）。
$\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3} + \frac{V_o}{R_f} = 0$
將 $V_o$ 移到等式右邊：
$\frac{V_o}{R_f} = - \left( \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3} \right)$
$V_o = - R_f \left( \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} + \frac{V_3}{R_3} \right)$
$V_o = - \left( \frac{R_f}{R_1} V_1 + \frac{R_f}{R_2} V_2 + \frac{R_f}{R_3} V_3 \right)$
題目給定的輸出函數是 $V_o = -(4V_3+2V_2+V_1)$。
對比上述兩個方程式，我們可以得到：
$\frac{R_f}{R_1} = 1 \implies R_1 = R_f$
$\frac{R_f}{R_2} = 2 \implies R_2 = \frac{R_f}{2}$
$\frac{R_f}{R_3} = 4 \implies R_3 = \frac{R_f}{4}$

從圖一中可以讀出，回授電阻 $R_f = 10 k\Omega$。
因此：
$R_1 = R_f = 10 k\Omega$
$R_2 = \frac{10 k\Omega}{2} = 5 k\Omega$
$R_3 = \frac{10 k\Omega}{4} = 2.5 k\Omega$

此題考驗學生在交流電路中，使用相量（phasor）分析法求解串聯 R-L 電路的電流響應。

首先，將電壓源和 R-L 負載轉換為相量形式。
電壓源的相量表示為：
$\mathbf{V}_s = 20 \angle 45^\circ V$
角頻率 $\omega = 377 \text{ rad/s}$。

計算電阻和電感的阻抗。
電阻的阻抗為 $\mathbf{Z}_R = R = 5 \Omega$。
電感的阻抗為 $\mathbf{Z}_L = j\omega L = j(377)(0.2) \Omega = j75.4 \Omega$。

串聯 R-L 電路的總阻抗為：
$\mathbf{Z}_{total} = \mathbf{Z}_R + \mathbf{Z}_L = 5 + j75.4 \Omega$。

將總阻抗轉換為極座標形式：
$|\mathbf{Z}_{total}| = \sqrt{R^2 + (\omega L)^2} = \sqrt{5^2 + 75.4^2} = \sqrt{25 + 5685.16} = \sqrt{5710.16} \approx 75.566 \Omega$

核心觀念

本題考查：

• 電感電流不可突變：$i_L(0^+)=i_L(0^-)$。
• 電容電壓不可突變：$v_C(0^+)=v_C(0^-)$。
• $t<0$ 長時間穩態時，電感視為短路、電容視為開路。
• $t>0$ 開關斷開後，利用 KVL 與電容關係式求二階暫態響應。

由圖可知電壓源為 $12\text{ V}$，串聯電感 $L=0.5\text{ H}$、電阻 $1\Omega$，電容為 $C=2\text{ F}$，右側電阻為 $5\Omega$。

(a) 初始電感電流 $i_L(0^+)$

$t<0$ 長時間穩態

開關閉合，且電路已達直流穩態：

• 電感視為短路；
• 電容視為開路。

因此穩態電流只流經 $1\Omega$ 與 $5\Omega$：

$$i_L(0^-)=\frac{12}{1+5}=2\text{ A}$$

電感電流不能瞬間改變，所以

$$\boxed{i_L(0^+)=i_L(0^-)=2\text{ A}}$$

方向為圖中由左向右流經電感的方向。

同時，初始電容電壓為 $5\Omega$ 電阻上的電壓：

$$v_C(0^-)=5(2)=10\text{ V}$$

由於電容電壓不可突變，

$$v_C(0^+)=10\text{ V}$$

(b) $t>0$ 的電容電壓 $v_C(t)$

開關斷開後的電路方程式

開關斷開後，$5\Omega$ 電阻被移除，電路成為 $12\text{ V}$ 電壓源串聯 $L$、$R$、$C$ 的電路。

令電流 $i_L(t)$ 流入電容正端，則

$$i_L(t)=C\frac{dv_C(t)}{dt}$$

依 KVL：

$$12=L\frac{di_L}{dt}+Ri_L+v_C$$

代入 $L=0.5$、$R=1$、$C=2$，且

$$i_L=2\frac{dv_C}{dt}$$

可得

$$12=0.5\frac{d}{dt}\left(2\frac{dv_C}{dt}\right) +\frac{dv_C}{dt}+v_C$$

因此

此題考驗學生繪製漸近波德圖（asymptotic Bode plot）的能力，包括零點、極點、增益斜率的計算與組合。

首先，將傳遞函數 $H(s)$ 的分子和分母多項式進行因式分解，找出零點和極點。

分子：$s^2 + 55s + 250$
判別式 $\Delta = 55^2 - 4(1)(250) = 3025 - 1000 = 2025$
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{2025} = 45$
零點為 $s = \frac{-55 \pm 45}{2}$
$s_1 = \frac{-55+45}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
$s_2 = \frac{-55-45}{2} = \frac{-100}{2} = -50$
所以，分子可以寫成 $5(s+5)(s+50)$。

