112 年 國立臺灣大學電機工程研究所乙組《電路學》

核心觀念

求端點 A–B 的諾頓等效電路，可先求戴維寧等效的開路電壓 $V_{\text{th}}$ 與等效電阻 $R_{\text{th}}$，再使用

$$I_{\text{N}}=\frac{V_{\text{th}}}{R_{\text{th}}}$$

因電路含受控電流源，求等效電阻時不能把受控源關掉；應將獨立電壓源短路，再於 A–B 端加測試電壓。

解題方法

令底部共同線 B 為接地，節點 N、A 的電壓分別為 $V_N$、$V_A$。電流 $i$ 由 200 V 電壓源正端流出，因此

$$i=\frac{200-V_N}{2}\ \text{mA}$$

此處電阻以 $\text{k}\Omega$ 計，電流以 $\text{mA}$ 計。

先將負載開路，A 點套用 KCL：

$$\frac{V_A-V_N}{2}+\frac{V_A}{4}-0.2i=0$$

代入 $i=(200-V_N)/2$，並整理 N 點與 A 點的 KCL 方程式，可得

$$2.8V_N-V_A=160$$ $$15V_A-8V_N=400$$

解得

$$V_N=\frac{1400}{17}\ \text{V},\qquad V_A=\frac{1200}{17}\ \text{V}$$

因此開路電壓為

$$V_{\text{th}}=V_A=\frac{1200}{17}\ \text{V}$$

接著求等效電阻。將 200 V 獨立電壓源短路，於 A–B 端加測試電壓 $V_t$。此時 $i=-V_N/2$（單位為 mA）。N 點 KCL 為

$$\frac{V_N}{2}+\frac{V_N}{2}+\frac{V_N-V_t}{2}+0.2i=0$$

代入 $i=-V_N/2$，得

$$V_N=\frac{5}{14}V_t$$

測試電流（由測試源流入電路）為

核心觀念

這題考一階初始條件與二階 RLC 暫態分析：

• 電容電壓、電感電流不能瞬間改變：$v_C(0^+)=v_C(0^-)$、$i_L(0^+)=i_L(0^-)$。
• 電容關係式：$i_C=C\,dv_C/dt$。
• 電感與電阻串聯，切換後可用 KVL 建立微分方程。

解題方法

1. 求切換前的電容電壓

開關長時間接在 A 時，電容於直流穩態等效為開路。$9\,\text{k}\Omega$ 與 $15\,\text{k}\Omega$ 串接在 $80\,\text{V}$ 電源上，電容電壓就是 $15\,\text{k}\Omega$ 上的分壓：

$$v_C(0^-)=80\frac{15}{9+15}=50\text{ V}$$

切換瞬間電容電壓連續，因此 $v_C(0^+)=50\text{ V}$。切換前電感支路未接入，故 $i_L(0^-)=0$；電感電流連續，因此 $i_L(0^+)=0$。

2. 建立切換後的方程式

切至 B 後，電容、$80\,\text{k}\Omega$ 電阻、$5\,\text{mH}$ 電感與 $100\,\text{V}$ 電源形成單一串聯迴路。依題目所標電流方向，KVL 為

$$100=Ri_L+L\frac{di_L}{dt}+v_C$$

其中 $R=80\,\text{k}\Omega$、$L=5\,\text{mH}$、$C=2\,\mu\text{F}$。由電容電流關係，$i_L=C\,dv_C/dt$，代入得

$$LC\frac{d^2v_C}{dt^2}+RC\frac{dv_C}{dt}+v_C=100$$

特徵方程式為

$$s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}=0$$

令兩個正衰減率為

$$\lambda_1=\frac{\frac{R}{L}-\sqrt{(\frac{R}{L})^2-\frac{4}{LC}}}{2}, \qquad \lambda_2=\frac{\frac{R}{L}+\sqrt{(\frac{R}{L})^2-\frac{4}{LC}}}{2}$$