分母：$s^3 + 520s^2 + 10000s = s(s^2 + 520s + 10000)$
其中一個極點是 $s=0$。
考慮二次項 $s^2 + 520s + 10000$
判別式 $\Delta = 520^2 - 4(1)(10000) = 270400 - 40000 = 230400$
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{230400} = 480$
極點為 $s = \frac{-520 \pm 480}{2}$
$s_3 = \frac{-520+480}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
$s_4 = \frac{-520-480}{2} = \frac{-1000}{2} = -500$
所以，分母可以寫成 $s(s+20)(s+500)$。

因此，傳遞函數 $H(s)$ 可以改寫為：
$H(s) = \frac{5(s+5)(s+50)}{s(s+20)(s+500)}$

零點（zeros）在 $s = -5$ 和 $s = -50$。
極點（poles）在 $s = 0$, $s = -20$, 和 $s = -500$。

為了繪製漸近波德圖，我們將這些零點和極點按頻率大小排序：
極點：$s=0$ (DC pole), $s=-20$, $s=-500$
零點：$s=-5$, $s=-50$

將傳遞函數寫成標準形式（corner frequency form）：
$H(s) = \frac{5 \times 5 \times 50 (1 + s/5)(1 + s/50)}{s \times 20 (1 + s/20) \times 500 (1 + s/500)}$
$H(s) = \frac{5 \times 5 \times 50}{20 \times 500} \times \frac{(1 + s/5)(1 + s/50)}{s(1 + s/20)(1 + s/500)}$
$H(s) = \frac{1250}{10000} \times \frac{(1 + s/5)(1 + s/50)}{s(1 + s/20)(1 + s/500)}$
$H(s) = 0.125 \times \frac{(1 + s/5)(1 + s/50)}{s(1 + s/20)(1 + s/500)}$

1. DC Gain (Low Frequency Gain)
當 $s \to 0$， $H(s) \to 0.125$。
DC Gain = $0.125$。
在對數尺度下，DC Gain $= 20 \log_{10}(0.125) = 20 \log_{10}(1/8) = 20 (-\log_{10}8) = -20 \log_{10}8 = -20 \times 3 \log_{10}2 \approx -60 \times 0.301 \approx -18.06 dB$。
DC Gain 的斜率是 $0 dB/decade$。

2. Corner Frequencies
零點角頻率：$\omega_{z1} = 5 rad/s$, $\omega_{z2} = 50 rad/s$
極點角頻率：$\omega_{p1} = 20 rad/s$, $\omega_{p2} = 500 rad/s$
DC 極點在 $s=0$。

3. Magnitude Plot (Gain Plot)

• $0 < \omega < 5$: 只有 DC 極點 $s=0$ 影響斜率。DC 極點會使斜率下降 $-20 dB/decade$。
  低頻增益為 $-18.06 dB$。
  斜率為 $-20 dB/decade$。

• $\omega = 5$ (零點): 在 $\omega = 5$ 處出現一個零點。零點會使斜率增加 $+20 dB/decade$。
  此處總斜率變為 $-20 dB/decade + 20 dB/decade = 0 dB/decade$。
  在這個頻率點，增益開始上升。

• $5 < \omega < 20$: 零點 $s=-5$ 已經生效，斜率變為 $0 dB/decade$。
  增益在這段頻率範圍內保持接近 $H(j5)$ 的值。
  計算 $H(j5) = 0.125 \times \frac{(1 + j5/5)(1 + j5/50)}{j5(1 + j5/20)(1 + j5/500)}$
  $H(j5) = 0.125 \times \frac{(1+j)(1+j0.1)}{j5(1+j0.25)(1+j0.01)}$
  為了繪製漸近圖，我們主要看斜率變化。

• $\omega = 20$ (極點): 在 $\omega = 20$ 處出現一個極點。極點會使斜率下降 $-20 dB/decade$。
  此處總斜率變為 $0 dB/decade - 20 dB/decade = -20 dB/decade$。
  在這個頻率點，增益開始下降。

• $20 < \omega < 50$: 斜率為 $-20 dB/decade$。

• $\omega = 50$ (零點): 在 $\omega = 50$ 處出現一個零點。零點會使斜率增加 $+20 dB/decade$。
  此處總斜率變為 $-20 dB/decade + 20 dB/decade = 0 dB/decade$。
  在這個頻率點，增益開始回升。

• $50 < \omega < 500$: 斜率為 $0 dB/decade$。

• $\omega = 500$ (極點): 在 $\omega = 500$ 處出現一個極點。極點會使斜率下降 $-20 dB/decade$。
  此處總斜率變為 $0 dB/decade - 20 dB/decade = -20 dB/decade$。
  在這個頻率點，增益開始下降。

• $\omega > 500$: 斜率為 $-20 dB/decade$。

此題為交流電力系統的功率分析題，包含功率因數、視在功率、平均功率、無效功率的計算，以及功率因數的改善。

給定條件：
電壓源：$V_{rms} = 220V$, $f = 60Hz$。
負載 1 (Load 1)：$P_1 = 50kW$, $PF_1 = 0.75$ 滯後（lagging）。
負載 2 (Load 2)：$P_2 = 25kW$, $PF_2 = 0.88$ 滯後（lagging）。

(a) 計算負載 2 的無效功率 ($Q_2$)

功率因數（Power Factor, PF）定義為平均功率（Real Power, P）與視在功率（Apparent Power, S）之比：$PF = P/S$。
對於滯後功率因數，電壓和電流的相位差為正（電壓超前電流），此時無效功率（Reactive Power, Q）為正。
$\cos(\theta) = PF$。
$\theta = \arccos(PF)$。
$Q = P \tan(\theta)$。

對於負載 2：
$P_2 = 25kW$
$PF_2 = 0.88$ (lagging)
$\theta_2 = \arccos(0.88)$
計算 $\theta_2$: $\theta_2 \approx 28.36^\circ$。
$\tan(\theta_2) = \tan(28.36^\circ) \approx 0.5406$。
$Q_2 = P_2 \tan(\theta_2) = 25 kW \times 0.5406 \approx 13.515 kVAR$。

【答案】$Q_2 \approx 13.52 kVAR$。

(b) 計算負載 1 的電流 ($I_1$)

負載 1 的平均功率 $P_1 = 50kW$，功率因數 $PF_1 = 0.75$ (lagging)。
$S_1 = \frac{P_1}{PF_1} = \frac{50 kW}{0.75} = 66.67 kVA$。
視在功率 $S_1 = V_{rms} I_1$。
$I_1 = \frac{S_1}{V_{rms}} = \frac{66.67 kVA}{220 V} = \frac{66670 VA}{220 V} \approx 303.05 A$。

或者，先計算 $\theta_1$:
$\theta_1 = \arccos(0.75) \approx 41.41^\circ$。
$\tan(\theta_1) = \tan(41.41^\circ) \approx 0.8819$。
$Q_1 = P_1 \tan(\theta_1) = 50 kW \times 0.8819 \approx 44.095 kVAR$。
$S_1 = \sqrt{P_1^2 + Q_1^2} = \sqrt{(50kW)^2 + (44.095kVAR)^2} = \sqrt{2500 + 1944.37} kVA = \sqrt{4444.37} kVA \approx 66.67 kVA$。
$I_1 = \frac{S_1}{V_{rms}} = \frac{66670 VA}{220 V} \approx 303.05 A$。

【答案】$I_1 \approx 303.05 A$。

(c) 計算總功率因數 ($PF_{total}$)

總平均功率 $P_{total} = P_1 + P_2 = 50 kW + 25 kW = 75 kW$。
總無效功率 $Q_{total} = Q_1 + Q_2$。
先計算 $Q_1$:
$\theta_1 = \arccos(0.75) \approx 41.41^\circ$

此題為主動濾波器設計題，要求設計一個一階非反向低通濾波器，並滿足指定的直流增益和截止頻率。

設計要求：

1. 一階（first-order）
2. 非反向（non-inverting）
3. 低通濾波器（lowpass filter）
4. DC Gain = 20dB
5. Cut-off frequency ($f_c$) = 50kHz