代入元件值，得到

核心觀念

交流負載的複功率為 $\underline{S}=P+jQ$，其中 $P$ 是實功率、$Q$ 是虛功率。電感吸收正虛功率，電容吸收負虛功率。視在功率與功率因數分別為

$$|S|=\sqrt{P^2+Q^2}, \qquad \mathrm{PF}=\frac{P}{|S|}.$$

圖中電容與串聯 $R$–$L$ 支路並聯在 $110\ \mathrm{V}_{\mathrm{rms}}$、$60\ \mathrm{Hz}$ 電源兩端，因此兩支路電壓相同。

解題方法

角頻率為

$$\omega=2\pi f=2\pi(60)=376.99\ \mathrm{rad/s}.$$

串聯電感的電抗為

$$X_L=\omega L=376.99(25\times10^{-3})=9.425\ \Omega.$$

串聯 $R$–$L$ 支路的阻抗大小平方為

$$|Z_{RL}|^2=R^2+X_L^2=10^2+9.425^2=188.83\ \Omega^2.$$

實功率只由電阻消耗：

$$P=\frac{V^2R}{R^2+X_L^2} =\frac{110^2(10)}{188.83} =6408\ \mathrm{W}.$$

核心觀念

RMS（均方根值）是先將一個週期內的波形平方取平均，再開平方：

$$V_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2(t)\,dt}$$

三角波的正、負半週在平方後相同，因此可利用對稱性計算。

解題方法

由圖可知，三角波峰值為 $V_p=5\text{ V}$，週期為 $T=0.2\text{ ms}$。每四分之一週期，波形都在 $0$ 與 $\pm V_p$ 之間線性變化。

以其中一段由 $0$ 線性上升至 $V_p$ 的波形為例，令該段長度為 $T/4$，其平方積分為：

核心觀念

本題考查理想運算放大器的非反相放大器，以及輸入端與回授端的 RC 頻率響應。理想運算放大器在負回授下滿足 $v_+=v_-$，且輸入端電流為零；電容在頻域中的阻抗為 $Z_C=1/(j\omega C)$。

解題方法

先求非反相端電壓，再以反相端的電阻與電容回授網路求閉迴路增益。

非反相端的 $125\,\text{k}\Omega$ 電阻與 $0.1\,\mu\text{F}$ 電容形成低通分壓器，因此

$$\frac{v_+}{v_i} = \frac{1}{1+j\omega(125\,\text{k}\Omega)(0.1\,\mu\text{F})} = \frac{1}{1+j\omega/80}.$$

反相端接地電阻為 $R_g=10\,\text{k}\Omega$，回授電容為 $C_f=0.2\,\mu\text{F}$。非反相放大器的閉迴路增益為

$$\frac{v_o}{v_+} = 1+\frac{Z_f}{R_g} = 1+\frac{1}{j\omega R_g C_f} = 1+\frac{1}{j\omega(0.002)} = 1+\frac{500}{j\omega}.$$

因此總電壓增益為

$$G_v(\omega) = \frac{v_o}{v_i} = \frac{1+500/(j\omega)}{1+j\omega/80} = \frac{j\omega+500}{j\omega(1+j\omega/80)}.$$

其轉折角頻率為 $80\,\text{rad/s}$ 與 $500\,\text{rad/s}$。

幅頻響應

增益大小為

$$|G_v(\omega)| = \frac{\sqrt{1+(500/\omega)^2}} {\sqrt{1+(\omega/80)^2}}.$$

以分貝表示：

$$20\log_{10}|G_v(\omega)| = 10\log_{10}\left(1+\frac{500^2}{\omega^2}\right) - 10\log_{10}\left(1+\frac{\omega^2}{80^2}\right).$$

漸近線的斜率如下：

• $\omega<80\,\text{rad/s}$：$|G_v|\approx 500/\omega$，斜率為 $-20\,\text{dB/dec}$。
• $80<\omega<500\,\text{rad/s}$：斜率為 $-40\,\text{dB/dec}$。
• $\omega>500\,\text{rad/s}$：$|G_v|\approx 80/\omega$，斜率回到 $-20\,\text{dB/dec}$。

重要點的精確值：