電路設計：
一階非反向低通濾波器通常使用一個運算放大器（op-amp）和兩個電阻（$R_1, R_f$）以及一個電容（$C$）。
電路結構如下：
輸入信號 $v_{in}$ 通過一個電阻 $R$ 連接到運算放大器的反向輸入端。
運算放大器的同向輸入端連接到一個電阻 $R_1$，另一端接地。
反向輸入端通過一個電容 $C$ 連接到輸出端 $v_{out}$。
輸出端 $v_{out}$ 通過一個電阻 $R_f$ 連接到反向輸入端。
（這描述的是一個帶有額外極點的濾波器，更標準的一階非反向低通濾波器是：輸入信號 $v_{in}$ 直接接到運算放大器的同向輸入端。同向輸入端通過一個電阻 $R$ 連接到地。反向輸入端通過一個電阻 $R_f$ 連接到輸出端，同時反向輸入端也通過一個電容 $C$ 連接到地。）

讓我們採用標準的一階非反向低通濾波器結構：
運算放大器，其同向輸入端 (+) 連接到輸入電壓 $v_{in}$。
同向輸入端 (+) 也通過一個電阻 $R$ 連接到地。
反向輸入端 (-) 連接到輸出電壓 $v_{out}$ 的一個電阻 $R_f$。
反向輸入端 (-) 同時通過一個電容 $C$ 連接到地。

此電路的傳遞函數為：
$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{R_f/R_1 + 1}{1 + s R_f C}$
（注意：這裡的 $R_1$ 和 $R_f$ 是指電阻的分壓網路，而實際的濾波電路結構略有不同）

標準的一階非反向低通濾波器結構是：
輸入信號 $v_{in}$ 直接接到運算放大器的同向輸入端 (+)。
同向輸入端 (+) 通過一個電阻 $R$ 連接到地。
反向輸入端 (-) 通過一個電阻 $R_f$ 連接到輸出端 $v_{out}$。
反向輸入端 (-) 同時通過一個電容 $C$ 連接到地。

這個結構的傳遞函數是：
$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}$
根據虛短和虛斷，反向輸入端電壓 $V^- = V^+ = V_{in}$。
流過 $R_f$ 的電流 $I_{Rf} = \frac{V_{out} - V^-}{R_f} = \frac{V_{out} - V_{in}}{R_f}$。
流過 $C$ 的電流 $I_C = V^- \times sC = V_{in} \times sC$。
在反向輸入端節點，電流平衡：$I_{Rf} + I_C = 0$ (由於運算放大器輸入端無電流)。
$\frac{V_{out} - V_{in}}{R_f} + V_{in} sC = 0$
$V_{out} - V_{in} = -V_{in} sC R_f$
$V_{out} = V_{in} - V_{in} sC R_f = V_{in} (1 - sR_f C)$
這是一個一階反向低通濾波器（傳遞函數是 $1 - sR_f C$）。這不是我們要的。

正確的一階非反向低通濾波器結構：
運算放大器，其同向輸入端 (+) 連接到輸入電壓 $v_{in}$。
反向輸入端 (-) 通過一個電阻 $R$ 連接到輸出端 $v_{out}$。
反向輸入端 (-) 同時通過一個電容 $C$ 連接到地。
同向輸入端 (+) 也通過一個電阻 $R_1$ 連接到地，以形成電壓增益。

這個結構的傳遞函數是：
$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}$
同向輸入端電壓 $V^+ = V_{in} \frac{R_1}{R_1+R_{ground}}$ (如果 $R_{ground}$ 是連接到地的電阻)
更常見的結構是：
同向輸入端 (+) 連接到輸入 $v_{in}$。
反向輸入端 (-) 連接到輸出 $v_{out}$ 的電阻 $R_f$。
反向輸入端 (-) 連接到地 的電阻 $R_1$。
同向輸入端 (+) 連接到地 的電容 $C$。
（這個結構是反向的，不是非反向）

最標準的一階非反向低通濾波器設計：

1. 輸入信號 $v_{in}$ 直接接到運算放大器的同向輸入端 (+)。
2. 反向輸入端 (-) 通過一個電阻 $R_f$ 連接到輸出端 $v_{out}$。
3. 反向輸入端 (-) 同時通過一個電容 $C$ 連接到地。
4. 為了實現非零的 DC 增益，我們需要一個電阻分壓網路。
   將同向輸入端 (+) 連接到輸入 $v_{in}$。
   同向輸入端 (+) 通過一個電阻 $R_1$ 連接到地。
   反向輸入端 (-) 通過一個電阻 $R_f$ 連接到輸出 $v_{out}$。
   反向輸入端 (-) 同時通過一個電容 $C$ 連接到地。

此電路的傳遞函數為：
$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{1 + R_f/R_1}{1 + s R_f C}$
（注意：這裡的 $R_1$ 和 $R_f$ 是指運算放大器的電壓增益設定，以及濾波電路中的電阻。）